Особенности уравнивания триангуляции по направлениям
При уравнивании
триангуляции в уравнениях поправок
направлений кроме правок к приближенным
значениям координат присутствуют
поправки в ориентирующие углы станций
.
В общем случае система уравнений поправок
имеет вид
где С и А матрицы
коэффициентов при векторах поправок в
ориентирующие углы
и в приближенные координаты определяемых
пунктов
,l
– вектор свободных членов.
Ей будет соответствовать система нормальных уравнений
где
–
весовая матрица измеренных направлений.
Применяя метод
подстановки и исключая
будем иметь следующую преобразованную
систему
Эту преобразованную систему можно получить и другим путем.
Пусть измеренным на станции i направлениям соответствуют следующие уравнения поправок
Им будет соответствовать следующая система нормальных уравнений:
Если из первого
уравнения системы (134) вычесть
(135)
и подставить его в остальные, то получим эквивалентную систему
Исходя из нее легко заметить, что матрицу нормальных уравнений можно составлять на основе существующих уравнений поправок с добавлением на каждой станции так называемого суммарного уравнения
(136)
с весом
.
Пример уравнивания геодезической сети параметрическим способом
Уравнять параметрическим способом геодезическую сеть, приведенную на рис. 21 в примере уравнивания коррелатным способом.
Приближенные координаты пунктов D и Е принять следующими
Отметим, что они могут быть найдены по результатам измерений в геодезической сети.
Вначале для вычисления свободных членов уравнений поправок необходимо по значениям приближенных координат определяемых пунктов и по координатам исходных вычислить дирекционные углы и длины сторон с точностью, соответствующей принятым приближенным координатам. Для Этого решаются обратные геодезические задачи по формулам
где i, n– номера пунктов.
Таблица 14
Решение обратных геодезических задач
|
Формулы |
Названия пунктов | ||||
|
1.А 2.Е |
1.В 2.Е |
1.С 2.Е |
1.D 2.Е |
1.А 2.D | |
|
Y2 |
11100,00 |
11100,00 |
11100,00 |
11100,00 |
10000,0 |
|
Y1 |
10499,96 |
12119,89 |
11220,19 |
10000,00 |
10499,96 |
|
ΔY |
600,04 |
-1019,89 |
-120,19 |
1100,00 |
-499,96 |
|
Х2 |
10250,00 |
10250,00 |
10250,00 |
10250,00 |
10120,00 |
|
Х1 |
11180,07 |
10320,03 |
8860,25 |
10120,00 |
11180,07 |
|
ΔХ |
-930,07 |
-70,03 |
1389,75 |
130,00 |
-1060,07 |
|
tgr |
0,645156 |
14,563615 |
0,086483 |
8,461538 |
0,471629 |
|
r |
32,8283 |
86,0720 |
4,9428 |
83,2599 |
25,2499 |
|
четверть |
ЮВ |
ЮЗ |
СЗ |
СВ |
ЮЗ |
|
|
14701018 |
26600419 |
35500326 |
8301536 |
20501500 |
|
S |
1106,83 |
1022,29 |
1394,94 |
1107,66 |
1172,05 |
|
S |
1106,83 |
1022,29 |
1394,94 |
1107,66 |
1172,05 |
|
|
|
|
1.С 2.D |
1.А 2.В |
1.В 2.С |
|
Y2 |
|
|
10000.00 |
12119,89 |
11220,19 |
|
Y1 |
|
|
11220,19 |
10499,96 |
12119,89 |
|
Δ Y |
|
|
-1220,19 |
1619,93 |
-899,70 |
|
Х2 |
|
|
10120,00 |
10320,03 |
8860,25 |
|
Х1 |
|
|
8860,25 |
11180,07 |
-10320,03 |
|
ΔХ |
|
|
1259,75 |
-860,04 |
-1459,78 |
|
Tg r |
|
|
0,968597 |
1,883552 |
0,616326 |
|
r |
|
|
44,0861 |
62,0356 |
31,6466 |
|
|
|
|
31505450 |
11705752 |
2115038¢48² |
|
четверть |
|
|
СЗ |
ЮВ |
ЮЗ |
|
S |
|
|
1753,81 |
1834,07 |
1714,76 |
|
S |
|
|
1753,81 |
1834,07 |
1714,76 |
После того, как точно вычислены длины сторон и дирекционные углы по предварительным координатам, вычисляются свободные члены уравнений поправок (таблица 15). В этой же таблице вычисляются коэффициенты
(137)
необходимые для составления матрицы коэффициентов уравнений поправок.
В соответствии со (115) и (137) уравнения поправок для каждого измеренного направления будут иметь вид
(138)
а для измеренной стороны вид (108).
Система уравнений поправок для всей сети приведена в таблице 16.
Там же для каждой станции составлены и суммарные уравнения вида (136).
Система нормальных уравнений
представлена в таблице 17.
Таблица 17
Система нормальных уравнений
|
a |
b |
c |
d |
e |
S |
|
+4,17 |
-0,11 |
+4,22 |
+0,23 |
+9,39 |
+9,46 |
|
|
+7,9 |
-0,73 |
-4,01 |
-30,81 |
-27,76 |
|
|
|
+14,11 |
+2,14 |
-52,77 |
-41,50 |
|
|
|
|
+10,56 |
-82,97 |
-74,04 |
В таблице 17 приведен лишь верхний треугольник матрицы нормальных уравнений
вектор свободных
членов
(столбец е) и столбец контрольной суммы.
Нижний треугольник матрицы нормальных
уравнений не приводится, т.к. она
симметрична.
Система нормальных уравнений здесь составляется так же, как и система нормальных уравнений коррелат. Но в данном случае выполняется умножение соответствующих столбцов на веса измерений, а не их обратных величины, как в коррелатном способе.
Решение нормальных уравнений по схеме Гаусса приведено в таблице 18.
По полученным поправкам к координатам определяемых пунктов Dи Е и их приближенным координатам вычисляются окончательные значения
На основе (135) вычисляется поправка в ориентирующий угол для каждой станции.
Таблица 18
Решение нормальных уравнений по схеме Гаусса
|
a |
b |
c |
d |
ATPL |
S |
F |
|
4,1 -1
|
-0,11 0,026 |
-4,22 1,012 |
0,23 -0,055 |
9,39 -2,251 |
9,46 -2,269 |
1 -0,24 |
|
|
7,9 -0,003 7,897 -1 |
-0,73 -0,110 -0,849 0,108 |
-4,01 0,006 -4,004 0,507 |
-30,81 0,244 -30,566 3,874 |
-27,76 0,246 -27,514 3,484 |
0 0,026 0,026 -0,03 |
|
|
14,11 -4,27 -0,092 9,748 -1 |
2,14 0,232 -0,432 1,940 -0,199 |
-52,77 9,503 -3,301 -46,568 4,777 |
-41,50 9,573 -2,972 -34,899 3,580 |
0 1,012 0,003 1,015 -0,104 | |
|
|
10,560 -0,013 -2,030 -0,386 8,131 -1 |
-82,97 -0,516 -15,497 9,267 -89,716 11,033 |
-74,04 -0,520 -13,950 6,945 -81,565 10,031 |
0 -0,055 0,013 -0,202 -0,244 0,030 | ||
|
|
-0,24 0 -0,106 -0,008 -0,354 | |||||
С учетом этой
поправки и значений поправок
в приближенные координаты определяемых
пунктов на основе уравнения поправок
направлений (138) вычисляются поправки
направлений. Поправки в измеренные
стороны вычисляются простой подстановкой
поправок координат в уравнения поправок
сторон (108). Их вычисления приводятся в
таблице 16.
Полученные поправки с точностью вычислений должны совпадать с поправками, найденными коррелатным способом уравнивания.
Вычисление средней квадратической ошибки единицы веса также выполняется по формуле (94). В общем случае в параметрическом способе число избыточных измерений определяется по формуле
где n – число уравнений поправок, t – число неизвестных параметров. При уравнивании направлений число t вычисляется по формуле
где k – число определяемых пунктов, m – число станций с которых измерялись направления. Если на каждом пункте направления измерялись лишь один раз, то число m равно числу всех пунктов, включая и исходные. Это число равно числу всех ориентирующих углов, т.е. числу измеренных пучков направлений.
Значение средней квадратической ошибки единицы веса является оценкой стандарта в (128). Далее по формуле (128) можно вычислить оценку точности любой функции после уравнивания. В параметрическом способе удобно оценивать точность определяемых пунктов по формуле (131). При этом необходимо обратить матрицу нормальных уравнений N.
(139)
Ее обращение можно осуществить различными способами. Наиболее удобный из них способ модифицированных жордановых исключений.
Суть его заключается в следующем:
1) В исходной матрице
выбирается разрешающий элемент
и
заменяется обратной величиной
.
2) Остальные элементы разрешающей строки r делятся на разрешающий элемент.
3) Остальные элементы разрешающего столбца S делятся на разрешающий элемент и меняют на противоположные.
4) прочие элементы вычисляются по формуле:
(140)
Вычисления целесообразно выполнять с удерживанием двух значащих цифр после запятой.
На первом шаге жордановых исключений в качестве разрешающего принимается диагональный элемент 4,17.
В результате получится матрица
(141)
На втором шаге разрешающим будет второй преобразованный диагональный элемент матрицы (141), т.е. 7,90.
(142)
На третьем шаге разрешающим берется диагональный элемент матрицы 9142),. 9,75.
(143)
На четвертом шаге, т.е. последнем, разрешающим будет элемент 8,13.
Окончательный результат представится в виде матрицы
(144)
которая будет обратной матрице (139).
Контролем правильности обращения является равенство единичной матрице произведения матриц (139) и (144) с точностью 0,1. Кроме того при переходе с одного шага жордановых исключений к другому необходимо следить за симметричностью образовываемых матриц. Лишь в разрешающей строке слева и в разрешающем столбце сверху от разрешающего элемента матрицы различаются лишь знаками.
И итоге согласно формуле (131) найдем
Ошибки общего положения пунктов D и Е будут
Используя матрицу (144) и столбец АТРL таблицы 17 по формуле (130) можно найти поправки в приближенные координаты определяемых пунктов. они будут равными вычисленным в таблице 18 при решении нормальных уравнений по схеме Гаусса.
Оценку точности
отдельной функции можно произвести и
по формуле Гаусса. При этом составляется
весовая функция по определяемым
параметрам
где
–
коэффициенты при параметрах.
В данной задаче такими параметрами являются поправки в приближенные координаты определяемых пунктов, то есть
Обратный вес этой функции равен величине
