Коррелатный способ уравнивания
После уравнивания геодезической сети любая функция уравненных величин должна определяться однозначно при любом порядке ее вычисления. Например, сторона DE от базиса АВ (рис. 20) может быть вычислена путем 1 через треугольники ABG, AGF,FGE и путем 2 через треугольники ABG, BGC, CGD, DGE, GEF. Оба значения ее длины должны совпадать.
Рис. 20.
Получаемые после уравнивания оценки любых функций уравненных результатов измерений должны быть достаточными, несмещенными и эффективными.
Общий вид функции результатов измерений обозначим F (y). Вектор результатов измерений представим так
где Y – вектор истинных значений измеренных величин, – вектор истинных ошибок.
Линеаризованный вид функций F (y) будет следующим
В приведенном
выражении значение производной
обозначим черезf.
Она берется в точке измеренного значения
как близкого к истинному.
Будем решать задачу оценивая данной функции при соблюдении статистических свойств оценок.
1. С тем, чтобы оценка приведенной функции была достаточной, необходимо ее оценку выводить с учетом всех измерений в геодезической сети. А это возможно, если при ее оценке будут учтены все условные уравнения. Поэтому оценку функции представим так
(80)
где W
– вектор свободных членов всех условных
уравнений, а G
– некоторая матрица, которую следует
определить. Если y
– скалярная величина, то GT
– будет строкой. Избыточные измерения,
включенные в вектор W,
должны улучшить оценку
(у)
функцииF(Y).
2. Для достижения эффективной оценки y следует найти такую матрицу G при которой достигается минимум дисперсии y.
Величина F(Y) безошибочна, т.к. Y – истинное значение.
Вектор свободных членов можно записать так
(81)
где В – матрица коэффициентов функции будет
или
(82)
а ее дисперсия в соответствии с обобщенной теоремой оценки точности
(83)
где
– есть корреляционная матрица ошибок
измерений,
–
стандарт измерения с весом, равным
единице, Р-1
– обратновесовая матрица ошибок
измерений.
С тем, чтобы найти эффективную оценку функции, необходимо минимизировать след или определить матрицу D, если оцениваемая функция является вектором. Или находить минимум скалярной величины D по , если функция F (y) скаляр.
Перепишем дисперсию функции в виде
(84)
Для получения минимума (84) найдем производную следа матрицы D по G
(85)
Приравнивая последнее выражение из (85) к нулю запишем
(86)
где
(87)
Очевидно, что
(88)
Тогда с учетом (88) значение оцениваемой функции примет вид
Обозначим
Запишем
Значение
является поправкой к функции или вектор
функции после уравнивания. Если принять,
что вектор-функция равна вектору
измерений, то тогдаf
является единичной матрицей с размерностью,
равной числу измерений, и
будет вектором поправок к измерениям.
Если теперь значение G доставить в выражение дисперсии, то сразу же получим
(90)
Это есть формула вычисления дисперсии любой функции при коррелатном способе уравнивания.
3. При таком подходе полученное значение будет и несмещенным, если только ошибки измерений случайны.
Действительно
Но поскольку
то
То есть математическое ожидание оцениваемой функции будет равно ее истинному значению.
Исходя из изложенного можно составить алгоритм уравнивания коррелатным способом.
1. Составляется система условных уравнений (73). Соответственно матрица коэффициентов В и вектор свободных членов W.
2. Вычисляется матрица нормальных уравнений
и решается система нормальных уравнений
(91)
3. Находятся поправки к измеренным величинам по формуле
(92)
4. Оценка дисперсии любой функции уравненных величин производится по формуле (90)
(93)
а оценка стандарта единицы веса вычисляется по формуле
(94)
где r – число условных уравнений.