- •1.Случайные события, действия над событиями
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •4.Формулы комбинаторики, гипергеометр. Распределение.
- •6. Формула полной вер-сти. Ф-ла Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •11.Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и её свойства.
- •13.Коэффициент корреляции и ковариация
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения св.
- •16.Равномерное распределение.
- •Показательное распред. Наз.Распред.Вер-тей св,к-рое опис-ся плотностью
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходим.Случ.Посл-тей
- •23. Теорема Чебышева.Теорема Берелли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29.Точечное оценивание
- •30. Доверительные интервалы.
- •31.Стандартная ошибка точечной оценки
- •32. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •33.Довер.Интервалы для оценки мОпри известном
- •33. Доверит.Интервалы для оценки мо нормального распределения при неизвестном
- •35.Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38.Вычисление теоретич.Частот для норм.Распр-ния.
- •39. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •40.Сравнение средних 2х норм.Выборок(Крит.Стьюдента)
- •41. Дисперсионный анализ
- •42.Парная регрессия
- •43. Парный коэффициент корреляции.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэфф.Корреляции.
21. Условный закон распределения.
Усл.законом распред.одной изСВ, входящий в с-му (X,Y) наз.ее закон распред.,вычислен.при условии,что другая СВ принимает опред.знач(или попадает в какой-то интервал).
Усл.веррр-ть того,что СВ Yпримет зачение yj при условии,что X=xi опред. рав-вом
.Совок-ть вер-тей предст.соб. усл.з-н распред СВYпри усл.X=xi. Сумма усл.вер-тей=1
Опред.усл.вер-ть СВ X при условии,чтоY=yj
Плотность вер-ти усл.распред. СВ Yпри условии X=x опред.рав-вом ,
Плотность вер-ти усл.распред. СВ Xпри условии Y=y опред.рав-вом ,
Совместная плотность распред.с-мы СВ равна произведению плотности одного состовл. На усл.плоность другой сось.при заданном значении первой. f(x,y)=f1(x)*f(y|x)=f2(y)*f(x|y)
22. Неравенство Чебышева. Сходим.Случ.Посл-тей
Для ТВ большую роль играют вер-ти, к-е близки либо к 0, либо к 1. Особую роль при этом играют СВ, к-е предст.соб.сумму большого кол-ва СВ.
СВ 1, 2,…, n, …сходятся по вероятности к величине A(случайной или неслучайной), если для любого вер-сть соб.пристремится 1, т.е..
Сход-сть по вер-ти символически записывают так .
Неравенство Чебышева
Для СВ , имеющей ограничен.дисперсию, и для люб.справедливо нер-во Чебышева
Доказ-во:
Вероятность P(|–a|≥ε) есть вер-ть попадания СВ в область,лежащ.вне промеж.[a-ε; а+ε]. Можно записать
Область интегр-ния |x-a|≥ε.Возведём обе части в квадр.и разделим на ε2:1≤(x-a)2/ε2 .
Т.к.интеграл от неотр.ф-ции при расширен-нии области интегр-ния может только возрасти.
Отметим, что неравенство Чебышева часто используется для противоположного события:
23. Теорема Чебышева.Теорема Берелли.
Т.Чеб.:Если X1, X2,…,Xn – посл-сть незав.CВ, имеющих конечные дисперсии,огранич.одним и тем же числом С, то для любого С>0 выполняется
Доказательство.
Т.к. дисп.огран.С, то
Применяя к СВ 1/n∑Xi нер-во Чеб., получим
Переходя к пределу при n→∞ и учит.,что вер-ть люб.соб.не превыш.1, получаем
Суть закона больших чисел. Если число СВ неогр-но растет, то их среднее арифм-кое утрач.смысл СВ и стрем.к постоянному числу равному средн.арифм.их МО.
Следствием теоремы Чебышева является теорема Бернулли.
Пусть m- число появления соб.А в n исп-ниях в схеме Берн., и p- вер-сть появл.А в одном испыт. Тогда для любого справедливо , т.е.относит.частотасоб.Асходится по вер-тик вер-тиp соб.А.
24. Центральная предельная теорема.
Многие задачи ТВ связаны с изучением суммы независ. СВ, которая при определенных условиях имеет распределение, близкое к нормальному. Эти условия выражаются центральной предельной теоремой:
Пусть1, 2,…, n,…-послед-сть независ.СВ.Обозначим =1+2+…+n.Говорят, что к посл-сти1,2,…,n,… применима ЦТП,если призакон распред.стремится к нормальному:
Суть ЦТП: при неогранич.увелич.числа СВ закон распределения суммы стремится к нормальному.
Частным случаем ЦТП является интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
Сформулир.ЦПТ для одинаково равпредел.СВ:
25. Выборочный метод
Пусть изучается некоторые количеств.признак Х и пусть для его изучения имеется некоторая сов-сть объектов. Иногда исследуются все объекты сов-сти, иногда только их часть.
Сов-сть объектов, взятых для исследования наз.выборочной или выборкой. Сов-сть объектов из которых взята выборка наз.генеральной.Число объектов сов-сти наз.объемом.
Чтобы выборка хорошо отражала ген.сов-ть,ее объекты должны браться случайно и независимо друг от друга.
Пусть в выборке значении x1 встретилось n1 раз, x2-n2,….,xk-nk раз.Возможные значения xi – варианты, ni – их частоты, ∑ni объем выборки,ni/n =wi– относительные частоты.
Перечень вариантов, записанных в возрастающем порядке и соответствующим их частот наз-тся статистич.распределением выборки или вариационным рядом.