![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Общая информация
- •Методические указания
- •Комплект поставки, требования к системе, процедура запуска
- •Принцип построения и структура
- •Знакомство с ЭУМК
- •Рекомендации для преподавателя
- •Лекции
- •Организация практических занятий
- •Тесты
- •Рекомендации для студента
- •Изучение теоретического материала
- •Практические занятия
- •Тесты
- •Типовые программы курсов
- •Указатель по направлениям и специальностям
- •Список учебных программ
- •Рекомендуемая литература
- •Часть I. Теория
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Декартовы координаты
- •1.1.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •1.1.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •1.1.5. Общее уравнение прямой
- •1.1.7. Угол между двумя прямыми
- •1.1.8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •1.1.9. Расстояние от точки до прямой
- •1.1.10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Окружность
- •1.2.2. Эллипс
- •1.2.3. Гипербола
- •1.2.4. Парабола
- •1.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром
- •Глава 2. Предел последовательности и функции
- •2.1. Предел числовой последовательности
- •2.1.1. Числовая последовательность
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Бесконечно малые последовательности
- •2.1.4. Бесконечно большие последовательности
- •2.1.5. Сходящиеся последовательности
- •2.1.6. Предельный переход в неравенствах
- •2.1.7. Монотонные последовательности
- •2.1.8. Непрерывное начисление процентов
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Понятие функции
- •2.2.2. Способы задания функции.
- •2.2.3. Основные характеристики функций
- •2.2.4. Понятие обратной и сложной функции
- •2.2.5. Элементарные функции
- •2.2.6. Построение графиков функций
- •2.2.7. Функциональная зависимость в экономике
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.3.1. Предел функции по Гейне
- •2.3.2. Предел функции по Коши
- •2.3.3. Односторонние пределы
- •2.3.4. Бесконечно малые функции
- •2.3.5. Бесконечно большие функции
- •2.3.6. Свойства предела функции
- •2.3.7. Признак существования предела функции
- •2.3.8. Замечательные пределы
- •2.3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •2.4. Непрерывные функции
- •2.4.1. Непрерывность функции в точке
- •2.4.2. Теоремы о непрерывных в точке функциях
- •2.4.3. Точки разрыва и их классификация
- •2.4.4. Непрерывность элементарных функций
- •2.4.5. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.1.1. Понятие производной
- •3.1.2. Геометрический смысл производной
- •3.1.3. Физический смысл производной
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции
- •3.1.6. Логарифмическая производная
- •3.1.7. Производная неявной функции
- •3.1.8. Производные высших порядков
- •3.1.9. Применения производной в экономике
- •3.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке
- •3.2.2. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •3.2.3. Геометрический смысл дифференциала
- •3.2.4. Теоремы о среднем
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.3.1. Правила Лопиталя
- •3.3.2. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •3.4.1. Условие постоянства функции.
- •3.4.2. Достаточное условие монотонности функции.
- •3.4.3. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
- •3.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •3.4.5. Выпуклые функции
- •3.4.6. Асимптоты графика функции
- •3.4.7. Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределенный интеграл
- •4.1.1. Первообразная
- •4.1.2. Неопределенный интеграл
- •4.1.3. Таблица интегралов
- •4.1.4. Простейшие методы интегрирования
- •Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.2.1. Интегрирование рациональных функций
- •4.2.2. Интегрирование иррациональных функций
- •Простейшие случаи
- •Более сложные случаи
- •4.2.3. Тригонометрические интегралы
- •4.3. Определенный интеграл
- •4.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
- •4.3.2. Свойства определенного интеграла
- •4.3.3. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении.
- •4.3.4. Необходимое условие интегрируемости функции
- •4.3.5. Достаточные условия интегрируемости
- •4.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.
- •4.3.8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •4.4.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •4.4.2. Длина дуги кривой
- •4.4.3. Объем тела вращения
- •4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике
- •4.5. Несобственные интегралы.
- •4.5.1. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования.
- •4.5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Определения
- •5.1.2. Предел функции двух переменных
- •5.1.3. Непрерывность функции двух переменных
- •5.1.4. Частные производные
- •Геометрический смысл частных производных
- •5.1.5. Частные производные высших порядков
- •5.1.6. Дифференцируемость и дифференциал
- •5.1.7. Производная сложной функции
- •5.1.8. Производная по направлению. Градиент
- •5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Локальный экстремум
- •5.2.2. Глобальный экстремум
- •5.2.3. Условный экстремум
- •5.2.4. Метод множителей Лагранжа
- •5.2.5. Экстремум выпуклых функций
- •5.2.6. Функция полезности
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка.
- •6.1.2. Составление дифференциальных уравнений.
- •6.1.3. ДУ с разделяющимися переменными.
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •6.2.1. Однородные ДУ первого порядка.
- •6.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •6.2.3. Уравнение Бернулли.
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.1.1. Понятие числового ряда.
- •7.1.2. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •7.1.3. Достаточные условия сходимости.
- •7.1.4. Абсолютная и условная сходимость.
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы и определители
- •8.1.1. Понятие матрицы. Виды матриц
- •8.1.2. Операции над матрицами
- •8.1.3. Определители
- •8.1.4. Свойства определителей
- •8.1.5. Элементарные преобразования
- •8.1.6. Обратная матрица
- •8.1.7. Матричные уравнения
- •8.1.8. Ранг матрицы
- •8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •8.2.1. Основные понятия
- •8.2.2. Матричный метод
- •8.2.3. Метод Крамера
- •8.2.4. Метод Гаусса
- •8.2.5. Критерий Кронекера — Капелли
- •8.2.6. Экономическая модель Леонтьева
- •8.3. Векторная алгебра
- •8.3.1. Векторы в пространстве
- •8.3.2. Скалярное произведение векторов
- •8.3.4. Линейная зависимость векторов
- •8.3.5. Базис и ранг системы векторов
- •8.3.6. Ортогональные системы векторов
- •8.3.7. Фундаментальные системы решений
- •8.3.8. Собственные векторы и значения
- •Предметный указатель
- •Другие
- •Определения
- •Абсолютно сходящийся ряд
- •Абсолютно сходящийся функциональный ряд
- •Алгебраическое дополнение
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Асимптоты гиперболы
- •Базисный минор
- •Бесконечно большая последовательность
- •Бесконечно большие функции
- •Бесконечно малая последовательность
- •Бесконечно малые функции
- •Бюджетное множество
- •Вектор валового выпуска
- •Вектор конечного продукта
- •Вектор предельных полезностей
- •Вектор-столбец и вектор-строка
- •Вертикальная асимптота
- •Вершина параболы
- •Вершины гиперболы
- •Вершины эллипса
- •Возрастающая и убывающая последовательности
- •Возрастающая и убывающая функции
- •Второй замечательный предел
- •Выпуклая вверх (выпуклая) функция
- •Выпуклая вниз (вогнутая) функция
- •Выпуклое множество
- •Выпуклые функции
- •Гаусса метод
- •Гипербола
- •Градиент
- •График функции двух переменных
- •График функции
- •Диагонали матрицы
- •Диагональная матрица
- •Директриса параболы
- •Дифференциал функции двух переменных
- •Дифференциал
- •Дифференциальное уравнение Бернулли
- •Дифференциальное уравнение первого порядка
- •Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
- •Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
- •Дифференциальный бином
- •Дифференцирование
- •Дифференцируемая функция
- •Дифференцируемость функции двух переменных
- •Единичная матрица
- •Задача Коши
- •Знакочередующийся ряд
- •Изокванты
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегральная кривая дифференциального уравнения
- •Интегральная кривая
- •Интегральная сумма
- •Интегрирование дифференциального уравнения
- •Интервал монотонности
- •Интервал сходимости
- •Касательная
- •Квадратная матрица
- •Классификация точек разрыва
- •Крамера метод и формулы
- •Кривые безразличия
- •Критическая точка
- •Левый предел
- •Линейное дифференциальное уравнение
- •Линии первого порядка
- •Линии уровня
- •Линия на плоскости
- •Логарифмическая производная
- •Локальные минимум и максимум функции двух переменных
- •Локальный максимум
- •Локальный минимум
- •Локальный экстремум функции двух переменных
- •Локальный экстремум
- •Матрица прямых затрат
- •Матрицы
- •Матричная форма системы линейных уравнений
- •Матричные уравнения
- •Матричный метод решения системы линейных уравнений
- •Минор матрицы
- •Минор элемента матрицы
- •Многочлен Тейлора
- •Многочлен от квадратной матрицы
- •Монотонная последовательность
- •Монотонная функция
- •Наклонная асимптота
- •Направление
- •Направляющие косинусы
- •Невырожденная и вырожденные матрицы
- •Неограниченная последовательность
- •Неограниченная функция
- •Неопределенный интеграл
- •Неправильная рациональная функция
- •Непрерывная в области функция
- •Непрерывная на отрезке функция
- •Непрерывность функции двух переменных по одной из переменных
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Непрерывность функции на языке приращений
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность функций двух переменных на языке приращений
- •Непрерывные справа и слева функции
- •Несобственный интеграл второго рода
- •Несобственный интеграл первого рода
- •Неэлементарные функции
- •Неявная функция
- •Нормаль
- •Нулевая матрица
- •Нулевое решение однородной системы линейных уравнений
- •Область сходимости
- •Обратная матрица
- •Обратная функция
- •Общее решение дифференциального уравнения
- •Общее уравнение прямой
- •Общий интеграл
- •Ограниченная последовательность
- •Ограниченная функция
- •Одноресурсная производственная функция
- •Однородная функция
- •Однородное дифференциальное уравнение
- •Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
- •Однородные функции
- •Односторонние пределы на бесконечности
- •Односторонние пределы
- •Окрестность точки на плоскости
- •Окрестность точки
- •Окружность
- •Определённая и неопределённая системы
- •Определенный интеграл
- •Определители второго порядка
- •Определители первого порядка
- •Определители третьего порядка
- •Определитель произвольного порядка
- •Оси гиперболы
- •Оси эллипса
- •Основная матрица системы
- •Основной прямоугольник гиперболы
- •Особое решение дифференциального уравнения
- •Остаток числового ряда
- •Остаточный член в форме Лагранжа
- •Ось параболы
- •Парабола
- •Параметр параболы
- •Первообразная
- •Первый замечательный предел
- •Перестановочные матрицы
- •Периодическая функция
- •Полное приращение функции
- •Полуоси гиперболы
- •Полуоси эллипса
- •Последовательность числовая
- •Постоянная последовательность
- •Постоянная функция
- •Правильная рациональная функция
- •Правый предел
- •Предел последовательности
- •Предел функции двух переменных на языке окрестностей
- •Предел функции двух переменных по Гейне
- •Предел функции двух переменных по Коши
- •Предел функции на бесконечности
- •Предел функции на языке окрестностей
- •Предел функции по Гейне
- •Предел функции по Коши
- •Предельная производительность труда
- •Предельная фондоотдача
- •Предельные полезности
- •Приращение аргумента и функции
- •Приращение функции по направлению
- •Присоединённая матрица
- •Произведение матриц
- •Произведение матрицы на число
- •Производная второго порядка
- •Производная по направлению
- •Производная
- •Производственная функция Кобба — Дугласа
- •Производственная функция
- •Простейшие рациональные дроби
- •Противоположная матрица
- •Равенство матриц
- •Равнобочная гипербола
- •Равномерно сходящийся функциональный ряд
- •Радиус сходимости
- •Разность матриц
- •Ранг матрицы
- •Расширенная матрица системы
- •Рациональные функции
- •Решение дифференциального уравнения
- •Решение системы уравнений
- •Ряд матрицы
- •Система линейных уравнений
- •Сложная функция
- •Смешанные производные
- •Совместные и несовместные системы уравнений
- •Согласованные матрицы
- •Соотношения баланса
- •Сопряженные гиперболы
- •Стационарная точка
- •Стационарные точки функции двух переменных
- •Степенной ряд
- •Степень квадратной матрицы
- •Строго возрастающая и строго убывающая последовательности
- •Строго возрастающие и строго убывающие функции
- •Строго монотонная последовательность
- •Строго монотонная функция
- •Ступенчатая матрица
- •Сумма матриц
- •Сходимость в точке
- •Сходящаяся и расходящаяся последовательности
- •Сходящийся несобственный интеграл
- •Сходящийся числовой ряд
- •Таблица эквивалентностей
- •Точка безубыточности
- •Точка перегиба
- •Точка разрыва функции двух переменных
- •Точка рыночного равновесия
- •Точка спроса
- •Точки локального условного максимума и минимума
- •Точки разрыва
- •Транспонированная матрица
- •Треугольная матрица
- •Угловой коэффициент прямой
- •Угол между прямыми
- •Угол наклона прямой
- •Уравнение линии
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение, записанное в дифференциалах
- •Уравнение, разрешенное относительно производной
- •Условно сходящийся ряд
- •Условный экстремум
- •Фокальные радиусы гиперболы
- •Фокальные радиусы эллипса
- •Фокальный радиус параболы
- •Фокус параболы
- •Фокусы гиперболы
- •Фокусы эллипса
- •Формула Маклорена
- •Формула Тейлора
- •Функции спроса и предложения
- •Функциональный ряд
- •Функция Лагранжа
- •Функция выручки
- •Функция двух переменных
- •Функция издержек
- •Функция полезности двух товаров
- •Функция полезности
- •Функция прибыли
- •Функция спроса на товары
- •Функция
- •Центр гиперболы
- •Центр эллипса
- •Частичная сумма ряда
- •Частное и общее решения системы уравнений
- •Частное приращение функции
- •Частное решение дифференциального уравнения
- •Частные производные второго порядка
- •Частные производные
- •Четные и нечетные функции
- •Числовая функция
- •Числовой ряд
- •Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Эквивалентные матрицы
- •Эквивалентные системы уравнений
- •Эксцентриситет гиперболы
- •Эксцентриситет эллипса
- •Эластичность функции двух переменных
- •Эластичность
- •Элементарные преобразования
- •Элементарные функции
- •Элементы матрицы
- •Эллипс
- •Эпсилон-окрестность на плоскости
- •Доказательства теорем
- •Часть II. Задачи
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Общие задачи
- •1.1.2. Экономика
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Общие задачи
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Общие задачи
- •2.2.2. Экономика
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.4. Непрерывные функции
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.3. Определенный интеграл
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Общие задачи
- •5.1.2. Экономический профиль
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Общие задачи
- •5.2.2. Экономический профиль
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Решения и указания
- •Ответы к задачам
- •Часть III. Тесты
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательности
- •2.2. Предел, непрерывность точки разрыва функции одной переменной
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Дифференцирование функций одной переменной
- •3.2. Исследование функции одной переменной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределённый интеграл
- •4.2. Определённый интеграл с приложениями
- •Глава 5. Функции двух переменных
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1. Элементарные дифференциальные уравнения
- •6.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные и степенные ряды
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы, определители, обратная матрица, системы уравнений
- •8.2. Векторная алгебра
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR875x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов
Меню |
Назад Вперёд |
Глава 2
Теория пределов
2.1.Последовательность. Предел числовой последовательности
2.2.Функциональная зависимость
2.3.Предел функции. Два замечательных предела
2.4.Непрерывные функции
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR876x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню |
Назад Вперёд |
2.1.Последовательность. Предел числовой последовательности
162.Написать первые четыре члена последовательности { }, если:
1) |
= 1; |
|
||
2) |
= |
(−1) |
; |
|
|
||||
|
|
|
3)= 2 +1;
4)= (−1) + 1;
5)= 2 + 2 + 3;
6) |
= |
|
+ 1 |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8) |
= ! (произносится эн-факториал); |
|||||||||||||
9) |
|
= sin |
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
11) |
|
= |
[, |
|
2 |
|
|
|
|
; |
||||
|
|
] |
|
|
|
|
||||||||
10) |
|
= |
|
√ |
|
|
(целая часть корня квадратного из ); |
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
= |
−1 |
+ 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12) |
1 |
= −1, = − · −1; |
||||||||||||
13) |
1 |
= |
2, = | −1 − 2|. |
[Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR877x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню |
Назад Вперёд |
163.Зная несколько первых членов последовательности { }, написать формулу её общего члена:
1) |
1, |
1 |
, |
|
1 |
, |
|
1 |
, . . . ; |
|
[Ответ] |
|||||||
3 |
5 |
7 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
1, |
1 |
, |
|
1 |
, |
|
1 |
, |
|
1 |
, . . . ; |
[Ответ] |
|||||
4 |
9 |
16 |
25 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
2, 1 |
|
1 |
, 1 |
1 |
, 1 |
1 |
, . . . ; |
[Ответ] |
|||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
||||||
4) |
−1, 2, −3, 4, −5, . . . ; |
[Ответ] |
||||||||||||||||
5) |
2, 5, 10, 17, 26, . . . |
[Ответ] |
164.Исследовать последовательности на ограниченность, ограниченность сверху и ограниченность снизу:
= (−1) ; |
|
||
= 2 + |
(−1) |
; |
|
|
|||
|
|
=sin ;
=ln ;
=;
=3 + 2 ;
=−2 ;
=+ 1;
=(−1) · .
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Решение] [Ответ]
[Ответ]
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR878x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню |
Назад Вперёд |
165.Исследовать данные последовательности на монотонность и строгую монотонность:
1) |
= |
2 + 1; |
|
|
|
||||||||||||
2) |
= |
|
(−1) |
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
= |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) |
= |
−√ |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
|
2, |
3, |
3, . . . ; |
||||||||||||||
6) |
|
1, |
[1, |
|
] |
2, |
|||||||||||
5) |
|
|
= |
|
√ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
− |
− |
− |
− |
− |
− |
|||||||||||
7) |
= |
− |
1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8) |
= |
|
+ 1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9) |
= cos |
|
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
10) |
2, 2, 2, 2, . . . |
|
|
[Решение] [Ответ] [Решение] [Ответ]
[Решение] [Ответ]
[Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
166.Найти первые семь членов последовательности Фибоначчи, определяемой рекуррентной формулой
1 = 1, 2 = 1, |
= −2 + −1 ( > 3). |
[Ответ] |
167.Привести пример двух ограниченных последовательностей, частное которых является неограниченной последовательностью.
168.Показать на примере, что произведение двух возрастающих последовательностей может не быть даже монотонной последовательностью.
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR879x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню |
Назад Вперёд |
169.Доказать по определению, что следующие последовательности бесконечно малые:
1) |
= |
1 |
; |
|
|
[Решение] |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
= |
2 |
|
; |
||||
+ 1 |
||||||||
|
|
|
||||||
3) |
= |
1 |
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
||||||
4) |
= |
1 |
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
||||||
5) |
|
1 |
|
; |
|
|||
= √ |
|
|
||||||
|
|
1
6) = !.
170.Доказать, что последовательность = {21 } — бесконечно малая, и для данных значений найти такой номер , что для всех > справедливо равенство | | < :
1)= 12;
2)= 0,1;
3)= 0,015.
171. По определению предела доказать, что
1) lim = 1;
→∞ − 1
2) lim 1 = 0;
→∞ 2
[Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Решение]
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR880x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню
3) |
lim |
3 + |
2 |
= 3; |
|
|
|||||||
+ 1 |
|
|
|||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
lim |
4 − |
1 |
= |
4 |
; |
|
|
|||||
5 + |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
→∞ |
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||
5) |
lim |
2 2 + 1 |
= 2; |
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
lim |
cos |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
lim |
3 +1 − 1 |
= 3. |
|
|||||||||
|
→∞ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
172. |
Найти пределы последовательностей: |
||||||||||||
1) |
lim |
2 − |
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
lim |
4 − 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
lim |
6 + |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 − 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
lim |
3 2 − + 2 |
; |
|
|
||||||||
|
→∞ |
5 2 + 2 |
|
|
|||||||||
5) |
lim |
(2 − 1)( + 2) |
; |
||||||||||
|
→∞ |
2 + + 1 |
|
|
|||||||||
6) |
lim |
2 − 2 + 2 |
; |
|
|||||||||
|
→∞ |
2 + |
1 |
+ 2 2 |
|
|
|||||||
7) |
lim |
( + 1)2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||
2 + |
|
|
|
|
|
||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8) |
lim |
+ (−1) |
; |
|
|
||||||||
|
→∞ |
− (−1) |
|
|
Назад Вперёд
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Решение] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR881x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню
9) |
lim |
4 3 − 5 2 + 10 |
; |
|
|
|
|
||||
|
→∞ |
21 3 + 7 − 8 |
|
|
|
|
|
|
|||
10) |
lim |
2 2 + + 4 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − + 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11) |
lim |
4 + 5 2 − 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 3 − 3 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12) |
lim |
7 2 − 1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
5 3 + 4 2 − 2 + 1 |
|
|
|||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|||||||
13) |
lim |
1000 3 + 100 |
; |
|
|
|
|
|
|||
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14) |
lim |
( + 1)! + ( + 2)! |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
→∞ |
( + 3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15) |
lim |
5( + 1)! |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ! + ( − 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16) |
lim |
(2 + 3) ! |
|
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( + 2)! + ( + 1)! |
|
|
|||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
||||||
17) |
lim |
! |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( − 1)! + (4 + 1) ! |
|||||||||||
|
→∞ |
|
|||||||||
18) |
lim |
(7 + 1) ! |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
9( + 1)! + 7 ! |
|
|
|
|
|
||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
19) |
lim |
( + 1)! + 7 ! |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
( + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20) |
lim |
! − ( + 2)! |
|
|
|
; |
|
||||
( + 3) ! + ( + 1)! |
|
||||||||||
|
→∞ |
|
|
||||||||
21) |
lim |
( − 3)! + ( − 2)! |
; |
|
|||||||
|
→∞ |
( − 1)! − ( − 2)! |
|
|
|
Назад Вперёд
[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR882x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню
22) lim |
( − 1)! + 3 ! |
; |
→∞ ( + 1)( − 1)! − ( − 2)! |
|
23)lim ( + 2)! − ( + 1)!;→∞ ! + 2( + 1)!
24)lim ( + 1)! − ( + 2)!;→∞ ( + 3)! − ( + 1)!
25) |
lim |
|
|
|
|
|
|
( − 1)! + ( − 3)! |
; |
||||||||||||||
(2 2 + 1)( − 3)! + ( − 2)! |
|||||||||||||||||||||||
|
→∞ |
|
|||||||||||||||||||||
26) |
lim |
|
( + 1)! + ! ( + 3)! |
; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
( + 2)! + ( + 1)! |
|
||||||||||||||||||
27) |
lim |
|
|
|
|
|
|
( + 3)! + ( + 2)! |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(2 2 |
+ 3)( + 1)! − ( + 2)! |
||||||||||||||||||||||
|
→∞ |
|
|||||||||||||||||||||
28) |
lim |
2 ! + ( + 1)! |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(3 + 1) ! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
29) |
lim |
|
(3 + 1)( − 1)! − 3( + 1)! |
; |
|||||||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
7( + 1)! + 4 ! |
|
||||||||||||
30) |
lim |
|
( + 1)3 − ( − 1)3 |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
→∞ |
( |
|
|
|
|
|
|
2 + 1 |
|
|
|
); |
|
|||||||||
31) |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
√ + 1 |
√ |
|
− |
|
|
||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
32) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
); |
|
|
|
|
|
|||
→∞ |
√ + 1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
33) |
→∞ |
(√ |
|
|
|
|
|
− ); |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
34) |
→∞ |
(√ |
|
|
|
|
|
− ); |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
lim |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
35) |
→∞ |
|
|
(√ |
|
|
|
|
|
− |
|
2 |
); |
|
|
|
|||||||
|
|
4 + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Указание] [Ответ] [Ответ]
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR883x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню Назад Вперёд
36) |
→∞ |
(√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− √ |
|
|
|
|
|
); |
[Ответ] |
||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
− |
||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
37) |
→∞ |
(√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
); |
[Ответ] |
||||||||
|
2 |
+ − |
|
2 |
− |
|||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
38) |
|
|
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Решение] [Ответ] |
||||||
lim |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
→∞ |
√ |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
39) |
lim |
2 + 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
40) |
lim→∞ |
√3 |
2 + 1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
+ + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
41) |
lim |
|
|
2 + − |
|
|
9 2 + 2 |
; |
[Ответ] |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
→∞ |
|
√3 3 + 1 − √3 8 3 + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
+ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
42) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||||||||
lim→∞ |
√4 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
+ − |
2 − 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
43) |
→∞ |
( + 2 − 2 + 1); |
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
44) |
( |
5 + 7 − |
2 + 5 3 ); |
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||||||||||||
→∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
2 |
− 1 |
|
|
|
1 + 2 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
45) |
( |
2 + 4 − |
2 − 3); |
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||||||||||||
→∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
5 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
46) |
( |
|
4 + 1 |
− 2 + 3); |
|
|
[Указание] [Ответ] |
|||||||||||||||||||||||
→∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
2 2 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
2 + 4 |
|
|
|
||||||||||||||||
47) |
( |
2 2 |
− 1 − 2 + 1); |
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||||||||||||
→∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
48) |
( + 2 − |
+ 3 ); |
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||||||||||||||
→∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
2 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR884x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню
49) |
lim |
|
5 − 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
50) |
lim |
|
2 +1 + 3 +1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
51) |
→∞ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
2 ); |
|
|
|||||||||||||
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2· · · |
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
lim |
|
|
1 + 2 + 3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
52) |
|
1 + 2 + 3 + · · · + |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
53) |
→∞ |
( 2 |
|
|
|
2 + 1 |
· · · |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
); |
|
|
||||||||||||
→∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
lim |
|
|
1 |
+ |
3 |
+ |
|
|
+ |
2 |
− |
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
54) |
lim |
|
1 + 2 + 3 + · · · + |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 + 4 + 9 + · · · + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
55) |
lim |
|
1 + 4 + 9 + · · · + 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
56) |
→∞ |
( 3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
); |
|||||||||
→∞ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
lim |
|
|
12 |
+ |
32 |
+ |
|
|
+ |
(2 − |
1)2 |
|
|
||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
57) |
→∞ |
1 · 2 |
|
+ 2 · 3 + · · · + ( + 1)); |
||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
1 + |
1 |
|
+ |
1 |
+ · · · + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
58) |
lim |
2 |
|
4 |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
→∞ |
1 + |
|
+ |
+ · · · + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
59) |
|
3 |
|
9 |
|
3 |
|
|
|
). |
|
|
||||||||||||||||||
→∞ |
( |
5 − |
25 |
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
+ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд
[Ответ] [Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Указание] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Указание] [Ответ]
[Ответ]
173.Показать на примерах, что частное двух бесконечно малых последовательностей может быть бесконечно малым и бесконечно большим.
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR885x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню |
Назад Вперёд |
174. Доказать, что следующие последовательности не имеют предела:
1) = (−1) ;
2) = sin 2 .
175.Привести пример расходящейся последовательности , для которой последовательность | | сходится.
176.На примере показать, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.
177.На примере показать, что не всякая ограниченная последовательность является сходящейся.
178.Следует ли из сходимости суммы последовательностей и сходи-
мость каждой из последовательностей |
и ? |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||||||||
179. Доказать, что последовательность { }, где |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∑ |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
=1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Решение] |
|||||
180. Доказать сходимость и найти предел последовательности , где |
||||||||||||||||||||||||
1 = √ |
|
|
2 = √ |
|
|
|
3 = √ |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
, |
+ √ |
|
, |
+ √ |
+ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
. . . , |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ . . . + √ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√корней |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если известно, что > 0. |
[Решение] [Ответ] |
![](/html/2706/988/html_Xq8d_YmGMx.6QAL/htmlconvd-MmksYR886x1.jpg)
Часть II. Задачи
Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
Меню Назад Вперёд
181. |
Найти предел последовательности , заданной рекуррентно: |
|
|||||
|
1 (0, 1); |
+1 |
= (2 − ), |
N. |
[Ответ] |
||
182. |
Найти предел последовательности , если |
|
|
|
|||
|
1 = , 2 = , |
< ; |
= |
−1 + −2 |
, > 3. |
[Ответ] |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
183.Доказать, что неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.