- •1)Поняття прямокутної матриці. Види матриць.
- •2) Лінійні операції над матрицями
- •3)Добуток матриць
- •9) Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матрична форма запису лінійної системи.
- •11)Матричний метод
- •12)Поняття вектору. Лінійні операції над векторами.
- •14)Довжина вектора та відстань між двома відрізками.
- •16)Обчислення площі паралелограма, побудованого на двох неколінеарних векторах. Умова колінеарності двох векторів.
- •17)Мішаний добуток, його властивості та обчислення.
- •18)Обчислення об’єму паралелепіпеду, побудованого на трьох не компланарних векторах. Умова компланарності двох векторів.
- •19)Різні типи рівнянь прямої на площині.
- •20)Відхилення та відстань точки від прямої
- •21)Кут між прямими на площині.
- •22) Умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.
- •23)Різні типи рівнянь площини.
- •24)Відхилення та відстань точки від площини.
- •29)Лінії другого порядку(коло, еліпс, гіпербола, парабола)
- •30)Загальне рівняння ліній другого порядку.
- •31)Системи координат у просторі.
- •32)Площина у просторі.
- •33)Поверхні другого порядку.
- •34)Загальне рівняння поверхні другого порядку.
- •35)Сфера, еліпсоїд.
- •36)Гіперболоїди, параболоїди.
- •37)Конічні поверхні. Конус.
- •38)Циліндричні поверхні. Циліндри.
- •39)Лінійчасті поверхні. Дати означення квадратичної форми і записати її матрицю.
- •40)Канонічний вигляд квадратичної форми.
- •41)Означення знаковизначених квадратичних форм.
- •44)Закон інерції для квадратичних форм.
- •46)Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
- •47)Критерії Сільвестра.
- •49)Поняття тензора. Компоненти тензорів та їх перетворення.
- •52)Додавання та множення тензорів. Згортання тензорів. Властивість симетрії тензорів. Перестановка індексів, симетрування та альтернування. Сложение тензоров
- •54)Векторне поле. Циркуляція векторного поля. Дивергенція та ротор векторного поля. Векторные поля
- •Циркуляция векторного поля
- •Дивергенция и ротор векторного поля
- •55) Теорема Гаусса-Остроградського. Теорема Стокса. Диференціювання вектора за напрямом. Векторне формулювання теорем Гаусса-Остроградського і Стокса.
9) Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матрична форма запису лінійної системи.
Системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) називають систему виду:
(2.1)
де , () – невідомі;, () – вільні члени системи;, () – коефіцієнти системи.
В матричному вигляді рівняння (2.1) прийме вигляд:
,
де ={} – вектор невідомих;={} – вектор
вільних членів; ={} – матриця коефіцієнтів СЛАР.
Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2.1) називають вектор , координати якого {} при підстановці у систему, що розв’язують, перетворюють кожне рівняння системи в тотожність .
10)Метод Крамера
Цим методом можна розв’язувати системи n лінійних рівнянь з n невідомими. Для спрощення, розглянемо систему трьох рівнянь з трьома невідомими
(6)
Введемо наступні позначення:
–визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих.
- визначник, який ми одержали із визначника Δ заміною першого стовпця на стовпець вільних членів
- заміна другого стовпця на стовпець вільних членів.
- заміна третього стовпця на стовпець вільних членів.
Невідомі x1 , x2 , x3 знаходяться за, так званими, формулами Крамера:
Записані формули використовуються для систем трьох рівнянь з трьома невідомими (систем виду (6)). Якщо ж система складається з двох рівнянь з двома невідомими, то формули Крамера будуть мати вигляд:
Якщо система має більше трьох невідомих, то розв’язувати її за допомогою формул Крамера недоцільно (наприклад, при n = 4 потрібно обчислити п’ять визначників четвертого порядку).
УВАГА!
Методом Крамера можна розв’язувати системи лінійних рівнянь, які задовольняють трьом умовам:
1) система повинна бути неоднорідною;
2) кількість рівнянь повинна дорівнювати кількості невідомих;
3) визначник Δ не повинен дорівнювати нулю.
11)Матричний метод
Далі (для спрощення) розглянемо систему (6).
Запишемо її в матричному вигляді
A⋅ X = B, (7)
–матриця складена із коефіцієнтів при невідомих системи (6), розміром [3×3] .
–матриця-стовпець невідомих – матриця розміром [3×1]
–матриця-стовпець вільних членів – матриця розміром [3×1] .
Помітимо, що три умови, які ми розглянули в §6.1 мають місце і тут.
Знайдемо X із рівняння (7). Для цього помножимо рівняння (7) на A−1 зліва:
Тобто зміст матричного методу полягає в тому, що, (див.(8)), спочатку знаходиться обернена матриця A−1 , а потім обчислюється добуток матриці A−1 на стовпець вільних членів В. Зазначимо, що матриці A−1 і В можна перемножать, оскільки як вони узгоджені.
12)Поняття вектору. Лінійні операції над векторами.
Геометричним вектором називатимемо напрямлений відрізок у тривимірному просторі.
Два геометричних вектори називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину та напрямок – тобто лежать на паралельних прямих. Нуль-вектором називають вектор 0 , який має нульову довжину та невизначений напрямок.
Протилежним вектором до вектора a називають вектор - a, такий що a + (- a) = 0.
Вектори a та b називаються колінеарними (позначається цей факт так: a ⇕ b ), якщо вони лежать на паралельних прямих
Лінійні операції над векторами
Сума двох векторів:
Різниця двох векторів
Множення вектора на скаляр(число ):,
Властивості лінійних операцій над векторами:
13)Скалярний добутком двох векторів a и b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними.
Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні.
Властивості:
1. Скалярний добуток підлягає перемістивному закону, тобто для любих векторіві.
2. Скалярний добуток підлягає сполучному закону відносно скалярного множника, тобто для будь-яких векторівіі будь-якого числа.
3. Скалярний добуток підлягає розподільному закону, тобто для будь-яких векторів ,,.
4. Скалярний квадрат вектора рівний квадрату його модуля. Домножимо скалярно вектор на вектор:
5. якщо, навпаки,, якщоі.