Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf
Скачиваний:
103
Добавлен:
18.02.2016
Размер:
4.09 Mб
Скачать

координатами: a = (ax;ay ;az ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (bx ;by ;bz ), т.е. при разложении

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по базису

 

 

 

 

,

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = ax

 

 

 

+ ay

 

 

 

 

 

+ az

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

= bx

 

 

 

 

 

 

 

+ by

 

 

+ bz

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

b

k

 

i

j

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перемножим векторно эти равенства:

 

 

 

 

a ×

 

 

= (ax

 

 

+ ay

 

 

 

 

+ az

 

 

 

) × (bx

 

 

+ by

 

 

 

+ bz

 

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

k

k

 

 

i

j

i

 

j

 

= axbx (

 

×

 

) + aybx (

 

×

 

) + azbx (

 

 

 

 

×

 

) + axby (

 

×

 

) + ayby (

 

×

 

) +

(8)

 

 

 

 

 

 

k

i

i

j

i

i

i

j

j

j

 

+azby (

 

×

 

) + axbz (

 

 

×

 

 

 

) + aybz (

 

×

 

 

 

 

) + azbz (

 

×

 

).

 

 

 

 

k

k

k

k

k

 

 

j

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя равенства (7), преобразуем (8):

 

 

 

a ×

 

= (aybz azby )

 

 

 

+ (azbx axbz )

 

 

+ (axby aybx )

 

 

 

 

 

b

k

 

 

 

i

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ay

 

 

az

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

ay

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

 

 

 

a

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a × b =

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

j +

k .

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

b

y

 

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

b

b

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но (9) есть разложение определителя третьего порядка по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

элементам первой строки, значит

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ×

 

=

ax

 

 

 

 

 

ay

 

 

 

az

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bx

 

 

 

 

 

by

 

 

 

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = (1;2;3) и b = (4;5;6).

Решение. Обозначим a ×

b

= c = (cx ;cy ;cz ).

 

 

Тогда cx =

 

2

3

 

= −3,

cy = −

 

1

3

 

= 6;

cz =

 

1

2

 

= −3.

 

 

 

 

 

 

 

 

5

6

 

 

 

 

4

6

 

 

 

 

4

5

 

 

Итак, векторное произведение данных векторов a и b есть вектор c = −3i + 6 j − 3k = (−3; 6;−3).

Используя формулу (10), определение векторного произведения и свойство 4, получаем следующее утверждение: два ненуле-

вых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их

координаты пропорциональны

ax = ay = az . bx by bz

103

§ 9. Смешанное произведение векторов

10. Определение смешанного произведения векторов, его свойства и геометрический смысл. Пусть даны три вектора a, b и c .

Умножим вектор a векторно на b , а полученный вектор a × b умножим скалярно на c и тем самым определим число (a × b )c . Оно

называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов a,b ,c. Смешанное произведение (a × b )c обозна-

чают также abc , или (abc ) , или (a,b ,c ) .

Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Утверждение 1. Смешанное произведение (a × b )c равно

объему V параллелепипеда, построенного на векторах a,b ,c , взятому со знаком «+», если тройка a,b ,c – правая, со знаком «–», если тройка a,b ,c – левая. Если же a,b ,c компланарны, то

(a × b )c = 0.

Доказательство. Пусть даны некомпланарные векторы a,b ,c , образующие правую тройку. Обозначим через V объем па-

раллелепипеда, построенного на этих векторах; через S – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , а через h

высоту параллелепипеда (рис.1). Тогда из определения векторного и с к а л я р н о г о п р о и з в е д е н и й п о л у ч а е м

(a × b)c = a × bc cosθ = ab sinϕ c cosθ , где ϕ – угол между векто-

рами a и b , а θ – угол между векторами a × b и c.

Так как a b sinϕ = S, c cosθ = h, то (a × b )c = S h = V.

Если же тройка a,b ,c – левая,

то h = c cos(π −θ ) = − c cosθ и

Рис. 1

104

(a × b )c = −S h = −V.

Рассмотрим теперь случай компланарных векторов a,b ,c . Если c = 0, то, очевидно, (a × b )c = 0. Пусть c ¹ 0. Тогда либо a × b = 0, если векторы a и b коллинеарны, либо (a × b ) c, если a и b некол-

линеарны. В любом случае, (a ´b )c = 0.

Из утверждения 1 вытекает, что абсолютная величина abc остается той же, независимо от порядка сомножителей a,b ,c. Что

касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других – отрицательным. Это зависит от того, образуют перемножаемые векторы, взятые в указанном порядке, правую или левую тройку.

Таким образом, получаем следующее свойство смешанного произведения.

Утверждение 2. Смешанное произведение не меняется при

круговой перестановке его сомножителей; перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противопо-

л

 

 

о

 

 

ж

 

н

 

 

 

ы

й

,

 

 

т

.

 

е

.

 

 

 

 

a

b

c =

b

c a = c a

b

= -(

b

a c ) = -(c

b

a) = -(a c

b

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. Критерий компланарности трех векторов.

 

 

 

 

 

Утверждение 3. Необходимым и достаточным условием ком-

 

планарности векторов a,

 

 

,c

является равенство нулю их сме-

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шанного произведения:

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

abc = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Если a,

b

,c

компланарны, то из утверждения

 

 

 

 

 

 

 

1 получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

abc = 0 , т.е. (1) имеет место.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть теперь выполняется равенство (1) и покажем, что

 

 

векторы a,

 

,c

компланарны. Действительно, если бы векторы

 

 

b

 

a,

 

,c

были некомпланарны, то по утверждению 1 их смешанное

 

b

 

 

 

 

 

произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

abc = ±V ¹ 0, что противоречит (1).

 

30. Выражение смешанного произведения через координаты пе-

ремножаемых векторов. Пусть векторы a,b ,c заданы своими ко-

ординатами:

a = (ax;ay ;az ),

 

 

 

 

 

= (bx ;by ;bz ),

c = (cx;cy ;cz ). Тогда

b

a = ax

 

+ ay

 

 

+ az

 

 

,

 

 

= bx

 

+ by

 

+ bz

 

,

c = cx

 

 

 

+ cy

 

+ cz

 

.

 

 

 

 

k

 

b

k

k

 

i

j

 

i

j

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (8.9) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ay

az

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

az

 

 

 

 

 

 

ax

 

ay

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ´b =

 

i

-

 

 

j

+

 

k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

y

b

 

 

b

b

 

 

b

 

b

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

z

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее по формуле (7.8) для скалярного произведения полу-

ч

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ay

 

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

az

 

 

 

 

 

ax

 

 

ay

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a ´b )c =

 

 

 

 

cx

-

 

cy +

 

 

cz

 

 

 

 

by

 

bz

 

 

 

bx

 

bz

 

 

bx

 

 

by

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

105

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

ax

ay

az

 

 

(a ´

b

)c =

bx

by

bz

.

(2)

 

 

 

cx

cy

cz

 

 

Таким образом, смешанное произведение равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят соответствующие

координаты перемножаемых векторов.

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов: a = (1;2;3) , b = (4;5;6), c = (7;8;9).

Решение. По формуле (2) получаем

 

1

2

3

 

c ×(a ´

 

) =

4

5

6

=1×5×9 + 4×8×3 + 2 ×6 ×7 - 7 ×5×3 - 2 × 4×9 - 6×8×1 =

b

 

7

8

9

 

= 45 + 96 + 84 -105 - 72 - 48 = 225 - 225 = 0,

т.е. данные векторы, в силу утверждения 3, компланарны. Упражнение 1. Доказать, что объем треугольной пирамиды,

образованной векторами a,

 

,c , равен

1

 

a

 

c

 

.

b

 

b

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельной работы

1

. Даны точки M1(-2;3) и M2 (5; 4).

Найти расстояние между

 

н

и

 

 

 

м

и

.

2

. Даны точки

A(0;1), B(−2; 3) и C(1; 4). Найти площадь тре-

 

угольника АВС.

 

 

 

 

 

 

3

. Даны точки M1(1;1)

и M2 (7; 4).

Найти точку

M (x; y) , ко-

 

торая

 

 

 

 

 

 

 

 

в два раза ближе к

M1 , чем к M2 .

 

4

. Найти полярные координаты точек:

 

 

A(2

 

 

 

 

 

 

 

 

3; 2), B(0;-3), С(

2; - 2), D(-7; 0) .

 

5. Найти прямоугольные координаты точек:

æ

π ö

æ

-

π ö

æ

-1;

-

π ö

Aç10;

÷

, Bç1;

÷

, C ç

÷ .

è

2 ø

è

 

4 ø

è

 

 

4 ø

106

6

. Даны точки A(−1;5; −10), B(5; − 7; 8), C = (2: 2; − 7), D(5; − 4; 2) .

 

Проверить,

коллинеарны ли

векторы AB и CD .

Во

 

сколько раз один из этих векторов длиннее другого?

 

7

. Найти прuuur

AB , если A(1; − 2; 3), B(4; 4; − 3), C(2; 4; 3), D(8; 6; 6).

 

CD

 

 

 

 

 

8

. Найти направляющие косинусы вектора a = (2; −1; 2) .

 

9

. Найти угол между диагоналями параллелограмма, по-

 

строенного на векторах a = (2;1; 0) и

 

= (0; − 2;1).

 

 

b

 

10. Доказать,

что длина отрезка

прямой при повороте

не

 

меняется.

 

 

 

 

 

11. Вычислить косинус тупого угла между медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренно- го прямоугольного треугольника.

12.Найти вектор c , коллинеарный вектору a = (1; − 2; 3) и удовлетворяющий условию с × a = 5 .

13. Найти работу, совершаемую силой F(1; − 2; 5) , если точка ее приложения перемещается из M1(0; 2;1) в M2 (1; 3;2) .

14. Найти векторное произведение двух векторов:

а) (5;7;6) и (1;2;3); б) (3;4;2) и (2;1;2); в) (1;3;1) и (1;2;2).

15. Найти смешанное произведение трех векторов:

а) (3;4;2), (1;5;6) и (1;2;3); б) (1;5;0), (6;2;1) и (4;3;2); в) (5;8;11), (1;5;3) и (6;2;8).

Если тройка векторов некомпланарна, указать ее ориентацию.

16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

в

е

к

 

 

т

 

о

 

 

р

а

х

 

 

a = 6

 

+ 3

 

− 2

 

и

 

= 3

 

− 2

 

+ 6

 

.

 

 

 

 

 

 

k

b

k

 

 

 

 

i

j

i

j

 

 

17. Показать, что векторы

a = 2i + 5 j + 7k , b = i + j k , c = i + 2 j + 2k

компланарны.

107

18

. Найти объем

треугольной

пирамиды

с вершинами

 

A(2; 2; 2),

B(4; 3; 3), C(4; 5; 4),

D(5; 5; 6).

 

19

. Точка A(2; 3; 4)

твердого тела закреплена. В точке B(0; 3; 4) прило-

 

жена сила

 

 

 

 

 

 

F

(0; 5;1) . Найти момент силы F

относительно

 

точки А.

 

 

 

 

 

 

 

108

109

ГЛАВА 3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§ 1. Линия на плоскости. Поверхность и линия в пространстве

10. Определение уравнения линии. Важным понятием анали-

тической геометрии является понятие уравнения линии. Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат Oxy и некоторую

линию L (рис.1), заданную уравнением

 

F(x, y) = 0.

(1)

Соотношение (1) называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют коорди- наты точек, не лежащих на этой линии.

При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, уравнение это имело бесконечное мно- жество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло «куска плоскости».

Рис. 1

Рис. 2

Если (1) является уравнением линии L, то говорят, что уравнение (1) определяет или задает линию L.

Линия L может определяться не только уравнением вида (1), но

и уравнением вида

F(ρ,ϕ) = 0 ,

(2)

содержащим полярные координаты.

Примеры определения линий уравнениями:

1) x y = 0 . Записав это уравнение в виде y = x , заключаем, что

множеством точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, являются биссектрисы I и III координатных углов (рис.2);

110

2) x2 y2 = 0 . Запишем уравнение в виде (x y)(x + y) = 0 .

Заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, это две прямые, содержащие биссектрисы четырех координатных углов (рис.3);

3) x2 + y2 = 0 . Множество точек, координаты которых удовле-

творяют этому уравнению, состоит из одной точки (0;0). Здесь урав- нение определяет вырожденную линию;

4) x2 + y2 + 2 = 0 . Так как при любых x и y числа x2 и y2

неотрицательны, то x2 + y2 + 2 > 0 . Нет ни одной точки, координаты

которой удовлетворяют данному уравнению, т.е. данное уравнение определяет «пустое» множество;

5) ρ = a cosϕ , где a > 0 – постоянная, переменные ϕ и ρ – по-

лярные координаты. Обозначим через M точку с полярными коорди- натами (ρ;ϕ) , через A точку с полярными координатами (a;0)

(рис.4). Если ρ = a cosϕ , где 0 < ϕ < π2 , то угол OMA прямой. Верно

и обратное. Следовательно, множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют данному уравнению окружность с диамет- ром OA (рис.4);

Рис. 3

Рис. 4

6) ρ = aϕ , где постоянная a > 0 , ρ

и ϕ

полярные коорди-

наты. Пусть M точка с полярными координатами (ρ;ϕ) . Если ϕ = 0 ,

то ρ = 0 . Таким образом, при увеличении угла ϕ

точка M (ρ;ϕ) , на-

чавшая свое движение в полюсе, движется вокруг него, одновременно удаляясь от полюса. Множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению ρ = aϕ , называется спиралью Архимеда

(рис.5). При этом предполагается, что ϕ может принимать любые

неотрицательные значения.

Если точка M совершит один полный оборот вокруг полюса, то ϕ возрастет на 2π , а ρ – на 2aπ , т.е. спираль рассекает любую прямую,

проходящую через полюс, на равные отрезки длины 2aπ (не считая отрезка, содержащего полюс).

111

Рассмотрим теперь обратную задачу: для заданного какими-либо его свойствами множества точек, т.е. для заданной линии L, найти ее уравнение.

Пример 1. Вывести уравнение (в заданной прямоугольной сис- теме координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки O(0;0) на расстоянии R , т.е. вывести уравнение окружности радиуса R

с центром в начале координат (рис.6).

Решение. Расстояние от произвольной точки M (x; y) до точки O

 

 

 

 

 

 

 

 

вычисляется по формуле

 

MO

 

= x2 + y2 .

 

 

 

 

Если точка M лежит на окружности,

то | MO |= R или

MO2 = R2 , т.е. координаты точки M удовлетворяют уравнению

 

 

x2 + y2 = R2 .

(3)

Рис. 5

Рис. 6

Уравнение (3) и есть уравнение окружности радиуса R с цен-

тром в начале координат.

Приведем еще несколько примеров на нахождение множеств точек по уравнениям и неравенствам, связывающим их координаты.

 

Пример 2.

Найти множество точек

 

(x; y) , координаты которых удовлетворяют

 

уравнению | x | - | y |=1.

 

Решение. Так как искомое множество

 

точек симметрично относительно коорди-

 

натных осей Oy

и Ox , то исследование

 

можно свести к случаю x ³ 0, y ³ 0 . Оконча-

 

тельно получаем множество, изображенное

Рис. 7

на рис.7.

x2 + 2x + y2 = 0 задает на

Пример 3. Показать, что уравнение

плоскости окружность. Найти ее центр и радиус.

Решение. Представим данное уравнение в виде

(x2 + 2x +1) + y2 =1 или (x +1)2 + y2 =1 .

112