Математика для инженеров(теория)I том
.pdf
(Указание. Кинетическая энергия частицы будет
K = |
m |
&2 |
& |
2 |
&2 |
), или, если учесть, что x = r cosϕ(t), |
|||||
|
|||||||||||
2 |
(x |
+ y |
|
+ z |
|
||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
2 |
|
||
y = r sinϕ(t), |
K = |
|
|
(r ϕ |
+ z |
|
). Потенциальная энергия |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
& |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
определяется по формуле Р =mgz . Поэтому функция Лагранжа L для данной частицы будет
иметь вид L = K - P = m2 (r2ϕ&2 - z&2 )- mgz . Для состав-
ления уравнений движения частицы нужно воспользоваться уравнением Лагранжа
|
d ¶L |
- |
¶L |
= F , |
||
|
|
|
& |
|
||
|
|
i |
||||
|
dt ¶qi |
|
¶qi |
|||
где L – функция Лагранжа, |
qi |
– обобщенные координаты, число |
||||
которых равно количеству степеней свободы физической системы; Fi – внешние силы. В данном случае Fi = 0, q1 = ϕ, q2 = z. Тогда, на основании уравнения Лагранжа, получаем два дифференциальных
уравнения mr2ϕ&& = 0, mz&&&+ mg = 0 ).
12. Исследовать на устойчивость точку покоя O(0; 0)
систем:
|
ìdx |
|
= 3x + y, |
|
ìdx |
|
|
= -x + 2y, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
íï dt |
б) |
íï dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
ïdy |
|
= -2x + y; |
|
ïdy |
|
|
= x + y; |
|||
|
ï |
|
|
|
ï |
|
|
|
|||
|
î dt |
|
|
|
î dt |
|
|
|
|||
|
ìdx |
|
= -x + 3y, |
|
ìdx |
|
|
= -2x - y, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
íï dt |
г) |
íï dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
ïdy |
|
= -x + y; |
|
ïdy |
|
|
= 3x - y. |
|||
|
ï |
|
|
|
ï |
|
|
|
|||
|
î dt |
|
|
|
î dt |
|
|
|
|||
13.Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевые решения x = 0, y = 0 следующих систем:
ì & |
= x + 2y - sin y |
2 |
, |
|
|
|
ì |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
x |
|
|
|
|
|
& |
= |
xe |
x |
- |
3y + sin x |
2 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx |
|
|
|
|||||||||
а) íï |
|
|
æ |
x2 |
ö |
|
б) |
íï |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ïy = -x - 3y + x |
ç |
|
|
2 |
÷ |
; |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
− |
y2 |
|
|
|||
çe |
|
-1÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
& |
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
ïy& |
= 2x + ye |
|
|
- y4 cos x; |
|||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
î |
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
593
ì & |
= 7x + 2sin y - y |
4 |
, |
|
ì & |
|
2 |
|
|
|
||||||
в) íï |
x |
|
г) |
= -2 + sin |
y, |
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
5 |
|
|
2 |
íïx |
|
3 |
|
||||
ï y = e |
- 3y - |
1+ |
|
x |
; |
ïy& = -x - 3y + 4x |
. |
|||||||||
î |
& |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. Уравнение замкнутого контура с нелинейными элементами имеет вид
|
d 2 x |
|
dx |
|
1 |
æ |
dx ö |
|
|
L |
|
+ R |
|
+ |
|
x + g ç x, |
|
÷ |
= 0, |
dt2 |
dt |
C |
|
||||||
|
|
|
è |
dt ø |
|
||||
здесь x – заряд конденсатора и, следовательно, dxdt – ток в цепи;
R – сопротивление; L – индуктивность; C – емкость; g çæ x, |
dx |
÷ö |
– |
|
dt |
||||
è |
ø |
|
нелинейные члены, имеющие степень не ниже второй, g (0; 0) = 0 .
Исследовать на устойчивость нулевое решение этого уравне- ния. (Указание. Построить эквивалентную систему и исследовать точку покоя (0; 0) на устойчивость по первому приближению).
15.Исследовать поведение фазовых кривых систем уравнений
|
ìx = 3x - 2y, |
|
ìx = x, |
|
ìx = x + y, |
а) |
& |
б) |
& |
в) |
& |
í & |
í & |
í & |
|||
|
îy = 4x - y; |
|
îy = y; |
|
îy = 4y - 2x; |
|
ìx = 2y - 3x, |
|
ìx = x - y, |
|
ìx = 3x - 4y, |
г) |
& |
д) |
& |
е) |
& |
í & |
í & |
í & |
|||
|
îy = y - 2x; |
|
îy = 2x - y; |
|
îy = x - 2y. |
16.В фазовой плоскости Oxx& исследовать фазовые кривые уравнения маятника &&x + sin x = 0 .
17.Построить линии уровня энергии и фазовые кривые консервативных систем уравнений Ньютона:
а) |
& |
& |
2 |
; |
& |
& |
x = y, y = x - x |
|
б) x = y, y = sin 2x . |
||||
594
Содержание
ПРЕДИСЛОВИЕ .............................................................. |
|
|
3 |
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ ........................................ |
|
5 |
|
§ 1. Множества ................................................................ |
|
|
5 |
§ 2. Элементы математической логики. Высказывания и |
|||
предикаты ................................................................. |
|
|
9 |
§ 3. Метод математической индукции ............................. |
15 |
||
§ 4. Бином Ньютона ...................................................... |
|
17 |
|
§ 5. Множество действительных чисел. Модуль .............. |
22 |
||
§ 6. Числовые |
множества. |
Ограниченные |
и |
неограниченные числовые множества ....................... |
26 |
||
ГЛАВА 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ |
|||
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ....................................... |
|
30 |
|
§ 1. Матрицы. Действия над ними ................................... |
|
30 |
|
§ 2. Определители второго и третьего порядков и их |
|||
свойства .................................................................. |
|
|
35 |
§ 3. Определители n-го порядка ...................................... |
|
39 |
|
§ 4. Обратная матрица .................................................... |
|
47 |
|
§ 5. Ранг матрицы ........................................................... |
|
|
53 |
§ 6. Системы линейных алгебраических уравнений ......... |
58 |
||
§ 7. Решение невырожденных систем, матричный метод. |
|||
Формулы Крамера .................................................... |
|
62 |
|
§ 8. Исследование систем линейных уравнений. Метод |
|||
Гаусса...................................................................... |
|
|
64 |
§ 9. Решение однородных систем линейных уравнений .... |
70 |
||
Задания для самостоятельной работы ............................. |
74 |
||
ГЛАВА 2. МЕТОД КООРДИНАТ. ВЕКТОРНАЯ АЛ- |
|||
ГЕБРА ..................................................................... |
|
|
77 |
§ 1. Декартова система координат на плоскости и в |
|||
пространстве............................................................ |
|
|
77 |
§ 2. Полярная и цилиндрическая системы координат ....... |
81 |
||
§ 3. Векторы ................................................................... |
|
|
83 |
§ 4. Координаты вектора. Длина вектора. Направляющие |
|||
косинусы вектора ..................................................... |
|
86 |
|
§ 5. Линейные операции над векторами........................... |
88 |
||
§ 6. Разложение вектора по базису .................................. |
|
91 |
|
595
§ 7. Скалярное произведение векторов ............................ |
92 |
|||
§ 8. Векторное произведение векторов ............................ |
95 |
|||
§ 9. Смешанное произведение векторов......................... |
100 |
|||
Задания для самостоятельной работы ........................... |
103 |
|||
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ................ |
105 |
|||
§ 1. Линия на плоскости. Поверхность и линия в |
||||
пространстве.......................................................... |
|
|
|
105 |
§ 2. Уравнения плоскости ........................................... |
|
|
109 |
|
§ 3. Угол между плоскостями. |
Условия параллельности |
|||
и перпендикулярности плоскостей.......................... |
112 |
|||
§ 4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от |
||||
точки до плоскости ................................................ |
|
|
113 |
|
§ 5. Уравнения прямой на плоскости ............................. |
115 |
|||
§ 6. Расположение двух прямых на плоскости ............... |
119 |
|||
§ 7. Расстояние от точки до прямой на плоскости |
........ 121 |
|||
§ 8. Уравнения прямой в пространстве ......................... |
124 |
|||
§ 9. Угол между прямыми, условия параллельности и |
||||
перпендикулярности прямых |
................................. |
126 |
||
§ 10. Угол между |
прямой |
и |
плоскостью . Условия |
|
параллельности и перпендикулярности прямой и |
||||
плоскости ............................................................ |
|
|
|
128 |
§ 11. Эллипс и его каноническое уравнение ................. |
130 |
|||
§ 12. Гипербола и ее каноническое ...............уравнение |
133 |
|||
§ 13. Парабола и ее каноническое .................уравнение |
135 |
|||
§ 14. Общее уравнение кривых второго ...........порядка |
137 |
|||
§ 15. Уравнение кривых второго порядка ..в полярных координатах 143 |
||||
§ 16. Поверхности второго порядка ............................. |
145 |
|||
§ 17. Эллипсоид .......................................................... |
|
|
|
150 |
§ 18. Гиперболоиды ..................................................... |
|
|
|
151 |
§ 19. Параболоиды........................................................ |
|
|
|
153 |
Задания для самостоятельной работы .......................... |
155 |
|||
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ................................ |
|
159 |
||
§ 1. Линейное векторное пространство ......................... |
159 |
|||
§ 2. Линейная зависимость и независимость векторов. |
||||
Базис и размерность. Координаты .............вектора |
162 |
|||
§ 3. Преобразование |
координат |
вектора при |
замене |
|
базиса .................................................................... |
|
|
|
168 |
§ 4. Евклидово пространство ........................................ |
|
|
170 |
|
§ 5. Ортогональный и ортонормированный ..........базис |
172 |
|||
§ 6. Линейные операторы. Матрица линейного оператора175 |
||||
596
§ 7 |
. Зависимость между матрицами линейного оператора |
||
|
в различных базисах .............................................. |
179 |
|
§ 8 |
. Собственные векторы и собственные |
значения |
|
|
линейного оператора ............................................. |
181 |
|
§ 9 |
. Приведение матрицы линейного оператора к ди- |
||
|
агональному виду ................................................. |
184 |
|
§ 10 |
. Квадратичные формы и их матрицы ..................... |
186 |
|
§ 11 |
. Приведение квадратичной формы к каноническому |
||
|
|
виду ..................................................................... |
189 |
§ 12 |
. Применение квадратичных форм к упрощению |
||
|
|
кривых и поверхностей второго порядка .............. |
196 |
Задания для самостоятельной работы .......................... |
205 |
||
ГЛАВА 5. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ ............................. |
208 |
||
§ 1 |
. Числовые последовательности ............................... |
208 |
|
§2. Предел и сходимость числовой последовательности 209
§3. Монотонные последовательности и признаки
|
сходимости ............................................................ |
213 |
|
|
§ 4.. |
............................. Понятие функции. График функции |
2 |
||
§ 5. Предел функции в точке и на бесконечности ......... |
226 |
|
||
§ 6 |
. Бесконечно малые и бесконечно большие функции |
229 |
|
|
§ 7 |
. Основные теоремы о пределах функций ................. |
231 |
|
|
§ 8 |
. Два замечательных предела ................................... |
233 |
|
|
§ 9 |
. Непрерывность функции в точке ........................... |
234 |
|
|
§ 10 |
. Свойства функций, непрерывных в точке ............. |
236 |
|
|
§ 11 |
. Точки разрыва функции и их классификация ....... |
237 |
|
|
§12. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства 239
§13. Существование и непрерывность обратной
|
функции ............................................................... |
|
|
|
|
243 |
§ 14. Сравнение |
бесконечно |
малых |
функций. |
|||
|
Эквивалентные бесконечно малые ....................... |
|
244 |
|||
§ 15. Равномерная |
сходимость |
последовательности |
||||
|
функций ............................................................... |
|
|
|
|
248 |
Задания для самостоятельной работы .......................... |
|
250 |
||||
ГЛАВА 6. ПРОИЗВОДНАЯ ......................................... |
|
|
254 |
|||
§ 1. Производная |
функции, ее |
геометрический |
и |
|||
|
физический смысл .................................................. |
|
|
|
254 |
|
§ 2 |
. Правила дифференцирования. Таблица производных257 |
|||||
§ 3 |
. Производная сложной и неявной функций ............. |
|
261 |
|||
§ 4 |
. Производные высших порядков ............................. |
|
|
264 |
||
§ 5 |
. Параметрическое |
задание |
функции |
и |
ее |
|
|
дифференцирование ............................................... |
|
|
|
266 |
|
597
Задания для самостоятельной работы |
.......................... |
|
|
268 |
||
ГЛАВА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ...................................... |
|
|
|
|
270 |
|
§ 1. Дифференциал функции, |
его |
геометрический |
и |
|||
механический смысл ............................................. |
|
|
|
|
270 |
|
§ 2. Применение |
дифференциала |
в |
приближенных |
|||
вычислениях |
.......................................................... |
|
|
|
|
272 |
§ 3. Дифференциалы высших порядков ......................... |
|
|
273 |
|||
§ 4. Теоремы о среднем ............................................... |
|
|
|
|
274 |
|
§ 5. Правило Лопиталя ................................................. |
|
|
|
|
278 |
|
§ 6. Формула Тейлора .................................................. |
|
|
|
|
282 |
|
§ 7. Разложение |
элементарных |
функций |
по |
формуле |
||
Тейлора ................................................................. |
|
|
|
|
|
285 |
§ 8. Приложения формулы Тейлора .............................. |
|
|
|
286 |
||
Задания для самостоятельной работы |
.......................... |
|
|
288 |
||
ГЛАВА 8. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ......................... |
|
|
290 |
|||
§ 1. Возрастание и убывание функций |
.......................... |
|
|
290 |
||
§ 2. Максимумы и минимумы функций ......................... |
|
|
291 |
|||
§ 3. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика |
||||||
функций................................................................. |
|
|
|
|
|
295 |
§ 4. Общая схема исследования функции и построения ее графика .. |
298 |
|||||
Задания для самостоятельной работы |
.......................... |
|
|
300 |
||
ГЛАВА 9. КРИВИЗНА ................................................. |
|
|
|
|
302 |
|
§ 1. Дифференциал дуги плоской кривой ...................... |
|
|
302 |
|||
§ 2. Кривизна плоской кривой ...................................... |
|
|
|
|
304 |
|
§ 3. Радиус, центр и окружность кривизны ................... |
|
308 |
||||
§ 4. Понятие об эволюте и эвольвенте |
.......................... |
|
|
310 |
||
§ 5. Векторная функция скалярного аргумента ............. |
|
312 |
||||
§ 6. Предел и непрерывность векторной функции ......... |
313 |
|||||
§ 7. Дифференцирование векторной функции. Геометри- |
||||||
ческий и механический смысл производной |
............ |
315 |
||||
§ 8. Касательная прямая и нормальная плоскость к про- |
||||||
странственной кривой ........................................... |
|
|
|
|
320 |
|
§ 9. Кривизна пространственной кривой ...................... |
|
|
322 |
|||
§ 10. Кручение |
пространственной |
кривой. |
Формулы |
|||
Френе .................................................................. |
|
|
|
|
|
325 |
Задания для самостоятельной работы |
.......................... |
|
|
330 |
||
ГЛАВА 10. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ ............. |
|
332 |
||||
§ 1. Комплексные числа ............................................... |
|
|
|
|
332 |
|
598
§ 2. Алгебраическая |
форма |
комплексного |
числа. |
|
|
Сопряженные числа .............................................. |
|
|
332 |
§ 3. Геометрический смысл комплексного числа .......... |
334 |
|||
§ 4. Тригонометрическая и |
показательная формы ком- |
|||
|
плексного числа |
|
|
335 |
§ 5. Возведение в степень |
и |
извлечение корня из ком- |
||
|
плексного числа ......................... Формула Муавра |
338 |
||
§ 6. Применение комплексных ............................чисел |
340 |
|||
§ 7 |
. Алгебраические ...........многочлены. Теорема Безу |
342 |
||
§ 8 |
. Разложение многочлена ..................на множители |
345 |
||
§ 9 |
. Рациональные дроби ............................................. |
|
|
348 |
Задания для самостоятельной ..........................работы |
355 |
|||
ГЛАВА 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ..............ИНТЕГРАЛ |
358 |
|||
§ 1 |
. Первообразная |
функция |
и неопределенный |
инте- |
|
грал ....................................................................... |
|
|
358 |
§2. Таблица основных неопределенных интегралов ..... 361
§3. Замена переменной в неопределенном интеграле и
интегрирование по частям ..................................... |
|
363 |
|
§ 4. Интегрирование рациональных функций ................ |
366 |
||
§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных функ- |
|||
ций ........................................................................ |
|
|
370 |
§ 6. Интегралы от тригонометрических функций ........... |
372 |
||
§ 7. Интегралы, не выражающиеся через элементарные |
|||
функции................................................................. |
|
|
375 |
Задания для самостоятельной работы .......................... |
375 |
||
ГЛАВА 12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .................. |
377 |
||
§ 1. Понятие определенного интеграла и его геометри- |
|||
ческий смысл ........................................................ |
|
|
377 |
§ 2. Основные свойства определенного интеграла ......... |
380 |
||
§ 3. Оценки интегралов и теорема о среднем значении |
|||
определенного интеграла ...................................... |
|
382 |
|
§ 4. Интеграл с |
переменным |
верхним пределом. |
|
Формула Ньютона-Лейбница ................................. |
|
384 |
|
§ 5. Замена переменной в определенном интеграле. Ин- |
|||
тегрирование по частям ........................................ |
|
388 |
|
§ 6. Приближенное вычисление определенных интегра- |
|||
лов ........................................................................ |
|
|
390 |
§ 7. Геометрические |
приложения |
определенного инте- |
|
грала ..................................................................... |
|
|
393 |
§ 8. Физические приложения определенного интеграла |
398 |
||
599
§ 9. Несобственные интегралы ..................................... |
402 |
§ 10. Интегралы, зависящие от параметра .................... |
406 |
Задания для самостоятельной работы .......................... |
410 |
ГЛАВА 13. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 413
§ 1 |
. Основные понятия ................................................. |
413 |
§ 2 |
. Предел и непрерывность функции нескольких пере- |
|
|
менных .................................................................. |
417 |
Задания для самостоятельной работы .......................... |
420 |
|
ГЛАВА 14. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ НЕ-
СКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ .................................. |
421 |
§1. Частные производные функции многих переменных 421
§2. Полный дифференциал функции нескольких пере-
|
менных .................................................................. |
423 |
|
§ 3. Дифференцирование сложных функций ................. |
426 |
||
§ 4. Инвариантность формы первого дифференциала ..... |
429 |
||
§ 5. Дифференцирование неявных функций ................... |
429 |
||
§ 6 |
. Поверхности и линии уровня ................................. |
433 |
|
§ 7 |
. Производная по направлению ................................ |
434 |
|
§ 8 |
. Градиент скалярного поля ..................................... |
436 |
|
§ 9 |
. Касательная плоскость и нормаль к поверхности .... |
439 |
|
§ 10. Геометрический смысл полного дифференциала ... |
441 |
||
§ 11 |
. Частные производные высших порядков .............. |
442 |
|
§ 12 |
. Полные дифференциалы высших порядков ........... |
445 |
|
§ 13 |
. Формула Тейлора для функции двух переменных . 448 |
||
§ 14 |
. Экстремум функции двух переменных ................. |
451 |
|
§15. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа455
§16. Наибольшее и наименьшее значения функции в
замкнутой области .............................................. |
457 |
Задания для самостоятельной работы .......................... |
459 |
ГЛАВА 15. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
|
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ....................... |
462 |
§ 1 |
. Общее дифференциальное уравнение первого по- |
|
|
рядка ..................................................................... |
462 |
§ 2 |
. Дифференциальные уравнения с разделяющимися |
|
|
переменными ........................................................ |
472 |
§ 3 |
. Однородные дифференциальные уравнения первого |
|
|
порядка.................................................................. |
473 |
§ 4 |
. Линейные дифференциальные уравнения |
первого |
|
порядка. Уравнение Бернулли ............................... |
475 |
600
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах ................... |
478 |
Задания для самостоятельной работы .......................... |
479 |
ГЛАВА 16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
|
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИ- |
|
|
АЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ......................................... |
481 |
§ 1 |
. Уравнения высших порядков ................................. |
481 |
§ 2 |
. Линейные дифференциальные уравнения высших |
|
|
порядков ................................................................ |
488 |
§ 3 |
. Линейные однородные дифференциальные уравне- |
|
|
ния n-го порядка с постоянными коэффициентами .. |
492 |
§4. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка .. 495
§5. Линейные неоднородные дифференциальные урав-
|
нения n-го порядка с постоянными коэффициентами498 |
|
§ 6 |
. Линейная краевая задача ....................................... |
501 |
§ 7 |
. Системы линейных дифференциальных уравнений .. |
504 |
§ 8 |
. Понятие устойчивости по Ляпунову ...................... |
517 |
§ 9 |
. Фазовая плоскость ................................................ |
524 |
Задания для самостоятельной работы .......................... |
535 |
|
Предметный указатель ................................................ |
539 |
|
Содержание ................................................................ |
551 |
|
601
602