![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •2. Определители 2 и 3-го порядков. Вычисление определителя n-го порядка. Свойства определителей 3-го порядка.
- •3.Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.
- •4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.
- •4.2. Решение систем линейных уравнений.
- •4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •7 Вопрос Системы линейных однородных уравнений
- •6Вопрос Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •8 Вопрос Декартова система координат. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический цилиндр
- •Параболический цилиндр
- •22 Вопрос Эллипсоид.
- •24. Параболоиды.
- •26. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.
- •Вопрос 27 Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Линейный двучлен. Теорема Безу.
- •Деление многочленов
- •42.Замечательные пределы.
- •Вопрос 43
- •1. Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
42.Замечательные пределы.
Число А называется пределом функции у=f(x) при х x0, если для любой последовательности хn сходящейся к знамению х0 соответствующей послед. f(xn) сходится к числу А.
Первый замечательный
предел: при х0
При
вычислении приделов с неопределённостью
«0/0»и содержащий тригонометрические
функции используют первый замечательный
предел.
Второй замечательный предел:
где
n
Если х
,то
Вопрос 43
Определение непрерывности функции
Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х0. Функция f (x) называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.
(5.1)
Или
( ε
> 0 ) (
δ
= δ (ε,x0)
> 0 ) (
|x
- x0 |
< δ ) : | f ( x )
− f ( x0)
| < ε
Для
непрерывности функции в точке требуется
выполнение двух условий: существование
предела функции в данной точке и
совпадение этого предела с тем значением,
которое функция принимает в этой точке.
Так как ,
то соотношение (5.1) можно записать в
следующем виде:
т. е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. Если функция непрерывна в точке х0, то она определенна в этой точке, т.е. существует f(x0). Если
то функция непрерывна в этой точке. Это определение вытекает из свойства предельного перехода функции в данной точке. Перенесем в равенстве (5.1) f (x0) под знак предела. Так как условие х → х0 и (х − х0) → 0 равносильны, то получаем
(5.2)
Разность Δx = x - x0 называется приращением аргумента х в точке x0, разность Δy = f (x) − f (x0) называется приращением функции в точке х0, вызванным приращением аргумента Δх
При фиксированной точке х0 величина Δу является функцией аргумента Δ х. Равенство (5.2) в новых обозначениях принимает вид
(5.3)
(5.3) является свойством непрерывной функции, которое можно сформулировать так: функция f (x) является непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Δх → 0.
Непрерывность функций на интервале
Будем говорить, что функция f (x) непрерывна в интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (а, b) и непрерывна в точке x = а справа, а в точке x = b слева, т. е.
и
Кусочно-непрерывные функции
Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках [а, b] за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках a и b Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно - непрерывна на любом отрезке числовой прямой.
Первая теорема Больцано – Коши
Пусть
функция f (x)
непрерывна в точке х0 и
кроме этого f (x0)
≠ 0. Тогда существует δ > 0 такое, что
для всех х (х0 −
δ; х0 +
δ) функция f (x)
имеет тот же знак, что и f(х0).
Эта
теорема характеризует устойчивость
знака непрерывной функции.
Вторая теорема Больцано – Коши
Пусть
функция f (x)
определена и непрерывна на отрезке
[a, b].
Если на концах этого отрезка функция
принимает неравные значения f(a)
= A, f (b)
= B, то, каково бы ни было число m (A,
B), найдётся такая точках =
с
(a, b),
что f (c)
= m (.
Как
частный случай имеет место следующее
утверждение. Пусть функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, b]
и на концах отрезка имеет значения
разных знаков. Тогда существует
внутренняя точка отрезка с (a, b),
в которой f(c)
= 0.
Данная
теорема имеет простой геометрический
смысл: непрерывная кривая при переходе
из одной полуплоскости, граница которой
является ось абсцисс, в другую, пересекает
эту ось .
Теорема. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] , то она на этом отрезке принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшими и наибольшими значениями. Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что А < m < B. Рассмотрим на промежутке [а, b] вспомогательную функцию φ (x) = f (x) − m. Эта функция непрерывна на промежутке [а, b] и на концах его имеет разные знаки: φ (a) = f (a) − m = A − m < 0 и φ(b) = f(b) − m = B − m > 0. Тогда, по второй теореме Больцано – Коши, между a и bнайдётся точка х = с, для которой φ(c) = m. Что и требовалось доказать.
44 вопрос
Обратная функция и её непрерывность.
Пусть функция y=f(x), заданная на множестве X, обратима. Это значит, что функция f различным значениям аргумента ставит в соответствие различные значения функции, т.е. для любых x1,x2∈X : x1/=x2⇒f(x1)/=f(x2). В этом случае для каждого y∈Y=f(X) существует один и только один элемент x∈X такой, что y=f(x). А это означает, что на множестве Y определена функция g:Y→X , которую и называют обратной функцией к функции y=f(x) и обозначают: x=f−1(y). При этом очевидно, что функция f являетсяобратной к функции f−1. Поэтому функции y=f(x) и x=f−1(y) называют взаимно обратными.
Т.о., если функция f:X→Y , где Y=f(X), обратима, то для нее существует единственная обратная функция f−1:Y→X и если y=f(x) то x=f−1(y), и если x=f−1(y), то y=f(x) и f−1(f(x))=x при любом x∈X , f−1(f(y))=y при любом y∈Y . График. Переход от функции y=f(x), x∈X , к обратной функции x=f−1(y), y∈Y (если она существует), сводится лишь к измерению ролей множеств X и Y. Поэтому графики функций y=f(x) и x=f−1(y) на плоскости XOY совпадают. Но обычно и для обратной функции аргумент обозначают через y, т.е. записывают ее в видеy=f−1(x), x∈Y . Тогда график функции y=f−1(x) получается из графика прямой функции y=f(x) с помощью преобразования плоскости XOY, переводящей каждую точку (x,y) в точку(y,x), т.е. симметрией относительно прямой y=x. Обычно, говоря об обратной функции, заменяют x на y, а y на x (x↔y ) и пишут y=f−1(x). Очевидно, что исходная функция f(x)и обратная функция f−1(x) удовлетворяют соотношению: f−1(f(x))=f(f−1(x))=x. Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта. Монотонные функции и их свойства. Пусть функция f(x)определена в некоторой области X. Функция называется возрастающей (убывающей) в этой области, если для любой пары принадлежащих ей значений x1и x2 из x1>x2следуетf(x1)>f(x2) (f(x1)<f(x2)). Если же из x1>x2 следует f(x1)≥f(x2) (f(x1)≤f(x2)) , то функцию называют неубывающей (невозрастающей).
Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) - но в широком смысле. Функции всех этих типов носят общее название монотонных.
Существование и непрерывность обратной функции. Теорема 1. Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) на множестве X, то для нее существуетобратная функция x=f−1(y), которая определена на множестве Y=f(X) и является на Y строго возрастающей (убывающей). Доказательство. По условию функция f строго возрастает на множестве X. Это значит для любых x1,x2∈X и x1<x2 следует f(x1)<f(x2). Отсюда следует, что функция f обратима на X, следовательно, для нее существует обратная функция f−1:Y→X . Покажем, что функция f−1 строго возрастает на множестве Y. Пусть y1 и y2- любые точки из Y и y1<y2. Докажем, что x1=f−1(y1)<x2=f−1(y2). Допустим, чтоx1≥x2 . По условию функция f строго возрастает на X, поэтому из условия x1≥x2 вытекает неравенствоy1=f(x1)≥y2=f(x2) , что противоречит условию y1<y2. Т.о., условие строгой монотонности функции является достаточным для существования обратной функции.
Теорема 2. Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке I, то существует обратная функция x=f−1(y), которая определена на промежутке Ef=f(I) и является на Е, строго возрастающей (убывающей) и непрерывной. Доказательство. Для определенности предположим, что функция f строго возрастает на промежутке I. По следствию из 2-ой теоремы Больцано-Коши область значений Ef=f(I) непрерывной функции f тоже есть промежуток. В силу строгого возрастания функции f для каждого y∈E существует единственная точка x∈I такая, что f(x)=y. Следовательно для функции f существует обратная функция f−1определенная на промежутке Е и с множеством значений I.
Покажем, что f−1 строго возрастает на Е. Пусть y1 и y2-- две произвольные точки из Е, такие, что y1<y2 и прообразами этих точек будут точки x1и x2. f−1(y1)=x1, и f−1(y2)=x2.
Поскольку f - строго возрастающая функция, то неравенство y1=f(x1)<f(x2)=y2 возможно тогда и только тогда когда x1<x2 или тоже самое, когда f−1(y1)<f−1(y2). В силу произвольности y1 и y2 ∈E делаем вывод, что функция f−1 - строго возрастает на множестве Е. Что и требовалось доказать.
45. Производная функции, её геометрический и физический смысл.
Производной
функции
в точке
называется предел отношения приращения
функции в этой точке к приращению
аргумента
.
при
(если этот предел существует и конечен),
т.е.
Обозначают:
Производной
функциив точке
справа (слева) называется
(если этот предел существует и конечен).
Обозначают:– производная y=f(x) в точке
справа,
– производная y=f(x) в точке
слева.
Физический смысл производной.
Если
функция y = f(x) и ее аргумент x являются
физическими величинами, то производная–
скорость изменения переменной y
относительно переменной x в точке
.Например,
если S = S(t) – расстояние, проходимое
точкой за время t, то ее производная
–
скорость в момент времени
Если
q = q(t) – количество электричества,
протекающее через поперечное сечение
проводника в момент времени t, то
–
скорость изменения количества
электричества в момент времени
т.е.
сила тока в момент времени
Геометрический смысл производной.
Пусть–
некоторая кривая, – точка на кривой
.
Любая
прямая, пересекающаяне
менее чем в двух точках называется
секущей.
Касательной
к кривойв
точке
называется
предельное положение секущей
если точка
стремится
к
двигаясь
по кривой.
Из
определения очевидно, что если касательная
к кривой в точкесуществует,
то она единственная.
Рассмотрим
кривую y = f(x) (т.е. график функции y =
f(x)). Пусть в точкеон
имеет невертикальную касательную
Ее
уравнение:
(уравнение прямой, проходящей через
точку
и
имеющую угловой коэффициент k). По
определению углового коэффициента
где
–
угол наклона прямой
к
оси
Пусть–
угол наклона секущей
к
оси
,
где
Так
как
–
касательная, то при
Следовательно
Таким
образом, получили, что–
угловой коэффициент касательной к
графику функции y = f(x) в точке
(геометрический
смысл производной функции в точке).
Поэтому уравнение касательной к кривой
y = f(x) в точке
можно
записать в виде
46. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций.
Основные правила дифференцирования
Пустьтогда:
7)
Еслито есть
где
и
имеют производные, то
(правило дифференцирования сложной
функции).
Производная обратной функции
Пусть f : [a, b] → [c, d] непрерывная, строго монотонная на интервале [a, b] функция, имеющая производную в точке х0 [a, b]. Тогда обратная функция g = f -1: [c, d] →[a, b] имеет производную в точке y0 = f(x0) интервала [c, d] равную
если f '(x0) ≠ 0. Если
f '(x0) = 0, то g '(y0) = + ∞ (в случае, когда f
возрастает), и g '(y0) = − ∞ (в случае, когда
f убывает).
Производная сложной функции
Пусть
функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a1, b1] →
[c1, d1], причём [a1, b1][c, d]. Если функция f дифференцируема в
точке х0
[a,
b], а функция g дифференцируема в точке
y0 = f (x0)
[a1,b1],
то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в
точке х0 производную, равную
Производные элементарных функций
Константа
f(x) = C, C
R =>0
Степень с рациональным показателем f(x) = xn => n · xn − 1
Синус f(x) = sin x => cos x
Косинус f(x) = cos x => − sin x (минус синус)
Тангенс f(x) = tg x =>1/cos2 x
Котангенс f(x) = ctg x =>− 1/sin2 x
Натуральный логарифм f(x) = ln x =>1/x
Произвольный логарифм f(x) = loga x=>1/(x · ln a)
Показательная функция f(x) = ex=>ex (ничего не изменилось)
47.ВОПРОС Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
Производная функции, заданной параметрически
Если
функциязадана параметрическими уравнениями
где
- параметр и если функции
и
дифференцируемы в точке
то функция
дифференцируема в точке
и ее производная вычисляется по правилу:
Производная функции, заданной неявно
Если
дифференцируемая в точкефункция
задана соотношением
и если при этом функция
- дифференцируема в точке
то производную
можно определить из равенства
так
как функция
тождественно равна постоянной и,
следовательно, ее производная равна
нулю.
Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом, f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом, dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, тоdx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формулаdnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
Формула Лейбница
Если
u и v - n-кратно дифференцируемые функции,
то
48. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции.
Дифференциал функции и его геометрический смысл
Дифференциалом
функции
в
называется главная, линейная относительно
,
часть приращения функции.
Покажем,
чтои
эквивалентные бесконечно малые при
Геометрический смысл дифференциала:
Проведем
к графику функциив точку
касательную
и рассмотрим ординату этой касательной
для точки
На рисунке
Из прямоугольного треугольника
имеем:
Но, согласно геометрическому смыслу
производной,
Поэтому
Это означает, что дифференциал функции
равен приращению ординаты касательной
к графику функции в этой точке, когда
получает приращение
Применение дифференциала в приближённых вычислениях.
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откуда
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
Инвариантность формы первого дифференциала
Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеемdf (x0) = f'(x0)dx. (3)
Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно,
т. е. первый
дифференциал обладает свойством
инвариантности относительно замены
аргумента.
Непрерывность дифференцируемой функции
Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х0, то говорят, что при данном значении аргумента х = х0 функция дифференцируема.
Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.
Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Пусть в точке х = х0 существует производная
Так как разность
между функцией и её пределом есть
бесконечно малая величина, то из
определения производной следует
соотношение
где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x0)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х0. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке.
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.