Система 3-х уравнений первой степени с 3-мя неизвестными

Пусть мы имеем систему

Аналогично уравнением с двумя неизвестными. Находим определители

Аналогично этому находим .

После этого находим x, y, z по формулам Крамера. Считая

.

Аналогичные формулы имеют место для систем уравнений с большим числом неизвестных.

Пример

.

Еще пример

Однородная система 3-х уравнений с 3-мя неизвестными

В этом случае .

1) И при этом система имеет единственное решение

2) Если система имеет множество решений. Аналогично решается система 4-х уравнений с 4-мя неизвестными.

Системы линейных уравнений и матрицы

Понятие о матрицах

Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы называют матрицей.

Например, матрица обозначается или двумя вертикальными линиями или скобками. Числа, составляющие таблицу мы будем называть элементами матрицы. В матрице различают строки (количество их обозначают обычно «m») и столбцы их число обозначают буквой «n». Если m ≠ n, то такая матрица называется прямоугольной, а при n = m ее называют квадратной.

Например

Здесь m = n. При изучении матриц для удобства числа заменяют буквенными обозначениями

У этой матрицы «m» строк и «n» Каждый элемент матрицы a_ij. Здесь первый индекс обозначает номер строки (i = 1,2, ….. m), а второй индекс обозначает номер столбца (j = 1, 2, ….n).

Если мы рассмотрим другую матрицу В , то каждый элемент этой матрицы будет b_ij. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах (a_ij = b_ij) и записывают так А = В.

Число строк называют порядком матрицы.

Матрица размером 1 x n называют строкой. Р = ( 1 -4 0 2 -1), а размером m x 1 – столбцом .

Сложение матриц и умножение их на число

Пусть мы имеем две матрицы А и В одного и того же размера. Суммой их будет новая матрица С = А + В, в которой с_ij = a_ij + b_ij . Можно произвести и вычитание матриц С = А – В, тогда с_ij = a_ij – b_ij. При умножении матрицы А на произвольное число α получаем новую матрицу С = α А, где c_ij = αa_ij

. Матрица О, целиком состоящая из нулей называется нулевой, и для нее А + О = А. Отметим свойства матриц. Для матриц А, В, и С одинакового размера А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), α (А + В) = αА + αВ, (α + β) А= (α + β) А = αА + βА

Транспонирование матриц

Операция над матрицей А, при которой ее строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками, называется транспонированием и обозначается .

Например , то

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

Диагональ а₁₁ а₂₂ ….а_nn квадратичной матрицы называется главной диагональю матрицы, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной

Матрица S называется симметрической, если она не меняется при транспонировании, т.е. . У симметрической матрицы элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны.

Матрица К называется кососимметрической, если при транспонировании она меняет свой знак, т.е. . У кососимметрической матрицы на главной диагонали стоят нули, а элементы, симметричные относительно этой диагонали, отличаются только знаком.

Например тогда.

У кососимметрической матрицы

Квадратная матрица, у которой элементы, составляющие главную диагональ, равны единице, а остальные равны нулю называется единичной матрицей