Математика для инженеров(теория)I том

Совокупность всех характеристических чисел матри- цы А называется ее спектром, причем каждое характери- стическое число входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (2).

Если характеристическое уравнение (2) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется

простым.

Пример 2. Найти спектр матрицы

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Þ (1- λ )(λ2 - 5λ + 6) = 0 .

Корни этого уравнения (спектр матрицы А): λ1 =1,λ2 = 2,λ3 = 3 . □

Пример 3. Показать, что единичные базисные векто- ры i , j ,k являются собственными векторами диагональной

Аналогично L j = λ2 j , Lk = λ3k . □

Найдем характеристическое уравнение и спектр дву- мерной матрицы 2× 2 в явном виде. Имеем:

193

Найдем собственные векторы линейного оператора А в двумерном пространстве. Из (1) получаем

Рассмотрим линейное преобразование линейного пространства V с матрицей А.

194

Утверждение 1. Матрица А имеет диагональный

вид тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этой матрицы.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А линейного

По определению матрицы (1): Aei = λ i ei ,i =1,n . Последнее

равенство означает, что каждый базисный вектор ei ,i =1,n , является собственным вектором матрицы А.

Достаточность. Пусть все базисные векторы базиса В

являются собственными векторами матрицы А с соответствующими

где λ1,λ2 ,K,λn – характеристические числа матрицы

А.

Теорема 1. Матрица А линейного оператора n- мерного линейного пространства приводима к диагональ- ному виду тогда и только тогда, когда существует базис В этого пространства, состоящий из собственных векто- ров матрицы А.

Доказательство. Пусть линейный оператор в базисе B = { e1,e2 ,K,en } , имеет матрицу А, которая приводится к диагональному виду. Тогда найдется такая невырожденная

195

можно рассматривать как матрицу перехода от базиса В к

имеет диагональный вид. На основании утверждения 1 по-

лучаем, что базис B% состоит из собственных векторов рас- сматриваемого оператора.

Обратно, пусть некоторый базис B% = { e%1,e%2 ,K,e%n } , за- данного n-мерного пространства состоит из собственных

получаем два линейно независимых собственных вектора

196

цы А попарно различны, то матрица приводится к диагональному виду. Замечание 1. Из доказательства теоремы 1 непосредственно выте- кает, что столбцами матрицы Т, приводящей А к диагональ-

ному виду (L = T −1AT ), служат ортонормированные собст-

венные векторы матрицы А. Такого типа матрицы называ- ют ортогональными. Отметим, что в этом случае преобра-

отпадает необходимость находить обратную матрицу T −1 .

§ 10. Квадратичные формы и их матрицы

Квадратичной формой n действительных переменных x1, x2 ,K, xn

называется выражение

Q(x) = Q(x1, x2,K, xn ) = a11x12 + a12x1x2 +K+ a1n x1xn + a21x2x1 +

n n

+a22x22 +K+ a2n x2xn +K+ an1xnx1 + an2xn x2 +K+ annxn2 = ååaij xij ,

i=1 j=1

(1)

где вещественные числа aij называются коэффициентами квад-

ратичной формы.

Квадратичную форму (1) всегда можно представить так, чтобы коэффициенты при xi x j и xj xi были равны меж-

ду собой. Действительно, имеем

197

aij xi x j + a ji xj xi = (aij + a ji )xi xj = 12 (aij + a ji )xi xj + 12 (aij + a ji )xj xi

.

Поэтому в дальнейшем будем считать, что в квадратичной форме (1)

Из коэффициентов квадратичной формы составим симметрическую матрицу

которую назовем матрицей квадратичной формы.

Обратно, всякой симметрической матрице (3) соот- ветствует единственная квадратичная форма (1) с точно- стью до обозначения переменных x1, x2 ,K, xn .

Рангом r квадратичной формы называют ранг ее мат-

рицы. Квадратичная форма n переменных (1) называется невырожден-

198

Запишем квадратичную форму в матричном виде.

y1, y2 ,K, yn с некоторой матрицей В. В этом случае говорят, что квадратичная форма Q(x) переводится в квадратичную

199

Две квадратичные формы называют конгруэнтными, если сущест- вует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну из них в другую.

Определим вид матрицы В квадратичной формы Q% ( y) , в которую

переходит квадратичная форма Q% ( y) при преобразовании

(4). Подставляя (4) в (1’), получим

Q% ( y) = (Cy)T ACy = yT CT ACy = yT By .

Так как

BT = (CT AC )T = (CT ( AC))T

= ( AC)T (CT )T = (CT AT )C = CT AC = B ,

то В – симметрическая матрица. Значит, B = CT AC яв- ляется матрицей квадратичной формы Q% ( y) .

Отметим, что определители матриц конгруэнтных невырожденных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

Действительно, т.к. матрицы А и В двух конгруэнт-

ножении ее слева или справа на невырожденную матрицу

С, то ранги матриц А и B = CT AC равны, то есть конгру- энтные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

§ 11. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

10. Канонические и нормальные квадратичные формы.

Квадратичная форма Q(x) называется канонической, если она не

содержит произведений различных переменных, т.е. имеет

вид

200

Каноническая квадратичная форма называется нор-

мальной,

если aii =1,i =1,r , т.е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или –1.

Теорема 1. Любая квадратичная форма невырожденным преоб- разованием может быть приведена к каноническому виду.

ведлива. Докажем теорему для квадратичных форм от n переменных, считая ее уже доказанной для любой квадра- тичной формы с меньшим числом переменных. Предполо- жим, что в квадратичной форме

с соответствующими коэффициентами квадратичной фор-