- •2. Определители 2 и 3-го порядков. Вычисление определителя n-го порядка. Свойства определителей 3-го порядка.
- •3.Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.
- •4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.
- •4.2. Решение систем линейных уравнений.
- •4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •7 Вопрос Системы линейных однородных уравнений
- •6Вопрос Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •8 Вопрос Декартова система координат. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический цилиндр
- •Параболический цилиндр
- •22 Вопрос Эллипсоид.
- •24. Параболоиды.
- •26. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.
- •Вопрос 27 Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Линейный двучлен. Теорема Безу.
- •Деление многочленов
- •42.Замечательные пределы.
- •Вопрос 43
- •1. Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
20. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Прямая и плоскость пересекаются если т.е. не параллельны ; перпендикулярны, когда , параллельны, если=0, Ах0+Ву0+Сz0+D - означает что векторы n и а перпендикулярны,т.е прям .и плоскость параллельны, но точка М0 (х0,у0,z0) прямой не принадлежит плоскости.; совпадают когда =0, Ах0+Ву0+Сz0+D=0 – прямая лежит в плоскости.
Синус угла между прямой х=х0 +а1t , y=y0+a2t , z=z0+a3t и плоскостью Ах+Ву+Сz+D=0 определяется формулой
21вопрос Общее уравнение поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Конические поверхности. Цилиндрические поверхности.
Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.
Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии l вокруг неподвижной прямой i - оси вращения поверхности
Коническую поверхность вращения получим, вращая прямолинейную образующую l вокруг оси i. При этом образующая l пересекает ось i в точке S, называемой вершиной конуса
Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичнойформы и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:
Эллипсоид
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид.
Из этого уравнения следует | x | < a, | у | < b, | z | < c, то есть эллипсоид заключён в прямоугольный параллелепипед со сторонами 2·а, 2·b, 2·c. Координатные плоскости являются плоскостями симметрии.
Однополостный гиперболоид
Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид.
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии, так как при замене х на − х, у на − у, z на − z уравнение не меняется.
Двуполостный гиперболоид
Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид
.
Эллиптический параболоид
Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид
.
Гиперболический параболоид
Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид
.
Эллиптический конус
Каноническое уравнение эллиптического конуса имеет вид
.
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии: при замене х на - х, у на - у, z на - z уравнение не меняется.
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, полученная движением прямой (образующей), перемещающейся параллельно некоторому вектору и пересекающей во время движения фиксированную линию (направляющую).
В результате получим уравнение искомой цилиндрической поверхности F(x, y, z) = 0. Здесь уравнение направляющей определяется системой уравнений
Уравнение определяет уравнение образующей.
Эллиптический цилиндр
Уравнение эллиптического цилиндра имеет вид
.
Гиперболический цилиндр
Уравнение гиперболического цилиндра имеет вид
.