2.”Пачаткі” Еўкліда
2.1. “Пачаткі” і іх шматвекавая гісторыя
Дзягілеў адзначае, што найважнейшая матэматычная праца геніяльнага Еўкліда «Пачаткі» мае вельмі шаноўны ўзрост - звыш двух тысячагоддзяў.
Аштар піша, што ішлі стагоддзі, мяняліся народы, знікалі з твару зямлі адні дзяржавы і ўзнікалі іншыя , бурыліся гарада, гарэлі ў полымі пажараў кнігі і бібліятэкі, а «Пачаткі», напісаныя упершыню на далікатным папірусе, прайшлі праз гэты час.
Створаныя ў III ст. да н. э. «Пачаткі» не страцілі свайго значэння і цяпер. Яны займаюць асаблівае месца ў гісторыі матэматыкі.
Еўклід, адзін з найвялікшых геаметраў, вырашыў знайсці законы, якім падпарадкоўваюцца ўсе лініі і цела ў прыродзе, і размясціць гэтыя законы ў строгай сістэме ...
Аўтар падкрэслівае, што Еўклід абагульніў дасягненні геаметрыі, усе веды, назапашаныя да таго часу. У гэтым яму дапамаглі кніжныя зборы Александрыйскай бібліятэкі. У папірусных скрутках захаваліся і першыя крокі егіпцян, і адкрыцці «халдейких мудрацоў» з Вавілона , і дасягненні грэчаскіх вучоных. Эўклід заўсёды мог звярнуцца да матэматычных прац сваіх папярэднікаў.
Аўтар піша, што ён абапіраўся на працы сваіх папярэднікаў, але нідзе не згадвае пра першакрыніцы. Так, устаноўлена, што разрозненыя матэматычныя веды, асобныя тэарэмы і іх доказы былі ўпершыню сабраны і сістэматызаваны ў «Пачатках» Гіпакрата Хіоскага (ён выкладаў у Афінах у сярэдзіне V ст. да н. э.). Сачыненне згублена. Асноўныя палажэнні "Пачаткаў" Гіпакрата ўвайшлі ў першыя чатыры кнігі "Пачаткаў" Еўкліда .
Уся праца складаецца з трынаццаці кніг, у змесце якіх ўваходзіць перш за ўсё вывучэнне геаметрычных фігур на плоскасці. Але для гэтага патрабуюцца чысла, таму Еўклід выкладае вучэнне пра цэлыя лічбы і дробы.
Затым даследаванне распаўсюджваецца з плоскасці на прастору, на ўзаемараспалажэнне і велічыні паверхняў і аб'ёмы целаў. Словам, «Пачаткі» уключаюць асновы планіметрыі, стэрэаметрыі, арыфметыкі...
Галоўная асаблівасць "Пачаткаў" - яны пабудаваны па адзінай лагічнай схеме, а ўсе тэорыі ў іх лагічна абгрунтаваныя.
Аўтар лічыць, што праца Еўкліда справядліва лічыцца ўзорам дэдуктыўнай сістэмы. Невялікая колькасць асноўных палажэнняў прымаецца без доказаў. Зыходнымі палажэннямі, на якіх Еўклід будуе сістэму геаметрыі, служаць вызначэння, аксіёмы і пастулаты.
Кожная з трынаццаці кніг пачынаецца вызначэннем тэрмінаў, якія ў ёй з'яўляюцца.
Спачатку Еўклід, піша аўтар, ўводзіць вызначэння асноўных паняццяў - кропка, лінія, прамая лінія, плоскасць, фігура... Першай кнізе, акрамя таго, папярэднічаюць аксіёмы і пастулаты (у некаторых спісах "Пачаткаў" аксіёмы і пастулаты аб'яднаны ў адну групу аксіём).
Свой велічны будынак, сваю грандыёзную геаметрыю Еўклід пабудаваў з дзіўнай складнасцю, яснасцю і шырынёй. У «Пачатках» падведзены вынік трохсотгадовага развіцця матэматыкі пачынаючы з Фалеса Мілецкага.
У старажытнасці «Пачаткі» адразу ж атрымалі шырокую вядомасць і сталі хутка распаўсюджвацца па ўсім свеце, здзіўляючы і пакараючы розумы.
Вучоны Э. Кольман кажа пра «Пачаткі»: «Не можа быць сумнення, што аўтар гэтай выдатнай працы быў вялікім геаметрам. Гіганцкая задача сістэматызацыі шырокага разнастайнага матэрыялу , якую ён гэтак бліскуча выканаў, сама па сабе была пад сілу толькі буйнейшаму вучонаму».
«Пачаткі» карысталіся вялікай папулярнасцю: Архімед, Апалоній Пергскі і іншыя выбітныя мысляры абапіраліся на іх у сваіх даследаваннях у галіне матэматыкі і механікі.
Гісторык звяртае ўвагу на тое, што вучнем Еўкліда быў і Арыстарх Самоскі, той самы, хто высунуў гіпотэзу аб руху Зямлі вакол Сонца. Вучні і паслядоўнікі вялікага матэматыка зноў і зноў вывучалі яго працы, рабілі на палях нататкі, тлумачэнні, выпраўленні...
З папірусу «Пачаткі» перайшлі на пергамент, потым на паперу ... Копіі прытрымліваліся адна за другой - інакш наўрад ці дайшла бы да нас гэтая непаўторная праца. На жаль, не захавалася ні аднаго рукапіса "Пачаткаў" эпохі антычнасці , за выключэннем невялікіх урыўкаў, якія былі знойдзены пры раскопках у Егіпце і Геркулануме.
Аўтар адзначае, што паступова, разам з заняпадам антычнага грамадства, колькасць геаметраў памяншаецца. Да сярэдзіны II ст. да н. э. выкладанне гэтай навукі не падымаецца вышэй школьнага ўзроўню, а за межамі Александрыі становіцца павярхоўным.
Сярод іх заслугоўвае згадвання Папп Александрыйскі , які жыў у канцы III ст. н. э. Ён заняўся аднаўленнем забытых да таго часу матэматычных ведаў. У яго асноўнай працы - «Матэматычны збор» - адна з частак адведзена каментарам "Пачаткаў" Еўкліда.
Іншы матэматык, Тэон Александрыйскі (бацька знакамітай Гіпатыі - жанчыны - матэматыка, астранома, філосафа, разадранай натоўпам рэлігійных фанатыкаў ) часткова спрасціў працу вялікага геаметрыка, ўнёс у яго некаторыя дапаўненні і выпраўленні .
Гэты тэкст "Пачаткаў" быў вельмі распаўсюджаны ў сярэднія вякі. Больш за тое, усе рукапісы, якія дайшлі да нас (за выключэннем адной), грунтуюцца на выданні Тэона.
Нарэшце, піша гісторык, у V ст. н. э. , пасля гібелі Александрыйскай навуковай школы, матэматык і філосаф Прокл пракаментаваў «Пачаткі» Еўкліда (захавалася толькі частка працы) ...
Праўда , у Канстанцінопалі зберагаліся многія старыя зборы рукапісаў, і тут каментатары працягвалі захоўваць памяць аб грэцкай навуцы. Сярод іншых прац былі і «Пачаткі» Еўкліда, якія некалькі стагоддзяў не знаходзілі прымянення, былі як бы пахаваныя. Яны зноў сталі вядомыя толькі да канца сярэдніх стагоддзяў, калі арыфметыка, геаметрыя ўваходзяць у кола вышэйшай адукацыі.
Існуе шмат рукапісаў "Пачаткаў", якія адносяцца да X- XII стст., усе яны з'явіліся на тэрыторыі Візантыйскай імперыі і капірюць «выданне» Тэона Александрыйскага. І невядома, колькі прамежкавых копій ляжыць паміж гэтымі рукапісамі і іх першакрыніцай.
«Пачаткі» Еўкліда былі перакладзены на арабскую мову ўжо ў канцы IX ст. (першы пераклад зроблены вядомым арабскім перакладчыкам Ісхакам) . Праца грэцкага вучонага служыла ў арабскіх краінах вучэбным кіраўніцтвам і асновай для далейшых даследаванняў.
Можна назваць каля пяцідзесяці матэматыкаў, якія жылі ў VIII -XV стст., якія займаліся перакладамі, пераробкамі і каментаваннем "Пачаткаў".
Нямала арабскіх навукоўцаў працавала і ў Кардоўскам халіфаце (Пірэнейскі паўвостраў). Іх заслуга - ва ўсталяванні навуковых кантактаў з краінамі Еўропы; тут працавалі перакладчыкі і каментатары арабскіх і перакладзеных з грэцкага твораў .
Такім чынам, з мудрасцю Еўкліда пачынае знаёміцца Еўропа. Першую спробу перакласці «Пачаткі» з арабскага на латынь распачаў італьянец Герард з Крэмона ў Ламбардыі (1114-1187 гг.). Гэта быў выбітны перакладчык свайго часу, колькасць прац, перакладзеных ім з арабскага, набліжаецца да дзевяноста.
Новы пераклад "Пачаткаў" Еўкліда даў праз стагоддзе матэматык - астраном Джавані Кампана з Навары (блізу Мілана). Кніга выйшла з друку ў 1482 г. у Венецыі ў немца Э. Ратдольта і называлася «Найслаўнейшая кніга пачаткаў Еўкліда».
Аўтар звяртае ўвагуна тое, што сваю ролю ў развіцці матэматыкі ў Еўропе адыгралі ўніверсітэты, якія сталі ўзнікаць ў першай палове XI ст. Праўда, на працягу некалькіх стагоддзяў яна заставалася дапаможнай дысцыплінай, і асаблівых кафедраў, ды і асаблівых выкладчыкаў матэматыкі, не было.
Студэнтаў вельмі павярхоўна знаёмілі з некалькімі кнігамі "Пачаткаў" . Пра Еўкліда ведалі так мала, што некаторыя лічылі, што яго «Пачаткі» былі напісаныя па - арабску, а іншыя - што ён даў толькі тэарэмы, а доказы да іх прадставіў Тэон.
У XVI ст. у Парыжскім універсітэце кандыдаты на ступень магістра мастацтваў замест здачы іспыту па геаметрыі павінны былі прысягаць у тым, што праслухалі лекцыі па шасці першых кнігах "Пачаткаў".
І ўсё ж з нетраў універсітэтаў у той час выйшлі шматлікія выдатныя матэматыкі, якія не толькі засвойвалі «Пачаткі» Эўкліда, але і развівалі матэматыку. Але сапраўды слаўнае шэсце "Пачаткаў" па краінах Еўропы пачалося толькі ў эпоху Адраджэння, калі, як сказаў Франсуа Рабле, «усюды мы бачым вучоных людзей, адукаваных настаўнікаў, шырокія кнігасховішчы, так што, на мой погляд, нават у часы Платона, Цыцэрона і Папініяна было цяжэй вучыцца, чым цяпер, і хутка для тых, хто не паднатарэў ў Мінервінай школе мудрасці, усе дарогі будуць зачыненыя. Цяпер разбойнікі, каты, прайдзісветы і конюхі больш адукаваныя, чым у мой час дактара навук і прапаведнікі » .
Ішлі стагоддзі, а Еўклід не старэў, адзначае гісторык. На працягу чатырох стагоддзяў яго асноўны твор друкавалася каля 2500 раз. У сярэднім выходзіла штогод 6-7 выданняў! А лепшым лічыцца выданне дацкага вучонага І. Гейберга ў пяці тамах (1883-1888 гг .), у якім прыводзіцца і грэцкі і лацінскі тэкст.
Без перабольшання можна сказаць , што ўплыў "Пачаткаў" Еўкліда адчулі на сабе шматлікія выбітныя навукоўцы. З томам Еўкліда не разлучаўся з юнацтва да апошніх дзён Мікалай Капернік; старанна вывучаў «Пачаткі» Галілеа Галілей; ўслед за Еўклідам і Ньютан сваю фундаментальную працу назваў «пачатку»; план свайго асноўнага сачыненні «Этыка» Спіноза цалкам узяў з Еўкліда.
Геаметрыяй Еўкліда быў зачараваны і Альберт Эйнштэйн. Ён казаў: «Мы шануем старажытную Грэцыю як калыску заходняй навукі. Там была ўпершыню створана геаметрыя Еўкліда - гэта цуд думкі, лагічная сістэма, высновы якой з такой дакладнасцю выцякаюць адзін з іншага, што ні адзін з іх не быў падвергнуты якому-небудзь сумневу.
Такаі лёс выдатнай кнігі Еўкліда, кнігі, пранізаўшай, па словах выдатнага рускага навукоўца С. І. Вавілава, стагоддзя.
Гэтая кніга нашмат пераўзыходзіла пазнейшыя працы матэматыкаў, яна адыграла велізарную ролю ў гісторыі матэматыкі. Дастаткова сказаць , што яна была перакладзеная на ўсе мовы свету і вытрымала каля 500 выданняў. Да сярэдзіны XIX стагоддзя ўсе матэматыкі вучыліся па «Пачатках» Еўкліда .