Методичка по сопромату (I семестр)
.pdf
40
7. Визначити положення головних центральних осей інерції. За формулою (2.9) визначимо кут α0, на який треба повернути осі z і y, щоб вони стали головними
tgα0 = |
−2J zy |
= − |
2 465 |
= 0.4851, |
|
J z − J y |
547 −2464 |
||||
|
|
|
звідки знаходимо 2α0=25.92o, α0=12.96o.
Для перевірки обчислюємо кути α1 та α2 за формулами (2.10)
tgα1 = |
|
J zy |
|
= |
465 |
|
= −4.3458, |
α1 = −77.07°, |
||||
J min − J z |
440 −547 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
tgα2 = |
|
− J zy |
|
= |
|
− 465 |
|
= 0.2298, |
α2 =12.92°. |
|||
|
J min − J y |
|
|
440 − |
2464 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вісь, відносно якої момент інерції максимальний, утворює з горизонтальною віссю z кут α1 = −77.07°. Мінімальна вісь утворює з віссю z
кут α2 =12.92°.
8. Виконати перевірки правильності розрахунків
а) J max + J min = J z + J y ; J max + J min = 2571 + 440 = 3011см4 ;
J z + J y = 547 + 2464 = 3011см4 , тобто ця умова виконується;
б) α1 −α2 = 90°, α1 −α2 = −77.07°−12.92° = 89.99°.
Похибка складає ε = 90 −89.99 100% = 0.011% <1% , що допустимо; 90
в) α0 =α1 або α0 =α2. В нашому випадку α0 =12.96° а α2 =12.92°.
Похибка складає ε = 12.96 −12.92 100% = 0.31% <1% ; 12.92
г) якщо отримані нами осі дійсно є головними, то Juv з (2.8) буде дорівнювати нулю. В нашому випадку cos2α0=0.899, sin2α0=0.437, тому
Juv = |
Jz − J y |
sin 2α0 + Jzy cos 2α0 |
= |
547 −2464 |
0.437 + 465 0.899 = −418.865 + |
||
2 |
2 |
||||||
|
|
0.83 100% |
|
|
|||
+ 418.035 = −0.83, ε = |
= 0.2% <1%. |
||||||
418.035 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
9. Побудувати коло інерції Мора і визначити графічно Jmin , Jmax , α1 , α2 .
Виберемо прямокутну систему координат, паралельну системі zOy. Вздовж осі абсцис будемо відкладати осьові, а вздовж осі ординат – відцентрові моменти інерції (рис. 2.13).
Для перевірки правильності розрахунків слід пам’ятати, що
J max > (J z , J y ), 0 < J min < (J z , J y )
41
Відкладемо в масштабі відрізки [1,2]: OD=Jz=547см4, DA=Jzy=465см4,
OE=Jy=2464см4, BE=−Jzy=−465см4 і побудуємо на AB, як на діаметрі, коло інерції Мора, полюс якого С – точка перетину з колом горизонтальної прямої
AC, або вертикальної BC (рис. 2.13).
Промені KC і LC визначають напрямок головних центральних осей інерції, а відрізки OK і OL – значення головних центральних моментів інерції.
Вимірюючи їх, знаходимо: α1=−77o, α2=12.5o, Jmin=OL=440см4, Jmin=OK=
=2580см4.
Порівняння аналітичних та графічних результатів розрахунку наведені нижче в таблиці 2.1. З таблиці видно, що розбіжність між аналітичними і графічними результатами не перевищує 3.4%. Це підтверджує правильність розрахунків.
Положення головних центральних осей інерції для цього складного перерізу наведено на рис.2.14.
Таблиця 2.1
Порівняння аналітичних і графічних результатів розрахунку.
Позначення |
Результати |
Розбіжність в |
|
|
аналітичні |
графічні |
% |
Jmax |
2571 |
2580 |
0.35 |
Jmin |
440 |
440 |
0 |
α |
-77.08o |
-77o |
0.1 |
α |
12.92o |
12.5o |
3.4 |
2 |
|
|
|
42
|
Jвц |
|
|
v(max) |
|
|
|
|
A |
|
С |
|
u(min) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
465 |
|
|
|
|
Jос |
O |
|
α2=12.5o |
O1 |
E |
K |
|
L |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1=77o |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Jmin=440 |
|
|
|
|
|
|
547 |
2464 |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jmax=2580 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.13 |
|
|
|
|
10. Обчислити головні радіуси інерції перерізу. |
|
|
|
||
За формулами (2.13) обчислюємо |
|
|
|
|
||
imax = |
Jmax |
= |
2571 |
= 7.27см, imin = |
Jmin |
= |
440 |
= 3.01см. |
|
A |
|
48.7 |
|
A |
|
48.7 |
|
11. Обчислити моменти опору перерізу.
Моменти опору перерізу обчислюємо за формулами (2.14). Головні моменти інерції відомі
Ju = J min = 440см4 , Jv = Jmax = 2571см4 .
Знаходимо найбільш віддалені від осей u і v точки A(7.51;-7.79) і O0(-12.49;-7.79) (рис. 2.14) та обчислюємо за формулами (2.15) значення
u max = −12.49 0.9745 −7.79 0.2235 =13.913см, v max = −7.79 0.9745 −7.51 0.2235 = 9.27см.
76
y0 |
|
|
v(max) |
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
22.8 |
4 |
5.2 |
2 |
20.7 |
|
O1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
zc=124.9 |
1 |
9 |
|
|u|max=139.13 |
|
|
|
|
O0 |
|
|
|
y y2
O2
O 5
α1=77.07o
№20
3
43
L №16/10(1.0)
u(min)
α2=12.92о z2 z
|v|max=92.7
z1 =77.9 c y
z0
A
Рис. 2.14
Ці значення можна визначити графічно. З рис. 2.14 знаходимо |umax|=14см і |vmax|=9.2см, які незначно відрізняються від аналітичних значень.
Далі за формулами (2.14) обчислюємо
W = |
|
Ju |
= |
440 |
= 47.46см, W = |
Jv |
= |
2571 |
=184.79см. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
|
v |
|
max |
9.27 |
v |
u |
|
max |
13.913 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
44
12. Виконати контроль обчислень на ПЕОМ за програмою “GEOM”, яка розроблена на кафедрі будівельної механіки. З цією метою необхідно розбити складний переріз на окремі прямокутники (рис. 2.14). Потім визначити ширину bi і висоту hi кожного із них та координати zi і yi лівого нижнього кута в допоміжних осях z0O0y0. Усі необхідні для вводу в ПЕОМ дані наведені нижче
Робота 2 з опору матеріалів (Задача 2)
Іванов І.І., гр.М-21, |
|
|
сх.-вар., par |
- 1 |
1 0 |
Число прямокутників |
|
- 5 |
Число фігур |
- |
2 |
-------------------------------------------
№ ф| Ai | Izi | Iyi | Izyi| Zoi | Yoi | cм2 | см4 | см4 | см4 | см | см
-------------------------------------------
123.40 113.00 1520.00 0.00 10.00 5.53
225.30 204.00 667.00 213.00 14.77 9.88
-------------------------------------------
---------------------------------------------------
№пр | Zi[см] Yi[см] Bi[см] |
Hi[см] |
Ci |
|||||
--------------------------------------------------- |
|||||||
1 |
| |
0.00 |
0.00 |
0.90 |
7.60 |
1 |
|
2 |
| |
0.90 |
7.08 |
18.20 |
0.52 |
1 |
|
3 |
| 19.10 |
0.00 |
0.90 |
7.60 |
1 |
|
|
4 |
| |
4.00 |
7.60 |
16.00 |
1.00 |
2 |
|
5 |
| 19.00 |
8.60 |
1.00 |
9.10 |
2 |
|
|
Контрольні дані Iu, Iv |
|
- 440.00 2571.00 |
|||||
Координати ЦВ перерізу: Zc, Yc |
- 12.49 7.79 |
||||||
Результати обчислень на ПЕОМ за програмою “GEOM”, що виконані згідно з інструкцією (див. додаток 4), наведені на рис. 2.15.
45
Задача 2
Результати розрахунків Координати центра ваги перерізу
Zc=12.48см Yc=7.79см
Центральні і екстремальні моменти інерції перерізу
Iz=547.03см4 Iy=2463.59см4 Izy=465.24см4 Iu=440.06см4 Iv=2570.56см4
Положення головних вісей інерції перерізу
Alfa0=12.95 alfa1=-77.05 alfa2=12.95
Моменти опору і радіуси інерції перерізу
Umax=13.91см Vmax=9.28см
Wu=47.43 Wv=184.85 Ru=3.01см Rv=7.27
Виконав на ПЕОМ ст. Іванов І.І., гр.M-21, сх.-вар. 1 7
Рис. 2.15
46
Приклад 2.8. Визначити головні центральні моменти інерції, радіуси інерції та моменти опору складного перерізу, який зображено на рис. 2.16.
Ця задача розв’язується у тому ж порядку, що і попередня, але об’єм обчислень буде значно більшим. Тому обчислення рекомендується виконувати тільки на ПЕОМ за програмою “GEOM”. При цьому розв’язання задачі зводиться в основному до підготовки вихідних даних для вводу у ПЕОМ.
y0
|
|
|
L №20/12.5(1.1) |
|
|
|
|
y3 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
6 |
O3 |
20 |
|
|
|
|
||
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4 |
|
220 |
|
|
|
z1 |
|
O1 |
|
||
|
|
|
||
|
|
2 |
8.7 |
I №22 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
O |
|
110 |
|
|
[№16 |
64 |
|
9 |
y4 |
|
|
|
y2 |
160 |
18 |
|
O4 |
|
|
|
|
|
8 |
5 |
O2 z2 |
7 |
|
450
z4
8.4
z0
Рис. 2.16
Перш за все необхідно поділити складний переріз на окремі прямокутники. Далі, відповідно до сортаменту (ГОСТ 8510-86; 8239-89; 8240-89) визначити ширину bi і висоту hi кожного прямокутника та координати zi і yi лівого нижнього кута в допоміжних осях z0O0y0.
Усі вихідні дані, які необхідні для обчислень, наведені нижче.
47
Робота 2 з опору матеріалів (задача 3) Іванов І.І., гр.М-22,
сх.-вар., par |
1 1 1 |
Число прямокутників |
9 |
Число фігур |
4 |
--------------------------------------------------- |
|
№пр | Zi[см] Yi[см] Bi[см] Hi[см] Ci
---------------------------------------------------
1 |
| 29.00 |
25.20 |
16.00 |
1.40 |
1 |
|
2 |
| 43.60 |
26.60 |
1.40 |
8.60 |
1 |
|
3 |
| |
0.00 |
24.00 |
45.00 |
1.20 |
2 |
4 |
| |
0.00 |
0.00 |
12.50 |
0.98 |
3 |
5 |
| |
5.99 |
0.98 |
0.56 |
22.04 |
3 |
6 |
| |
0.00 |
23.02 |
12.50 |
0.98 |
3 |
7 |
| |
0.00 |
25.20 |
7.60 |
0.90 |
4 |
8 |
| |
0.00 |
26.10 |
0.56 |
18.20 |
4 |
9 |
| |
0.00 |
44.30 |
7.60 |
0.90 |
4 |
Результати обчислень на ПЕОМ за програмою “GEOM”, що виконані згідно з інструкцією (див. додаток 4), наведені на рис. 2.17.
48
Задача 3
Результати розрахунків Координати центра ваги перерізу
Zc=19.19см Yc=23.89см
Центральні і екстремальні моменти інерції перерізу
Iz=14333.06см4 Iy=38313.28см4 Izy=4152.65см4 Iu=13634.31см4 Iv=39012.03см4
Положення головних вісей інерції перерізу
Alfa0=9.55 alfa1=-80.45 alfa2=9.55
Моменти опору і радіуси інерції перерізу
Umax=27.33см Vmax=24.20см
Wu=563.38см3 Wv=1427.57см3 Ru=9.56см Rv=16.17см
Виконав на ПЕОМ ст. Іванов І.І., гр.M-21, сх.-вар. 1 7
Рис. 2.17
49
2.6. Приклади для самостійного розв’язування
Приклад 2.9. Порівняти величини осьових моментів інерції відносно центральної осі y прямокутника, квадрата і кола при умові, що їх площі рівні
(рис. 2.18).
І |
ІІ |
ІІІ |
2a
y |
y |
y |
|
b |
d |
b
a
Рис. 2.18
Приклад 2.10. Визначити головні центральні моменти інерції перерізу
(рис. 2.19).
Приклад 2.11. Обчислити осьові моменти інерції перерізу (рис. 2.20) відносно осей u i u1.
a=10см
a |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
a |
a |
a |
a |
|
Рис. 2.19 |
|
|
|
b
a b=2см |
u1 u
Рис. 2.20
Приклад 2.12. Визначити головні центральні моменти інерції перерізу
(рис. 2.21).