Математика для инженеров(теория)I том

Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = (1;2;3) и b = (4;5;6).

Итак, векторное произведение данных векторов a и b есть вектор c = −3i + 6 j − 3k = (−3; 6;−3). □

Используя формулу (10), определение векторного произведения и свойство 4, получаем следующее утверждение: два ненуле-

вых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их

координаты пропорциональны

ax = ay = az . bx by bz

103

§ 9. Смешанное произведение векторов

10. Определение смешанного произведения векторов, его свойства и геометрический смысл. Пусть даны три вектора a, b и c .

Умножим вектор a векторно на b , а полученный вектор a × b умножим скалярно на c и тем самым определим число (a × b )c . Оно

называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов a,b ,c. Смешанное произведение (a × b )c обозна-

чают также abc , или (abc ) , или (a,b ,c ) .

Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Утверждение 1. Смешанное произведение (a × b )c равно

объему V параллелепипеда, построенного на векторах a,b ,c , взятому со знаком «+», если тройка a,b ,c – правая, со знаком «–», если тройка a,b ,c – левая. Если же a,b ,c компланарны, то

(a × b )c = 0.

Доказательство. Пусть даны некомпланарные векторы a,b ,c , образующие правую тройку. Обозначим через V объем па-

раллелепипеда, построенного на этих векторах; через S – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , а через h –

высоту параллелепипеда (рис.1). Тогда из определения векторного и с к а л я р н о г о п р о и з в е д е н и й п о л у ч а е м

(a × b)c = a × bc cosθ = ab sinϕ c cosθ , где ϕ – угол между векто-

рами a и b , а θ – угол между векторами a × b и c.

Так как a b sinϕ = S, c cosθ = h, то (a × b )c = S h = V.

Если же тройка a,b ,c – левая,

то h = c cos(π −θ ) = − c cosθ и

линеарны. В любом случае, (a ´b )c = 0.

Из утверждения 1 вытекает, что абсолютная величина abc остается той же, независимо от порядка сомножителей a,b ,c. Что

касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других – отрицательным. Это зависит от того, образуют перемножаемые векторы, взятые в указанном порядке, правую или левую тройку.

Таким образом, получаем следующее свойство смешанного произведения.

Утверждение 2. Смешанное произведение не меняется при

круговой перестановке его сомножителей; перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противопо-

30. Выражение смешанного произведения через координаты пе-

ремножаемых векторов. Пусть векторы a,b ,c заданы своими ко-

105

Таким образом, смешанное произведение равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят соответствующие

координаты перемножаемых векторов.

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов: a = (1;2;3) , b = (4;5;6), c = (7;8;9).

Решение. По формуле (2) получаем

= 45 + 96 + 84 -105 - 72 - 48 = 225 - 225 = 0,

т.е. данные векторы, в силу утверждения 3, компланарны. □ Упражнение 1. Доказать, что объем треугольной пирамиды,

5. Найти прямоугольные координаты точек:

106

11. Вычислить косинус тупого угла между медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренно- го прямоугольного треугольника.

12.Найти вектор c , коллинеарный вектору a = (1; − 2; 3) и удовлетворяющий условию с × a = 5 .

13. Найти работу, совершаемую силой F(1; − 2; 5) , если точка ее приложения перемещается из M1(0; 2;1) в M2 (1; 3;2) .

14. Найти векторное произведение двух векторов:

а) (5;7;6) и (−1;2;3); б) (3;4;2) и (−2;−1;−2); в) (1;3;1) и (−1;2;2).

15. Найти смешанное произведение трех векторов:

а) (3;4;2), (1;5;6) и (−1;−2;−3); б) (−1;5;0), (6;2;1) и (4;3;2); в) (5;8;11), (−1;5;3) и (6;−2;8).

Если тройка векторов некомпланарна, указать ее ориентацию.

16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

17. Показать, что векторы

a = 2i + 5 j + 7k , b = i + j − k , c = i + 2 j + 2k

компланарны.

107

108

ГЛАВА 3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§ 1. Линия на плоскости. Поверхность и линия в пространстве

10. Определение уравнения линии. Важным понятием анали-

тической геометрии является понятие уравнения линии. Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат Oxy и некоторую

Соотношение (1) называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют коорди- наты точек, не лежащих на этой линии.

При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, уравнение это имело бесконечное мно- жество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло «куска плоскости».

Если (1) является уравнением линии L, то говорят, что уравнение (1) определяет или задает линию L.

Линия L может определяться не только уравнением вида (1), но

и уравнением вида

содержащим полярные координаты.

Примеры определения линий уравнениями:

1) x − y = 0 . Записав это уравнение в виде y = x , заключаем, что

множеством точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, являются биссектрисы I и III координатных углов (рис.2);

110

2) x2 − y2 = 0 . Запишем уравнение в виде (x − y)(x + y) = 0 .

Заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, это две прямые, содержащие биссектрисы четырех координатных углов (рис.3);

3) x2 + y2 = 0 . Множество точек, координаты которых удовле-

творяют этому уравнению, состоит из одной точки (0;0). Здесь урав- нение определяет вырожденную линию;

4) x2 + y2 + 2 = 0 . Так как при любых x и y числа x2 и y2

неотрицательны, то x2 + y2 + 2 > 0 . Нет ни одной точки, координаты

которой удовлетворяют данному уравнению, т.е. данное уравнение определяет «пустое» множество;

5) ρ = a cosϕ , где a > 0 – постоянная, переменные ϕ и ρ – по-

лярные координаты. Обозначим через M точку с полярными коорди- натами (ρ;ϕ) , через A – точку с полярными координатами (a;0)

(рис.4). Если ρ = a cosϕ , где 0 < ϕ < π2 , то угол OMA – прямой. Верно

и обратное. Следовательно, множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют данному уравнению – окружность с диамет- ром OA (рис.4);

чавшая свое движение в полюсе, движется вокруг него, одновременно удаляясь от полюса. Множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению ρ = aϕ , называется спиралью Архимеда

(рис.5). При этом предполагается, что ϕ может принимать любые

неотрицательные значения.

Если точка M совершит один полный оборот вокруг полюса, то ϕ возрастет на 2π , а ρ – на 2aπ , т.е. спираль рассекает любую прямую,

проходящую через полюс, на равные отрезки длины 2aπ (не считая отрезка, содержащего полюс).

111

Рассмотрим теперь обратную задачу: для заданного какими-либо его свойствами множества точек, т.е. для заданной линии L, найти ее уравнение.

Пример 1. Вывести уравнение (в заданной прямоугольной сис- теме координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки O(0;0) на расстоянии R , т.е. вывести уравнение окружности радиуса R

с центром в начале координат (рис.6).

Решение. Расстояние от произвольной точки M (x; y) до точки O

Приведем еще несколько примеров на нахождение множеств точек по уравнениям и неравенствам, связывающим их координаты.

плоскости окружность. Найти ее центр и радиус.

Решение. Представим данное уравнение в виде

(x2 + 2x +1) + y2 =1 или (x +1)2 + y2 =1 .

112