- •1.Случайные события, действия над событиями
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •4.Формулы комбинаторики, гипергеометр. Распределение.
- •6. Формула полной вер-сти. Ф-ла Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •11.Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и её свойства.
- •13.Коэффициент корреляции и ковариация
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения св.
- •16.Равномерное распределение.
- •Показательное распред. Наз.Распред.Вер-тей св,к-рое опис-ся плотностью
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходим.Случ.Посл-тей
- •23. Теорема Чебышева.Теорема Берелли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29.Точечное оценивание
- •30. Доверительные интервалы.
- •31.Стандартная ошибка точечной оценки
- •32. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •33.Довер.Интервалы для оценки мОпри известном
- •33. Доверит.Интервалы для оценки мо нормального распределения при неизвестном
- •35.Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38.Вычисление теоретич.Частот для норм.Распр-ния.
- •39. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •40.Сравнение средних 2х норм.Выборок(Крит.Стьюдента)
- •41. Дисперсионный анализ
- •42.Парная регрессия
- •43. Парный коэффициент корреляции.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэфф.Корреляции.
6. Формула полной вер-сти. Ф-ла Байеса.
Пусть событие А может произойти только с одним из n несовместных событий H1…Hn, образующих полную группу:
Ø,,тогда.
По правилу сложения вер-тей несовм.соб.получаем . А по правилу умноженияP(HiA)=P(Hi)P(A/Hi). Откуда оканчательно имеем - формулу полной вероятности.
События H1, H2,…, Hn часто называют гипотезами.
Иногда интересует, как перераспределятся вероятности гипотез после того, как событие А уже произошло: . По теореме умножения , .
Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности, получим формулу Байеса:
.
7. Схема независимых испытаний Бернулли
Пусть производится n независ.испытаний, в каждом из кот.может появ.соб.А или не появится.Вер-сть появления соб., не появления , .
Под элементарн.событием в схеме Бернулли поним.послед-сть наступлений и не наступл.соб.А в n испытаниях.
Требуется найти вероятностьPn(m) того, что соб.А в этих n опытах появиться ровно m раз.
Для произвольных m и n вероятность одного элементарного исхода равна pmqn-m . Число таких элементарных исходов равно числу способов разместить m единиц по n местам, а это по определению есть число сочетаний из n элементов по m. Получим формулу Бернулли .
Часто в схеме Бернулли интересует вероятность появления события А не ровно m раз, а от m1 до m2 раз включительно. Тогда она определяется формулой:
8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
При больших n применение форм.Берн.затрудн-но из-за сложности выч.факториалов и степеней.В этом случ.исп-тся приближ.формулы.Рассм.2 случая: 1)или;
2) p(0,1)и не близко ни к 0, ни к 1.
Теорема Пуассона. If в сх.Берн., так,что np a, тогда .Замеч.:1)–среднее число появл.соб.А вn испыт-ях.2как правило,теор.Пуассона прим,когда 3)В конце книг поТВесть табл.для подсчета вер-ти для разл.aи m.
Лок.предельная теорема Муавра-Лапласа.If вер-сть наступл. некот.соб.в n независ.испыт.постоянна и=p,p(0,1),то вер-сть того,что в этих испыт.соб.A наступ.ровноmраз, удовл.при n соотнош.,гдеравном-но по всемm, для кот.наход. в каком-то конечн. интервале; Ф-ция -плотность норм.распред.
Интегр.пред.теорема Муавра-Лапласа.If m-число наступл. соб.в n независ.испыт.,в каждом из кот-х вер-сть этого соб.=p, p(0,1),то равномерно относ-но a и b (−∞<a<b<+∞) n имеет место соотношение , где -ф-ция Лапласа. Замеч.:1)Ф-ция Лапласа нечетная:= -.2)Ф0(z) асимптотич-я и приона быстро стрем.к 0,5. Это стремл. настолько быстрое, что при можно счит=0,5. 3) Плотность норм.распред. - четная функция.4)Ф-ции , в конце книг по ТВиМС заданы таблично.
9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
Случ.велич.ξ, наз.величина, значеие кот.завис.от случая. Функция определенная на множестве элемент-х событий Ω.СВобознач.греч. буквами, напр.ξ(кси), η(эта) и т.д.,а их возможные значения малыми лат.буквами x1,x2,...,y1,y2… СВ бывают дискретные (если приним.конечное или счётное знач.), недискретные и др. Законом распред.дискретной СВ ξ наз. соответствие между возможными знач.и их вер-ми. Обычно для дискр. СВ ξ закон распред. изображ.в виде табл. Соб.ξ= x1;ξ=x2,… несовместны и образуют полную группу, поэтому ∑pi=1
Пусть ξ-СВ и x -произвольное действит.число.Вер-сть того, чтопримет знач.меньшее чем x наз.функцией распред. вер-ти..СВ наз.непрерывной, если ее ф-ция распред.F(x)непрерывна.
Функция распределения вероятностей явл. неслуч. функциикй, вычисленной на основ.закона распределения СВ.
Свойства функции распределения:
1. , 0 , так как это вероятность.
2. F(x) –неубывающая функция.т.е.
Следств:2.1) Вер-сть попаданияСВ в задан.интервал есть приращ.ф-ции распред.на этом интервале.P(x1≤≤x2)=F(x2)- F(x1).
2.2)Вер-сть принять одно фиксиров.знач.для непрерывной СВ=0,т.к. функция распред.непрерывной СВнепрерывна.
2.3) Вер-сть попадания непрер.СВ в откр.или замкнутый промеж. одинакова. P(a≤≤b)= P(a<≤b)= P(a≤<b)= P(a<<b).
3. F(x)непрерывна слева в кажд.точке
4.F(-∞)=0
5. F(+∞)=1