1.7. Формулы Крамера:

Пусть имеем систему линейных уравнений снеизвестными

и пусть.

Система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

, где, ……,

1.8. Теорема о числе решений совместных систем:

Пусть имеем совместную систему линейных уравнений

Так эта система совместна , то Назовем числоkрангом совместной системы.

Теорема 1. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет

единственное решение.

2.Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет

бесчисленное множество решений.

Алгоритм решения совместных систем:

1) Пусть ранг совместной системы равен числу неизвестных и равен числу уравнений В этом случае единственное решение находят по формулам Крамера или матричным способом.

2) Пусть ранг совместной системы равен числу неизвестных, но меньше числа уравнений В этом случае необходимо в системе оставить лишь те уравнения, коэффициенты которых составляют базисный минор матрицысистемы, а затем искать единственное решение либо по формулам Крамера, либо матричным способом.

3) Пусть ранг совместной системы меньше числа неизвестных, , тогда:

- в заданной системе выбираем уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор матрицы, а остальные уравнения отбрасываем;

- неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, так называемые главные неизвестные, оставляем в левой части системы, а остальные неизвестные, называемые свободными, переносим в правую часть;

- по формулам Крамера находим выражение главных неизвестных через свободные, полученные равенства представляют собой общее решение системы;

- придавая в общем решении свободным неизвестным конкретные числовые значения, находим конкретные числовые значения главных неизвестных. Совокупность числовых значений и главных, и свободных неизвестных дает определенное частное решение системы.

1.9.Однородные системы линейных уравнений:

Определение:

Систему линейных уравнений называют однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Теорема:

Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг системы меньше числа неизвестных.

Следствие:

Любая однородная система линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет хотя бы одно нетривиальное решение.

Теорема:

Однородная система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

- однородная система двух уравнений с тремя неизвестными.

Ответ:

Раздел II: элементы векторной алгебры.

2.1 .Основные понятия:

- Если , то;

- Если то- длина вектора и- разложение вектора по ортам координатных осей;

- - направляющие косинусы вектора, где- углы, образованные вектороми координатными осями,.

-

- орт вектора

2.2. Скалярное произведение векторов:

Определение:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства:Приложения:1)1)

2)2);

3)3)

4)4)

5)

3. Векторное произведение векторов:

Определение:

Векторным произведением двух ненулевых векторов, называется третий вектор , который удовлетворяет условиям:

;

2)

3) .

Свойства:Приложения:

1)1)

2)2)

3)3) - момент силы ,

приложненной к точке А,

относительно точки О.

4)

4)- линейная скорость - формула вычисления вращения.

2.4. Смешанное произведение векторов:

Определение:

Смешенным произведением трех ненулевых векторов называется произведение, в котором два первых вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор.

1)

- объем параллелепипеда.

Свойства смешанного произведения:

2)

3)

4) , где,

5) Приложения:

-

- ;

-