![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •2. Определители 2 и 3-го порядков. Вычисление определителя n-го порядка. Свойства определителей 3-го порядка.
- •3.Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.
- •4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.
- •4.2. Решение систем линейных уравнений.
- •4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •7 Вопрос Системы линейных однородных уравнений
- •6Вопрос Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •8 Вопрос Декартова система координат. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический цилиндр
- •Параболический цилиндр
- •22 Вопрос Эллипсоид.
- •24. Параболоиды.
- •26. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.
- •Вопрос 27 Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Линейный двучлен. Теорема Безу.
- •Деление многочленов
- •42.Замечательные пределы.
- •Вопрос 43
- •1. Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
В
общем случае кривая второго порядка в
базисе
описывается уравнением
.
Ее первые три слагаемые образуют
квадратичную форму
с матрицей:
.
Задача
о приведении кривой
к каноническому виду сводится к задаче
о приведении к каноническому виду
квадратичной формы
этой кривой.
Пусть
и
– собственные значения матрицы
,
а
и
– ортонормированные собственные
векторы матрицы
,
соответствующие собственным значениям
и
.
Ортонормированные
векторы
и
называются главными направлениями
этой кривой.
Пусть
является матрицей перехода от
ортонормированного базиса
к ортонормированному базису
.
Тогда ортогональное преобразование:
приводит
квадратичную форму
к каноническому виду
,
а уравнение кривой – к виду
в прямоугольной декартовой системе
координат
,
оси которой направлены вдоль векторов
,
а начало совпадает с точкой
системы координат
.
Выделив
в этом уравнении полные квадраты,
получим
,
где
– некоторые числа. Осуществив параллельный
перенос системы координат
в новое начало
,
получим канонический вид уравнения
в системе координат
.
В зависимости от чисел
эта кривая будет эллипсом, гиперболой,
параболой, парой прямых, точкой или
мнимой кривой.
31ВОПРОС Комплексные числа и действия над ними. Сопряжённые числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера.
Пара а,b действительных чисел а и b называются упорядоченной, если указано какое из них первое, какое второе. Комплексное число –это упорядоченная пара.
равны,
если а=с и b=d.
сумма:
,
умножение:
отсюда
Сложение: чтобы сложить два компл. числа надо отдельно сложить их действительные и мнимые части. z=x+iy (x,y- действительные переменные i-мнимая единица). (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
Вычитание : необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
Произведение: (a+bi) (c+di)=(aс-bd)+(bc+ad)i;
Деление:
a+bi/c+di
= ac+bd/c2
+d2+bc-ad/c2+d2
i
Возведение
в степень - формула бинома Ньютона
Если
дано
,
то число а-bi, отличающееся от
только
знаком при мнимой части называют
сопряжённым числу
и обозначают
.
Сумма и произведение
двух комплексно-сопряжённых чисел
- действительные числа:
Упорядоченную пару i=(0,1), где i2=-1 называют мнимой единицей, с её помощью можно выразить упоряд. пару : bi=(b,0)(0,1)=(0,b)то(a,b)=(a,0)+(0,b)= =a+bi т.е. (a,b)=a+bi – алгебраическая форма.
,
поскольку а=r
cos
то
r
- триганометрическая
форма
Формула Эйлера:
ввёл в обозначение I
для
мнимой
единицы (i=)
Формула
Муавра : если
n
–натуральное
число и
z=r(cos+I
sin
)
,то
zn=r(cos
+I
sin
))n
= rn(cosn
+isin
n
).
32ВОПРОС Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители над полем комплексных и над полем действительных чисел. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Методы вычисления коэффициентов разложения.
Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.
Основная теорема алгебры: всякий многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами в множестве комплексных чисел имеет ровно n корней, если каждый кратный корень считать такое число раз, какова его кратность. Основная теорема алгебры справедлива и при n=0, так как многочлен нулевой степени корней не имеет. Основная теорема алгебры неприменима лишь к нулевому многочлену (числу нуль), степень которого не определена.