2.2. Кароткі змест "Пачаткаў"

Дэн Підо піша, што «Пачаткі» Еўкліда складаюцца з 13 кніг:

I - VI прысвечаны планіметрыі;

VII - IX - арыфметыцы;

Х - несувымерным велічыням;

XI -XIII - стэрэаметрыі (XIII прысвечана правільным шматграннікам).

Але не ўсё з таго, што ўжо было вядома, выкладзена ў «Пачатках», напрыклад , тэорыя канічных перасекаў ў «Пачатках» не была прадстаўлена.

Аўтар паведамляе, што кожнай з 13 кніг "Пачаткаў" прадпасылаюцца асноўныя прапановы, неабходныя для вываду усіх прапаноў разгляданай кнігі. Гэтыя прапановы дзеляцца на 3 катэгорыі: вызначэння, аксіёмы і пастулаты.

Першая кніга "Пачаткаў", піша аўтар, пачынаецца з 23-х азначэнняў. Прывядзем спіс некаторых вызначэнняў "Пачаткаў":

1. Кропка ёсць тое, што не мае частак.

2. Лінія ёсць даўжыня без шырыні.

3. Межы лініі ёсць кропкі.

. . .

Паралельныя ёсць прамыя, якія, знаходзячыся ў адной плоскасці і быўшы працягнутыя ў абодва бакі неабмежавана, ні з таго ні з другога боку паміж сабой не сустракаюцца.

За азначэннямі ідуць пастулаты і аксіёмы, г. зн. прапановы, якія прымаюцца без доказаў. Поўны спіс аксіём і пастулатаў, дадзены Еўклідам, не захаваўся. Вядома 5 пастулатаў і 10 аксіём.

Пастулаты:

Патрабуецца,

1 . Каб з кожнай кропкі да ўсякай іншай кропкі можна было правесці прамую лінію.

2. І каб кожную абмежаваную прамую можна было працягваць неабмежавана.

3. І каб з кожнай кропкі, як з цэнтра, можна было адвольным радыусам апісаць акружнасць.

4. І каб усе прамыя куты былі роўныя адзін аднаму.

V пастулат:

5. І каб кожны раз, калі прамая пры перасячэнні з двума іншымі прамымі ўтварае з імі ўнутраныя аднабаковыя куты , сума якіх менш 2-х прамых, гэтыя прамыя перасякаліся з таго боку, з якой гэтая сума менш 2-х прамых.

Аксіёмы:

1. Роўныя паасобку трэцяга роўныя паміж сабой.

2. І калі да роўных дадамо роўныя , то атрымаем роўныя.

. . .

6. І паловы роўных роўныя паміж сабой.

. . .

8. І цэлае больш часткі.

9. І дзве прамыя не могуць заключыць прасторы.

Аўтар адзначае, што з сучаснага пункту гледжання, адно з слабых месцаў "Пачаткаў" Еўкліда - гэта вызначэння . Ён дае вызначэння такіх паняццяў як кропка, плоскасць, прамая, г. зн. імкнецца даць вызначэнне ўсім геаметрычным паняццям, а гэта немагчыма. Многія яго вызначэння вельмі імглістыя, напрыклад:

1. «Прамая ёсць лінія , якая аднолькава размешчана адносна ўсіх сваіх кропак».

2. «Плоскасць ёсць паверхня, якая аднолькава размешчана ў адносінах да ўсіх прамых, што на ёй ляжаць» .

Еўклід ў «Пачатках» падзяліў пастулаты і аксіёмы. Але цяжка правесці паміж імі строгую грань. З сучаснай пункту гледжання ўсе яны могуць называцца аксіёмамі. Іншы важны недахоп "Пачаткаў" - няпоўнасць сістэмы аксіём: няма аксіёмы бесперапыннасці, аксіём руху і парадку, звязаных з тэрмінамі «паміж» і «па-за».

У кнізе II, піша аўтар, закладзены асновы так званай геаметрычнай алгебры , ўзыходзячай да школы Піфагора. Усе велічыні ў ёй прадстаўлены геаметрычна, і аперацыі над лікамі выконваюцца геаметрычна. Колькасці замененыя адрэзкамі прамой. Кніга III цалкам прысвечана геаметрыі акружнасці, а ў кнізе IV вывучаюцца правільныя шматкутнікі, ўпісаныя ў акружнасць, а таксама апісаныя вакол яе. Тэорыя прапорцый , распрацаваная ў кнізе V , аднолькава добра прыкладалася і да сувымерных велічынь і да несувымерных велічынь. Еўклід уключаў у паняцце "велічыні" даўжыні, плошчы, аб'ёмы, вагі, куты, часовыя інтэрвалы і г. д. Адмовіўшыся выкарыстоўваць геаметрычную відавочнасць, але пазбягаючы таксама звароты да арыфметыцы, ён не прыпісваў велічыням лікавых значэнняў.

У кнізе VI, адзначае аўтар, тэорыя прапорцый кнігі V прымяняецца да прамалінейных постацяў , да геаметрыі на плоскасці і, у прыватнасці, да падобных постацям, прычым "такія прамалінейныя фігуры сутнасць тыя, якія маюць куты, роўныя па парадку, і бакі пры роўных кутах прапарцыйныя". Кнігі VII, VIII і IX складаюць трактат па тэорыі лікаў; тэорыя прапорцый ў іх прыкладаецца да лікаў. У кнізе VII вызначаецца роўнасць адносін цэлых лікаў, або, з сучаснага пункту гледжання, будуецца тэорыя рацыянальных лікаў. З многіх уласцівасцяў лікаў, даследаваных Еўклідам (цотнасць, дзялімасць і г.д.), прывядзем, напрыклад, прапанову 20 кнігі IX, якая ўстанаўлівае існаванне бясконцага мноства "першых", г.зн. простых лікаў: "Першых лікаў існуе больш усялякай прапанаванай колькасці першых лікаў". Яго доказ ад адваротнага да гэтага часу можна знайсці у падручніках па алгебры. Кніга X чытаецца з працай; яна ўтрымлівае класіфікацыю квадратычных ірацыянальных велічынь, якія там прадстаўленыя геаметрычна прамымі і прастакутнікамі. Вось як сфармулявана прапанова 1 у кнізе X "Пачаткаў" Еўкліда: "Калі зададзены дзве няроўныя велічыні і з большай адымаецца частка, большая за палову, а з рэшты - зноў частка, вялікая паловы, і гэта паўтараецца пастаянна, то калі-небудзь застаецца велічыня, якая менш, чым меншая з дадзеных велічыняў". На сучаснай мове: калі a і b - станоўчыя рэчавыя колькасці і a > b, то заўсёды існуе такі натуральны лік m , што mb > a. Еўклід даказаў справядлівасць геаметрычных пераўтварэнняў. Кніга XI прысвечана стэрэаметрыі. У кнізе XII, якая таксама ўзыходзіць, верагодна, да Еўдокса, з дапамогай метаду вычэрпвання плошчы крывалінейных фігур параўноўваюцца з плошчамі шматкутнікаў. Прадметам кнігі XIII з'яўляецца пабудова правільных шматкантовікаў. Пабудова Платонавых цел, якім, відаць, завяршаюцца "Пачаткі", дало падставу прылічыць Еўкліда да паслядоўнікаў філасофіі Платона.