Циркуляция векторного поля

     Рассмотрим непрерывное векторное поле определённое в каждой точке гладкой замкнутой кривой L.      Определение 4: Циркуляцией С векторного поля вдоль замкнутой кривой L называется криволинейный интеграл второго рода

Дивергенция и ротор векторного поля

 Важнейшими характеристиками скалярных и векторных полей являются  дивергенция(div) и ротор(rot) векторного поля.

Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора. О производных функии мы писали в предыдущих статьях: Производная функции,Практическое использование понятия: производная функции.

     Определение 4: Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скаляр

     Определение 5: Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поляназывается вектор

который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

55) Теорема Гаусса-Остроградського. Теорема Стокса. Диференціювання вектора за напрямом. Векторне формулювання теорем Гаусса-Остроградського і Стокса.

Формула Острогра́дського — формула, що виражає потік векторного поля через замкнену поверхню через інтеграл віддивергенції цього поля по об'єму, замкнутий під поверхнею.

Якщо векторне поле задане диференційовними функціями P(x, y, z), Q(x, y, z) та R(x, y, z), то

У векторній формі її можна переписати як

,

де

 — векторне поле.

Михайло Васильович Остроградський довів цю рівність у 1831 році.

Окремі випадки загальної формули були відомі й раніше. Двовимірний аналог цієї формули називають формулою Гріна, а сама формула також відома під назвою формула Гауса або формула Остроградського—Гауса.

Твердження формули є окремим випадком загальної теореми Стокса.

Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометріїіматематичного аналізу. Названа іменем ірландського фізикаДжорджа Габріеля Стокса.

У термінах диференціальних формтеорема записується формулою

тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми по областідорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається зформулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називаєтьсяформулою Гріна, по тривимірній області —формулою Остроградського.