Тема 5 «Элементы дифференциального исчисления функции одной переменной» 66

Определение производной. 66

Производные основных элементарных функций. 71

Производная сложной и обратной функции. 72

Таблица производных. 74

Дифференцирование неявно заданной функции. 75

Дифференцирование функции, заданной параметрически. 76

Логарифмическое дифференцирование. 76

Производные высших порядков. 77

Производные высших порядков неявно заданной функции. 78

Производные высших порядков от функций заданных параметрически. 78

Дифференциал функции. 78

Правила вычисления дифференциала. 79

Приложения производной. 79

Исследование функций при помощи производной. 81

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 83

Вопросы для самоконтроля 89

Литература 91

Введение

Учебная дисциплина «Высшая математика» является фундаментальной дисциплиной, которая обеспечивает базовую подготовку судоводителя. Она предназначается для обеспечения студента знаниями и навыками, необходимыми для изучения общеинженерных и профилирующих дисциплин. Содержание дисциплины в значительной мере определяет уровень общенаучной подготовки судоводителя.

Дисциплина имеет цель:

- выработать у студентов навыки в математическом исследовании различных технологических проблем;

- развить логическое мышление, пространственное воображение;

- овладеть основными методами высшей математики и реализацией их на ЭВМ;

- приобрести умение самостоятельно расширять математические знания и производить математический анализ прикладных задач.

Основные задачи курса:

- повысить уровень фундаментальной подготовки;

- усилить прикладную направленность курса математики к требованиям специальности.

Курс высшей математики является базой для изучения таких общеобразовательных и специальных курсов как:

- физика;

- теоретическая механика;

- сопротивление материалов;

- компьютерная техника;

- математические основы судовождения;

- математическая статистика в судовождении и др.

Тематический план

Тема 1 «Элементы линейной алгебры»

Матрицы. Действия с матрицами. Понятие и методы вычисления определителей. Понятие СЛАУ. Исследование и решение систем уравнений методами Крамера, матричным, Гаусса.

Тема 2 «Элементы векторной алгебры»

Понятие вектора. Геометрические и аналитические действия над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

Тема 3 «Элементы аналитической геометрии»

Системы координат на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи. Различные уравнения прямой на плоскости, в пространстве и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Линейные неравенства. Понятие линейной интерполяции. Кривые и поверхности второго порядка.

Тема 4 «Введение в анализ»

Понятие функции. Основные элементарные функции. Свойства. Преобразования графиков. Предел последовательности, предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функций. Точки разрыва.

Тема 5 «Элементы дифференциального исчисления функции одной переменной»

Понятие производной функции. Производные различных функций. Дифференциал функции, производные высших порядков. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций и построение графиков.

Тема 1 «Элементы линейной алгебры»

Определители

§ 1. Определители 2-го порядка.

Выражение называется определителем второго порядка. Этот определитель имеет две строки и два столбца . Все величины называются элементами определителя. Вычисляется он следующим образом: проводят главную диагональ и боковую. Определитель обычно обозначают .

Например

Приведем 6 свойств определителя 2-го порядка

1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

3) Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

4) Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

5) Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

6) Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

Пусть

. Т.е.