Математика для инженеров(теория)I том

Разностью A − B двух матриц A = (aij ) и B = (bij ) одинакового

Из равенств (4), (3), (2) следует, что каждый элемент cij матрицы A − B есть разность соответствующих элементов матриц A и B, т.е.

у которой каждый элемент cij , стоящий на пересечении i-той строки

и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

k=1

Таким образом, C = AB . Операция нахождения произведения данных матриц называется умножением матриц.

Например:

Отметим, что операция умножения двух матриц выполнима тогда и только тогда, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором.

Используя определение (5), без труда проверяется сочетатель- ное свойство умножения матриц, а также распределительное свойство умножения относительно сложения:

33

1)(AB)C = A(BC) ,

2)(A + B)C = AC + BC ,

3)A(B + C) = AB + AC .

Операцию умножения матриц можно распространить на случай более двух сомножителей.

Заметим, что умножение AB всегда выполнимо, если сомножи- тели A и B квадратные матрицы одного и того же порядка. Обратим внимание, что умножение матриц не обладает переместительным (коммутативным) свойством. Действительно, например, для матриц

Из формулы (6) вытекает, что при умножении матриц единичная матрица E и нулевая O выполняют ту же роль, что числа 1 и 0 при умножении действительных чисел.

Заметим, что в отличие от чисел, произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу.

34

Введем еще одну важную операцию над матрицей – транспони- рование матрицы. Пусть задана матрица A размеров m × n вида (1).

После замены строк одноименными столбцами получим матрицу AT размеров n × m , которая называется транспонированной к заданной:

Число строк транспонированной матрицы равно числу столбцов матрицы A , а число столбцов – числу строк матрицы A .

Операция нахождения матрицы AT называется транспонирова- нием матрицы, и для нее имеют место следующие свойства:

1)(AT )T = A ,

2)(α A)T = α AT ,

3)(A + B)T = AT + BT ,

4)(AB)T = BT AT .

Если квадратная матрица A = (aij )1n совпадает со своей транспони-

рованной, т.е. AT = A , то такая матрица называется симметрической.

Матрицу B , для которой BT = -B , называют кососимметрической. Легко видеть, что в кососимметрической матрице все элементы главной диагонали нули.

Например,

Упражнение 1. Доказать свойство 4) (AB)T = BT AT .

Отметим также, что в математической литературе транспониро- ванная матрица AT часто обозначается A′ .

§ 2. Определители второго и третьего порядков и их свойства

10. Определители второго и третьего порядков. По опреде-

ленному правилу каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, которое называется ее определителем и обознача- ется | A | . Рассмотрим сначала определители для матриц порядков 1, 2, 3.

35

Если порядок матрицы A равен единице, то она состоит из одного элемента a11 и определителем первого порядка, который соответствует

матрице A = (a11) , называют число a11 :| A |= a11 . Если матрица А – квадратная, порядка 2, т.е.

то определителем второго порядка назовем число, равное разности произведений элементов главной диагонали и побочной:

Далее будем называть элементами, строками, столбцами те элементы определителя | A | произвольного порядка, которые стоят на

том же месте, что и соответствующие элементы, строки и столбцы матрицы A.

Отметим, что для вычисления определителя третьего порядка

используют алгебраическую сумму произведений элементов первой строки и определителей второго порядка из элементов второй и третьей строк.

Используя равенство (1), определение определителя третьего порядка (2) можно записать в другом виде:

a11 a12 a13

-a11 × a23 × a32 - a12 × a21 × a33 - a13 × a22 × a31.

Обратим внимание, что каждое слагаемое алгебраической суммы

(3) имеет в качестве множителя один и только один элемент каждой строки и каждого столбца. При этом, в сумму в правой части (3) входят все возможные комбинации таких произведений. Аналогичная ситуация и для определителя второго порядка.

36

Отметим, что вместо слова «определитель» употребляют, в соответствии с латинским термином, слово «детерминант». Для обозначения определителя будем использовать также другие записи, например, det A, .

20. Свойства определителей второго и третьего порядков.

Сформулируем ряд свойств для определителей второго и третьего порядков и докажем их для определителей третьего порядка, т.к. для

определителей второго порядка они доказываются аналогично и более просто.

1) Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т.е.

Для доказательства этого свойства нужно применить к опреде- лителям, стоящим в левой и правой частях равенства (4), формулу (3) и убедиться в равенстве полученных выражений.

Упражнение 1. Доказать равенство (4).

Из свойства 1) вытекает равноправность строк и столбцов опре- делителя. В связи с этим все дальнейшие свойства будем формулиро- вать и для строк, и для столбцов, а доказывать их только для строк или только для столбцов.

2) При перестановке двух строк или двух столбцов знак опреде- лителя меняется на противоположный.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда первая и вторая строка определителя третьего порядка поменялись местами:

+a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a23 a32 a11 .

Сравнивая равенство (5) с равенством (3), делаем вывод, что в данном случае свойство 2) доказано.

Если переставлены другие строки определителя, то свойство 2) проверяется аналогично. □

3) Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

Доказательство. Действительно, при перестановке двух одина-

37

Например,

1 1 1

35 5 = 0 .

46 6

4)Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда общий множитель имеют элементы второй строки, т.е. докажем равенство

Действительно, в силу формулы (3), получаем

−a13 (λa22 )a31 − a12 (λa21)a33 − a11(λa23 )a32 =

=λ(a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 −

a11 a12 a13 − a12a21a33 − a11a23a32 ) = λ a21 a22 a23 .

a31 a32 a33

Для первой и третьей строк свойство 4) проверяется аналогично. □

5)Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из свойства 4) при λ = 0 .

6)Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Доказательство. Действительно, если элементы двух столбцов определителя пропорциональны, то по свойству 4) общий множитель элементов этих столбцов можно вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя одинаковыми столбцами, который

равен нулю согласно свойству 3). □ Например,

38

7) Пусть каждый элемент i-го столбца (i =1, 2, 3) или j-ой строки ( j =1, 2, 3) определителя есть сумма двух чисел. Тогда равен сумме

двух определителей, из которых один в i-ом столбце (j-ой строке) имеет первые слагаемые, а другой – вторые слагаемые суммы; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Например,

Для доказательства свойства 7) нужно применить к определителям, стоящим в левой и правой частях равенства (6), формулу (3) и убе- диться в равенстве полученных выражений.

Упражнение 2. Проверить равенство (6).

8) Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель λ .

Доказательство. Действительно, полученный в результате такого сложения определитель по свойству 7) можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй имеет два пропорциональных столбца и, согласно свойству 6), равен нулю. □

Например,

§ 3. Определители n-го порядка

10. Понятие определителя n-го порядка. Рассмотрим квадрат-

ную матрицу A = (aij )1n , где n ³ 2 . В § 2 для матриц второго и третьего

порядков определены соответственно определители второго и третьего порядков, причем определение определителя третьего порядка бази- ровалось на определении определителя второго порядка. Обобщим это понятие на случай квадратной матрицы An×n произвольного порядка

n, n ³ 2 .

39

Определитель четвертого порядка, соответствующий матрице

С помощью определителей четвертого порядка можем, анало- гично формуле (1), ввести понятие определителя пятого порядка и т.д., т.е. используем рекуррентный способ определения: считаем, что уже определено понятие определителя порядка n −1, и на его основе дадим понятие определителя порядка n.

Определитель Mij порядка n −1, который получается из матри-

цы A в результате вычеркивания ее i-ой строки и j-го столбца (по ин- дуктивному предположению он уже определен), называется минором

элемента aij ; i, j =1,n .

Определителем или детерминантом квадратной матрицы

Формула (2) называется разложением определителя по элементам первой строки. При n = 2 равенство (2) равносильно равенству (2.1), а при n = 3 оно превращается в формулу (2.2).

Замечание 1. Наряду с формулой (2) для каждого определителя D матрицы A порядка n, n ³ 2 , имеет место разложение по первому столбцу:

40

i=1

Упражнение 1. С помощью метода математической индукции доказать формулу (3).

Пример 1. Используя формулу (2), показать, что определитель треугольной матрицы (треугольный определитель) равен произведе- нию элементов, стоящих на главной диагонали.

Решение. Рассмотрим случай нижней треугольной матрицы:

Аналогично, определитель диагональной матрицы равен произ- ведению ее диагональных элементов, в частности, для единичной мат- рицы Е имеем det E =1 .

20. Свойства определителей. В §2 рассмотрены свойства опре- делителей второго и третьего порядков, которые обобщим на случай определителя произвольного порядка n, n ³ 2 .

1) Свойство равноправности строк и столбцов. При транспо-

нировании матрицы ее определитель не меняется.

Доказательство свойства 1) проведем по методу математической индукции. Для матриц второго и третьего порядков это свойство выте- кает из § 2. Пусть оно имеет место для матриц порядка n −1, и покажем,

что оно справедливо и для матриц порядка n. Обозначим через A1j , j =1,n , матрицу, которая получается из исходной матрицы A = (aij )1n

вычеркиванием первой строки и j-го столбца, B1j – матрицу, что по-

лучается из AT = (bij )1n после вычеркивания j -ой строки и первого столбца. Матрицы A1j и B1j имеют порядок n −1 и (A1j )T = B1j . По-

скольку по индуктивному предположению det A1j = det (A1j )T , то имеем det A1j = det B1j . Из последнего равенства вытекает, что каждый минор

41

что разложение det A по первой строке совпадает с разложением det AT по первому столбцу. □

С учетом свойства 1) все дальнейшие свойства будем формулировать только для столбцов (или строк), имея ввиду, что они

справедливы и для строк (или столбцов).

Используя метод математической индукции и формулу (2),

можно доказать свойство антисимметрии при перестановке двух столбцов.

2)При перестановке двух столбцов знак определителя меняется на противоположный, но сохраняется его абсолютная величина.

Упражнение 2. Доказать свойство 2).

3)Для каждого определителя D порядка n,n ³ 2 , имеет место

разложение по произвольной строке:

произвольная строка определителя D . Переставим ее на место первой строки так, чтобы не поменялось чередование всех остальных строк. Количество строк, стоящих выше i -ой строки, есть i -1. Переставим i -ую строку последовательно с каждой из них. В результате получим

определитель 1 , причем, в силу свойства 2), имеем = (−1)i−1 1 . Раз- ложим определитель 1 по первой строке (это равносильно разложению по элементам i -ой строки определителя D ). Получим

j=1

где N1 j – минор, образованный из 1 после вычеркивания 1-ой строки и j -го столбца. Иначе говоря, минор N1 j получается в результате вы- черкивания в определителе D i-ой строки и j -го столбца. Поэтому N1 j = Mij , а тогда из (6) получаем формулу (4). □

42