- •Чевын м.А.
- •1.7. Формулы Крамера:
- •Раздел II: элементы векторной алгебры.
- •Раздел III: аналитическая геометрия.
- •3.9. Плоскость в пространстве:
- •Раздел VI: уравнения и графики кривых в полярной системе координат.
- •Раздел VII: кривые, заданные параметрически.
- •Раздел VIII: нахождение пределов.
- •8.1. Определение пределов:
- •8.2. Бмф и ббф:
- •8.3. Алгоритм нахождения пределов от алгебраических функций:
- •9.2. Таблица производных:
- •9.3. Логарифмическое дифференцирование:
- •9.4. Дифференцирование функций, заданных неявно:
- •9.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически:
- •9.6. Производные высших порядков:
- •9.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:
- •9.8. Формула Тейлора:
- •9.10. Общая схема исследования функции и построения ее графика:
- •Раздел X: комплексные числа.
- •10.2. Действия над комплексными числами:
- •Раздел XI: неопределенный интеграл.
- •11.1. Определение и свойства:
- •1.2 Таблица дифференциалов и интегралов:
- •11.3 Общие методы интегрирования:
- •Раздел XII: определенный интеграл.
- •12.1. Определение и свойства:
- •12.2. Методы вычисления определенного интеграла:
- •12.3. Несобственные интегралы:
- •12.4 Применения определенного интеграла:
- •Раздел XIII: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •13.1. Основные понятия:
- •13.2. Частные производные:
- •13.3. Дифференцирование сложных функций:
- •13.4. Дифференцирование неявных функций:
- •13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:
- •13.6. Экстремумы функции двух переменных:
- •Раздел XIV: кратные интегралы.
- •14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
- •14.3. Применения двойного интеграла:
- •14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
- •14.5. Применения тройного интеграла:
- •Раздел XV: криволиненйные интегралы.
- •15.4 Криволинейный интеграл по координатам:
- •15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:
- •15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:
- •Раздел XVI: поверхностные интегралы.
- •16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности:
- •16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам :
- •16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:
- •Раздел I: обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.1. Основные понятия:
- •1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
- •1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
- •Раздел II: теория поля.
- •2.2. Векторное поле и его характеристики:
- •Раздел III: ряды.
- •3.3. Знакопеременные ряды:
- •3.4. Степенные ряды:
- •3.5. Ряд Тейлора:
- •3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :
- •Раздел IV: теория функций комплексного переменного.
- •4.1. Основные понятия:
- •4.2. Основные элементарные функции:
- •4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:
- •4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного:
- •4.5. Ряды Тейлора и Лорана:
- •4.7. Вычеты:
- •Раздел V:операционное исчисление.
- •5.2. Свойства преобразований Лапласа:
- •5.3. Свертка функций:
- •5.4. Теоремы разложения:
- •5.5 Таблица оригиналов и изображений:
- •Раздел VI: основы теории вероятностей.
- •6.1. Элементы комбинаторики:
- •6.2. Основные понятия теории вероянтостей:
- •6.4. Случайные величины:
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин:
- •3) Среднее квадратическое отклонение:
14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
П
Определение:Конечный предел интегральной суммы функциив областипри условии, чтоиназывается тройным интегралом от этой функции по области, где- диаметр частичной области.
Т.о. .
Вычисление тройных интегралов:
1.В декартовой системе координат:
2. В цилиндрической системе координат (ц.с.к.):
Вц.с.к.
,
.
;
Полезно использовать, что .
Тройной интеграл целесообразно вычислять в ц.с.к., если:
- область интегрирования ограничена хотя бы одной из поверхностей(прямой круговой цилиндр),(параболоид вращения),(прямой круговой конус) с;
- область проецируется на плоскостьв круг или любую его часть.
3. В сферической системе координат (с.с.к.):
;
;
.
Тройной целесообразно вычислять в с.с.к., если- шар или его часть.
Полезно использовать, что .
14.5. Применения тройного интеграла:
- в декартовой системе координат;
- в цилиндрической системе координат;
- в сферической системе координат;
- масса неоднородного телас плотностью;
;
;
- статические моменты относительно координатных плоскостей.
;;- координаты центра масс;
;
; - моменты инерции тела относительно коорд. осей
;
;
; - моменты инерции тела относительно коорд. плоскостей
- момент инерции относительно.
Раздел XV: криволиненйные интегралы.
Определение криволинейного интеграла по длине дуги и его свойства:
Пустьнепрерывна в каждой точке гладкой дуги.
Определение:
Конечный предел интегральной суммы функции на кривойпри условии, чтоиназывается криволинейным интегралом по длине дуги от функциипо кривой, где
Т.о. .
Основные свойства:
1) ;
2) ;
3) Если в каждой точке дуги , то и;
4) Если в каждой точке дуги , то и;
5) ;
6) , где- длина дуги,- точка дуги.
15.2 Вычисление криволинейных интегралов по длине дуги:
- в случае явного задания кривой интегрирования;
- в случае параметрического задания кривой интегрирования;
- в случае задания кривой интегрирования в п.с.к..
15.3 Применения криволинейного интеграла по длине дуги:
- длина дуги;
- масса неоднородной дуги с плотностью;
;- стат. моменты дуги относительно коорд. осей;
;- координаты центра масс дуги;
- моменты инерции дуги.
15.4 Криволинейный интеграл по координатам:
- составной криволинейный интеграл.
Пусть - непрерывна в каждой точке гладкой направленной дуги.
Определение:
Конечный предел интегральной суммы функции на кривойпри условии, чтоиназывается криволинейным интегралом по координатеот функциипо кривой, где
Т.о. .
Аналогично .
Основные свойства:
1) ;
2) ;
3) Криволинейные интегралы по координатам, взятые по замкнутому контуру не зависят от выбора на контуре начальной точки, но зависят от направления обхода контура.
Если направление обхода не указано, то полагают, что контур обходится в положительном направлении (такое, при котором точки области, ограниченные контуром, остаются слева).