Математика для инженеров(теория)I том
.pdfкоординатами: a = (ax;ay ;az ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (bx ;by ;bz ), т.е. при разложении |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по базису |
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = ax |
|
|
|
+ ay |
|
|
|
|
|
+ az |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
= bx |
|
|
|
|
|
|
|
+ by |
|
|
+ bz |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
b |
k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
j |
|
i |
j |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемножим векторно эти равенства: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a × |
|
|
= (ax |
|
|
+ ay |
|
|
|
|
+ az |
|
|
|
) × (bx |
|
|
+ by |
|
|
|
+ bz |
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
k |
k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
j |
i |
|
j |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= axbx ( |
|
× |
|
) + aybx ( |
|
× |
|
) + azbx ( |
|
|
|
|
× |
|
) + axby ( |
|
× |
|
) + ayby ( |
|
× |
|
) + |
(8) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
i |
j |
i |
i |
i |
j |
j |
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+azby ( |
|
× |
|
) + axbz ( |
|
|
× |
|
|
|
) + aybz ( |
|
× |
|
|
|
|
) + azbz ( |
|
× |
|
). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
k |
k |
k |
k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j |
i |
j |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя равенства (7), преобразуем (8): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a × |
|
= (aybz − azby ) |
|
|
|
+ (azbx − axbz ) |
|
|
+ (axby − aybx ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
j |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
a |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a × b = |
|
|
|
|
i |
− |
|
|
|
|
|
|
j + |
k . |
(9) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y |
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
b |
b |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Но (9) есть разложение определителя третьего порядка по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементам первой строки, значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a × |
|
= |
ax |
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
az |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
by |
|
|
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = (1;2;3) и b = (4;5;6).
Решение. Обозначим a × |
b |
= c = (cx ;cy ;cz ). |
|
|
||||||||||||||
Тогда cx = |
|
2 |
3 |
|
= −3, |
cy = − |
|
1 |
3 |
|
= 6; |
cz = |
|
1 |
2 |
|
= −3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
Итак, векторное произведение данных векторов a и b есть вектор c = −3i + 6 j − 3k = (−3; 6;−3). □
Используя формулу (10), определение векторного произведения и свойство 4, получаем следующее утверждение: два ненуле-
вых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их
координаты пропорциональны
ax = ay = az . bx by bz
103
§ 9. Смешанное произведение векторов
10. Определение смешанного произведения векторов, его свойства и геометрический смысл. Пусть даны три вектора a, b и c .
Умножим вектор a векторно на b , а полученный вектор a × b умножим скалярно на c и тем самым определим число (a × b )c . Оно
называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов a,b ,c. Смешанное произведение (a × b )c обозна-
чают также abc , или (abc ) , или (a,b ,c ) .
Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Утверждение 1. Смешанное произведение (a × b )c равно
объему V параллелепипеда, построенного на векторах a,b ,c , взятому со знаком «+», если тройка a,b ,c – правая, со знаком «–», если тройка a,b ,c – левая. Если же a,b ,c компланарны, то
(a × b )c = 0.
Доказательство. Пусть даны некомпланарные векторы a,b ,c , образующие правую тройку. Обозначим через V объем па-
раллелепипеда, построенного на этих векторах; через S – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , а через h –
высоту параллелепипеда (рис.1). Тогда из определения векторного и с к а л я р н о г о п р о и з в е д е н и й п о л у ч а е м
(a × b)c = a × bc cosθ = ab sinϕ c cosθ , где ϕ – угол между векто-
рами a и b , а θ – угол между векторами a × b и c.
Так как a b sinϕ = S, c cosθ = h, то (a × b )c = S h = V.
Если же тройка a,b ,c – левая,
то h = c cos(π −θ ) = − c cosθ и
Рис. 1
104
(a × b )c = −S h = −V.
Рассмотрим теперь случай компланарных векторов a,b ,c . Если c = 0, то, очевидно, (a × b )c = 0. Пусть c ¹ 0. Тогда либо a × b = 0, если векторы a и b коллинеарны, либо (a × b ) c, если a и b некол-
линеарны. В любом случае, (a ´b )c = 0.
Из утверждения 1 вытекает, что абсолютная величина abc остается той же, независимо от порядка сомножителей a,b ,c. Что
касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других – отрицательным. Это зависит от того, образуют перемножаемые векторы, взятые в указанном порядке, правую или левую тройку.
Таким образом, получаем следующее свойство смешанного произведения.
Утверждение 2. Смешанное произведение не меняется при
круговой перестановке его сомножителей; перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противопо-
л |
|
|
о |
|
|
ж |
|
н |
|
|
|
ы |
й |
, |
|
|
т |
. |
|
е |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
b |
c = |
b |
c a = c a |
b |
= -( |
b |
a c ) = -(c |
b |
a) = -(a c |
b |
). |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Критерий компланарности трех векторов. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Утверждение 3. Необходимым и достаточным условием ком- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
планарности векторов a, |
|
|
,c |
является равенство нулю их сме- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шанного произведения: |
|
|
|
|
(1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
abc = 0 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Доказательство. Если a, |
b |
,c |
компланарны, то из утверждения |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
abc = 0 , т.е. (1) имеет место. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть теперь выполняется равенство (1) и покажем, что |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
векторы a, |
|
,c |
компланарны. Действительно, если бы векторы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
a, |
|
,c |
были некомпланарны, то по утверждению 1 их смешанное |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
произведение |
|
|
|
□ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
abc = ±V ¹ 0, что противоречит (1). |
|
30. Выражение смешанного произведения через координаты пе-
ремножаемых векторов. Пусть векторы a,b ,c заданы своими ко-
ординатами: |
a = (ax;ay ;az ), |
|
|
|
|
|
= (bx ;by ;bz ), |
c = (cx;cy ;cz ). Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = ax |
|
+ ay |
|
|
+ az |
|
|
, |
|
|
= bx |
|
+ by |
|
+ bz |
|
, |
c = cx |
|
|
|
+ cy |
|
+ cz |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
b |
k |
k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
j |
|
i |
j |
i |
j |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (8.9) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
az |
|
|
|
|
|
|
ax |
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
a ´b = |
|
i |
- |
|
|
j |
+ |
|
k . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
y |
b |
|
|
b |
b |
|
|
b |
|
b |
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
z |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Далее по формуле (7.8) для скалярного произведения полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ч |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
az |
|
|
|
|
|
ax |
|
|
ay |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(a ´b )c = |
|
|
|
|
cx |
- |
|
cy + |
|
|
cz |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
by |
|
bz |
|
|
|
bx |
|
bz |
|
|
bx |
|
|
by |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
(a ´ |
b |
)c = |
bx |
by |
bz |
. |
(2) |
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
Таким образом, смешанное произведение равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят соответствующие
координаты перемножаемых векторов.
Пример 1. Найти смешанное произведение векторов: a = (1;2;3) , b = (4;5;6), c = (7;8;9).
Решение. По формуле (2) получаем
|
1 |
2 |
3 |
|
||
c ×(a ´ |
|
) = |
4 |
5 |
6 |
=1×5×9 + 4×8×3 + 2 ×6 ×7 - 7 ×5×3 - 2 × 4×9 - 6×8×1 = |
b |
||||||
|
7 |
8 |
9 |
|
= 45 + 96 + 84 -105 - 72 - 48 = 225 - 225 = 0,
т.е. данные векторы, в силу утверждения 3, компланарны. □ Упражнение 1. Доказать, что объем треугольной пирамиды,
образованной векторами a, |
|
,c , равен |
1 |
|
a |
|
c |
|
. |
|
b |
|
b |
|
|||||||
6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задания для самостоятельной работы |
1 |
. Даны точки M1(-2;3) и M2 (5; 4). |
Найти расстояние между |
||||||||
|
н |
и |
|
|
|
м |
и |
. |
||
2 |
. Даны точки |
A(0;1), B(−2; 3) и C(1; 4). Найти площадь тре- |
||||||||
|
угольника АВС. |
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
. Даны точки M1(1;1) |
и M2 (7; 4). |
Найти точку |
M (x; y) , ко- |
||||||
|
торая |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в два раза ближе к |
M1 , чем к M2 . |
|
|||||||
4 |
. Найти полярные координаты точек: |
|
||||||||
|
A(2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3; 2), B(0;-3), С( |
2; - 2), D(-7; 0) . |
|
5. Найти прямоугольные координаты точек:
æ |
π ö |
æ |
- |
π ö |
æ |
-1; |
- |
π ö |
Aç10; |
÷ |
, Bç1; |
÷ |
, C ç |
÷ . |
|||
è |
2 ø |
è |
|
4 ø |
è |
|
|
4 ø |
106
6 |
. Даны точки A(−1;5; −10), B(5; − 7; 8), C = (2: 2; − 7), D(5; − 4; 2) . |
|||||
|
Проверить, |
коллинеарны ли |
векторы AB и CD . |
Во |
||
|
сколько раз один из этих векторов длиннее другого? |
|
||||
7 |
. Найти прuuur |
AB , если A(1; − 2; 3), B(4; 4; − 3), C(2; 4; 3), D(8; 6; 6). |
||||
|
CD |
|
|
|
|
|
8 |
. Найти направляющие косинусы вектора a = (2; −1; 2) . |
|
||||
9 |
. Найти угол между диагоналями параллелограмма, по- |
|||||
|
строенного на векторах a = (2;1; 0) и |
|
= (0; − 2;1). |
|
||
|
b |
|
||||
10. Доказать, |
что длина отрезка |
прямой при повороте |
не |
|||
|
меняется. |
|
|
|
|
|
11. Вычислить косинус тупого угла между медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренно- го прямоугольного треугольника.
12.Найти вектор c , коллинеарный вектору a = (1; − 2; 3) и удовлетворяющий условию с × a = 5 .
13. Найти работу, совершаемую силой F(1; − 2; 5) , если точка ее приложения перемещается из M1(0; 2;1) в M2 (1; 3;2) .
14. Найти векторное произведение двух векторов:
а) (5;7;6) и (−1;2;3); б) (3;4;2) и (−2;−1;−2); в) (1;3;1) и (−1;2;2).
15. Найти смешанное произведение трех векторов:
а) (3;4;2), (1;5;6) и (−1;−2;−3); б) (−1;5;0), (6;2;1) и (4;3;2); в) (5;8;11), (−1;5;3) и (6;−2;8).
Если тройка векторов некомпланарна, указать ее ориентацию.
16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
в |
е |
к |
|
|
т |
|
о |
|
|
р |
а |
х |
||||||
|
|
a = 6 |
|
+ 3 |
|
− 2 |
|
и |
|
= 3 |
|
− 2 |
|
+ 6 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
k |
b |
k |
|
|
||||||||||
|
|
i |
j |
i |
j |
|
|
17. Показать, что векторы
a = 2i + 5 j + 7k , b = i + j − k , c = i + 2 j + 2k
компланарны.
107
18 |
. Найти объем |
треугольной |
пирамиды |
с вершинами |
||||
|
A(2; 2; 2), |
B(4; 3; 3), C(4; 5; 4), |
D(5; 5; 6). |
|
||||
19 |
. Точка A(2; 3; 4) |
твердого тела закреплена. В точке B(0; 3; 4) прило- |
||||||
|
жена сила |
|
|
|
|
|
||
|
F |
(0; 5;1) . Найти момент силы F |
относительно |
|||||
|
точки А. |
|
|
|
|
|
|
|
108
109
ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Линия на плоскости. Поверхность и линия в пространстве
10. Определение уравнения линии. Важным понятием анали-
тической геометрии является понятие уравнения линии. Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат Oxy и некоторую
линию L (рис.1), заданную уравнением |
|
F(x, y) = 0. |
(1) |
Соотношение (1) называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют коорди- наты точек, не лежащих на этой линии.
При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, уравнение это имело бесконечное мно- жество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло «куска плоскости».
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Если (1) является уравнением линии L, то говорят, что уравнение (1) определяет или задает линию L.
Линия L может определяться не только уравнением вида (1), но
и уравнением вида
F(ρ,ϕ) = 0 , |
(2) |
содержащим полярные координаты.
Примеры определения линий уравнениями:
1) x − y = 0 . Записав это уравнение в виде y = x , заключаем, что
множеством точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, являются биссектрисы I и III координатных углов (рис.2);
110
2) x2 − y2 = 0 . Запишем уравнение в виде (x − y)(x + y) = 0 .
Заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, это две прямые, содержащие биссектрисы четырех координатных углов (рис.3);
3) x2 + y2 = 0 . Множество точек, координаты которых удовле-
творяют этому уравнению, состоит из одной точки (0;0). Здесь урав- нение определяет вырожденную линию;
4) x2 + y2 + 2 = 0 . Так как при любых x и y числа x2 и y2
неотрицательны, то x2 + y2 + 2 > 0 . Нет ни одной точки, координаты
которой удовлетворяют данному уравнению, т.е. данное уравнение определяет «пустое» множество;
5) ρ = a cosϕ , где a > 0 – постоянная, переменные ϕ и ρ – по-
лярные координаты. Обозначим через M точку с полярными коорди- натами (ρ;ϕ) , через A – точку с полярными координатами (a;0)
(рис.4). Если ρ = a cosϕ , где 0 < ϕ < π2 , то угол OMA – прямой. Верно
и обратное. Следовательно, множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют данному уравнению – окружность с диамет- ром OA (рис.4);
Рис. 3 |
Рис. 4 |
|
6) ρ = aϕ , где постоянная a > 0 , ρ |
и ϕ |
полярные коорди- |
наты. Пусть M – точка с полярными координатами (ρ;ϕ) . Если ϕ = 0 , |
||
то ρ = 0 . Таким образом, при увеличении угла ϕ |
точка M (ρ;ϕ) , на- |
чавшая свое движение в полюсе, движется вокруг него, одновременно удаляясь от полюса. Множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению ρ = aϕ , называется спиралью Архимеда
(рис.5). При этом предполагается, что ϕ может принимать любые
неотрицательные значения.
Если точка M совершит один полный оборот вокруг полюса, то ϕ возрастет на 2π , а ρ – на 2aπ , т.е. спираль рассекает любую прямую,
проходящую через полюс, на равные отрезки длины 2aπ (не считая отрезка, содержащего полюс).
111
Рассмотрим теперь обратную задачу: для заданного какими-либо его свойствами множества точек, т.е. для заданной линии L, найти ее уравнение.
Пример 1. Вывести уравнение (в заданной прямоугольной сис- теме координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки O(0;0) на расстоянии R , т.е. вывести уравнение окружности радиуса R
с центром в начале координат (рис.6).
Решение. Расстояние от произвольной точки M (x; y) до точки O
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисляется по формуле |
|
MO |
|
= x2 + y2 . |
|
||
|
|
|
|||||
Если точка M лежит на окружности, |
то | MO |= R или |
||||||
MO2 = R2 , т.е. координаты точки M удовлетворяют уравнению |
|||||||
|
|
x2 + y2 = R2 . |
(3) |
Рис. 5 |
Рис. 6 |
Уравнение (3) и есть уравнение окружности радиуса R с цен- |
|
тром в начале координат. |
□ |
Приведем еще несколько примеров на нахождение множеств точек по уравнениям и неравенствам, связывающим их координаты.
|
Пример 2. |
Найти множество точек |
|
(x; y) , координаты которых удовлетворяют |
|
|
уравнению | x | - | y |=1. |
|
|
Решение. Так как искомое множество |
|
|
точек симметрично относительно коорди- |
|
|
натных осей Oy |
и Ox , то исследование |
|
можно свести к случаю x ³ 0, y ³ 0 . Оконча- |
|
|
тельно получаем множество, изображенное |
|
Рис. 7 |
на рис.7. □ |
x2 + 2x + y2 = 0 задает на |
Пример 3. Показать, что уравнение |
плоскости окружность. Найти ее центр и радиус.
Решение. Представим данное уравнение в виде
(x2 + 2x +1) + y2 =1 или (x +1)2 + y2 =1 .
112