Методичка по сопромату (I семестр)

Тобто, умова міцності балки за дотичними напруженнями виконується.

4. Перевірити балку на міцність за головними напруженнями за IV теорією міцності.

З епюр Q і M видно (рис. 3.20, б ,в), що небезпечним перерізом балки за головними напруженнями може бути тільки переріз D, де діють M=257.5 кНм та Qmax =92.5 кН.

Побудуємо епюри нормальних σ та дотичних τ напружень в цьому перерізі. Для цього обчислимо нормальні і дотичні напруження в характерних точках перерізу (рис. 3.21, а).

=196 МПа,

σ(4) =σ y=0 = 0 - на нейтральній лінії.

У верхній частині поперечного перерізу (рис. 3.21, а) діють такі ж самі стискаючі напруження, так як М>0. Епюру напружень σ побудовано на рис. 3.21, б.

112

За обчисленими значеннями τ на рис. 3.21, в побудовано епюру дотичних напружень.

З епюр σ і τ (рис. 3.21, б, в) видно, що небезпечною точкою поперечного перерізу при перевірці міцності за головними напруженнями є точка переходу від полиці до стінки

2(2′), де діють напруження σ=196 МПа і τ=18.37 МПа. В цій точці обчислимо еквівалентне напруження за IV теорією міцності (3.16).

σекв = σ 2 +3τ 2 = 1962 +3 18.372 =198.6 МПа < mRзг = 215 МПа.

Тобто, двотавр №45 задовольняє усім умовам міцності за нормальними, дотичними і головними напруженнями.

5. Визначити методом початкових параметрів прогини і кути повороту на межах усіх ділянок балки.

Приймаємо початок координат в крайній лівій точці балки і позначимо ділянки (рис. 3.20, г). При такому початку координат рівномірно розподілене навантаження q1 не задовольняє умові безперервності. Тому продовжуємо її до

113

кінця балки і прикладаємо додатне навантаження, що компенсує q1 і починає діяти в точці D (рис. 3.20, г).

Запишемо універсальне рівняння пружної лінії балки для прогинів на усіх ділянках

114

+202434 =1286.64 −5010.18 −1653.75 +9173.33 −3413.33 −450 +67.5 =

=10527.47 −10527.26 = 0.21 ≈ 0

Отримаємо універсальне рівняння пружної лінії для кутів повороту. Для цього продиференцюємо універсальне рівняння пружної лінії для прогинів.

115

+ − = θ = 567.85 = 567.85 103 =

225 13.33 567.85 E 0.0103 рад. EJ 5.5392 107

6. Побудувати пружну лінію балки і перевірити умову

жорсткості.

116

За обчисленими значеннями прогинів і кутів повороту на рис. 3.20, д побудовано пружну лінію балки. Для наочності масштаб прогинів збільшено у порівнянні з масштабом довжин у сто разів. Тому відкласти кути повороту у масштабі неможливо. При побудові пружної лінії балки необхідно враховувати такі закономірності. Опуклість пружної лінії балки завжди направлена у той бік, де розташована епюра згинальних моментів. Нульова точка епюри М є точкою перегину пружної лінії балки. В цій точці кривизна її змінює знак на протилежний.

З рис. 3.20, д видно, що стріла прогину балки f=2.56 см. Допустима стріла прогину, за умовою, складає 1/250 прольоту балки, тобто

Так як f=2.56 см<[f]=3.2 см, то жорсткість балки забезпечена.

7. Виконати контроль обчислень на ПЕОМ згідно з інструкцією до програми ”PROCH” (див. додаток 5). Усі необхідні для вводу в ПЕОМ дані наведені нижче.

Робота 3 з опору матеріалів (задача 2)

117

Максимальні зусилля Mmax, Qmax 257.50 107.50

Результати обчислень на ПЕОМ за програмою ”PROCH”, що виконані згідно з інструкцією (див. додаток 5), наведені на рис. 3.22.

119

3.5. Приклади для самостійного розв’язання

Приклад 3.13. У поперечному перерізі балки (рис. 3.23) діють згинальний момент Mz=-30 кНм і поперечна сила Qy=70 кН. Визначити нормальні і дотичні напруження в точках А і В.

Приклад 3.14. Для балки (рис. 3.24) підібрати двотавровий поперечний переріз при [σ]=140 МПа, [τ]=100 МПа.

Приклад 3.15. Для балки (рис. 3.25) підібрати прямокутний поперечний переріз зі співвідношенням сторін h/b=3, якщо [σ]=140 МПа, [τ]=100 МПа.

Приклад 3.16. Для балки (рис. 3.26) підібрати круглий поперечний переріз, якщо Rзг=14 МПа, Rск=2.2 МПа, n=1.1, m=0.9.

q=6кН/м q=6кН/м q=4кН/м

Приклад 3.17. Визначити прогин і кут повороту кінцевого перерізу В консолі (рис. 3.27).

Приклад 3.18. Визначити прогин перерізу С балки (рис. 3.28). Приклад 3.19. Визначити прогин перерізу С і кут повороту перерізу D

балки (рис. 3.29).