Условные уравнения в нивелирных сетях
В нивелирных сетях возникают условные уравнения вида
где hi – измеренное превышение, (hi) – поправка в превышение, а Hk, Нн – отметки исходных реперов: конечного и начального.
Это уравнение можно записать в виде
(70)
где
В замкнутых построениях Нk = Hн.
Весовая функция
При уравнивании геодезических сетей
Рис. 19.
оценивается также и точность функций уравненных величин: координат определяемых пунктов, длин линий, дирекционных углов линий и др. Для оценки точности этих элементов необходимо составить функцию зависимости от уравненных величин. Эта функция называется весовой. Покажем ее составление на примере сети триангуляции (рис. 19).
Пусть необходимо по результатам уравнивания геодезической сети оценить точность дирекционного угла стороны 1-2. очевидно, что для его вычисления можно записать
Поскольку
и
1800
величины безошибочны, то весовую функцию
записывают так
(71)
где (6),(5),(4),(2) – поправки, получаемые из уравнивания.
Для оценки точности этой функции нужно поправки выразить через измеренные величины и определить дисперсию функции измеренных величин по формуле (4).
Матричный вид системы условных уравнений. Число условных уравнений. Допустимость свободных членов
Пусть имеется система условных уравнений, записанная в общем виде
где
– коэффициенты условных уравнений
(i=1,2,…,r),
Wi
– их свободные члены (i=1,2,…,r),
(2),…,(n)
– поправки в измерения.
Если обозначить
а
то матричный вид системы условных уравнений будет
(73)
где В – матрица коэффициентов уравнений, а V,W – вектор поправок и свободных членов условных уравнений.
Число условных уравнений в триангуляции определяется по формуле
(74)
где n – число измеренных направлений и базисов (число всех измерений, m – число определяемых пунктов, m1 – число пунктов, на которых измерялись направления.
В трилатерации число условных уравнений равно
(75)
где n – число всех измерений.
В полигонометрии
(76)
где nS, n – число измеренных сторон и углов.
В нивелирных ходах
(77)
где n – число нивелирных ходов между всеми пунктами, m – число определяемых пунктов.
В GPS-сетях
(78)
где n
– число сторон, вдоль которых измерялись
приращения координат, m
– число определяемых пунктов, а число
четыре определяет число дополнительных
неизвестных
Свободный член W условного уравнения является функцией результатов измерений. Коэффициенты условного уравнения – это частные производные данной функции по результатам измерений. Тогда можно записать среднюю квадратическую ошибку свободного члена как функции результатов измерений.
где
– коэффициенты условного уравнения,mi
– средняя квадратическая ошибка
измерения с номером i.
С доверительной вероятностью 0,95 допустимую величину свободного члена принимают равной
(79)