14)Довжина вектора та відстань між двома відрізками.

Довжина напрямленого відрізку визначає числове значення вектора і називається довжиною вектора або модулем вектора. Для позначення модуля вектора використовують дві вертикальні лінії зліва та справа |AB|.

Вектор повністю визначається своїми початком і кінцем. Він може бути, звичайно, заданий також початком, або, іншими словами, точкою прикладання, довжиною і напрямком. Однак в багатьох випадках точка прикладання (початок) вектора не має значення - мають значення лише довжина вектора та його напрямок. Такі вектори називаються вільними векторами. Вільні вектори позначають одною малою латинською буквою, наприклад, . Оскільки точка прикладання вільного вектора не має значення, то такий вектор можна переносити в будь-яку точку простору, зберігаючи при цьому його довжину і напрямок.

Вектор , початок і кінець якого співпадають, називають нульовим. Його модуль рівний нулю. Нульовий вектор не має певного напрямку. Якщо вектори   і  рівні по модулю, паралельні, але направлені в протилежні сторони; такі вектори називаються взаємно або просто протилежними. Вектор, протилежний вектору , позначають через  .

15. Векторним добутком вектора на векторназивається такий третій вектор, довжина якого чисельно рівна площі паралелограма, побудованого на векторахі, а напрямок перпендикулярний до площини паралелограма, побудованого на даних векторах, причому векторнаправлений так, що із кінця векторавидно, що коли дивитись з кінця вектора, то поворот віддона найменший кут відбуваєть­ся проти годинникової стрілки (рис.7).

Рис.7

Векторний добуток заданих векторів іпозначається.

Оскільки площа паралелограма, побудованого на  векторах ірівна добутку довжин цих векторів і синуса кута між ними, то

            .

 

Розглянемо основні властивості векторного добутку векторів і.

1. Відмітимо перш за все, що для будь-яких векторіві.

Отже, векторний добуток не підлягає перемістивному закону. Розглянемо, як приклад, векторні добутки ортів координатних осей.

 (Оскільки кут між векторами рівний нулю і за (1) ).

 

Добуток ортів, що слідують в природному порядку (передпереді т.д.), згідно з означенням векторного добутку, дає третій орт:

Якщо ж природний порядок множників порушений, то, як наслідок, отримуємо:

.                      (2)

2. Векторний добуток має властивість

            .

3. Векторний добуток підлягає також розподільному закону, тобто

16)Обчислення площі паралелограма, побудованого на двох неколінеарних векторах. Умова колінеарності двох векторів.

Площа паралелограма, побудованого на векторах та, рівна

 

.

Вектори a та b називаються колінеарними (позначається цей

факт так: a ⇕ b ), якщо вони лежать на паралельних прямих

17)Мішаний добуток, його властивості та обчислення.

Нехай дані три вектори ,,. Знайдемо векторний добутокі домножимо його скалярно на третій вектор:

.

Таке множення векторів називається векторно – скалярним, або мішаним добутком трьох векторів. В результаті цього множення отримується число. Покажем, що коли вектори ,,некомпланарні, то це число рівне об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах,,, взятому із знаком плюс, якщо вектори,,утворюють праву трійку векторів (в випадку правої системи координат це означає, що, якщо дивитись із кінця вектора, то найкоротший поворот від векторадо векторавідбувається проти годинникової стрілки, при цьому припускається, що вектори,,мають спільний початок). Знак мінус ставиться в протилежному випадку.

Побудуємо паралелепіпед із сторонами  ,,. Побудуєм також векторний добуток, який позначимо через d .

 

Тоді, згідно з означенням, . Як відомо, скалярний добуток можна виразити через проекції векторів, звідки

.

 

Тут величина рівна площі S паралелограма, побудованого на векторахі. Величинарівна (зі знаком плюс або мінус) висотіh побудованого паралелепіпеда. Звідси випливає, що мішаний добуток рівний (з тим чи іншим знаком) об’єму паралелепіпеда,  побудованого на векторах ,і.

Іншими словами, абсолютна величина мішаного добутку рівна об’єму V паралелепіпеда, побудованого на  векторах  ,і:

.