2. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

2.1 Эмпирические формулы.

В практических применениях математики часто встречается такая задача: зависимость между переменными величинами выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты эксперимента, данные наблюдений или измерений, статистической обработки материала и т.п. Требуется выразить эту зависимость между переменными аналитически, т.е. дать формулу, связывающую между собой соответствующие значения переменных. Такая формула облегчает анализ изучаемой зависимости.

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных называются эмпирическими формулами.

Нужно иметь в виду, что подбор эмпирической формулы по данным результатам наблюдений не может ставить перед собой задачу разгадать истинный характер зависимости

между имеющимися переменными, тем более, что экспериментальные данные наверняка содержат случайные ошибки измерения или статистических наблюдений.

Применяются два различных метода построения эмпирических формул:

1. Интерполяция– когда строится многочлен, принимающий в заданных точках заданные значения. Достоинство этого метода в том, что полученная формула в точности воспроизводит заданные значения.

2. Аппроксимация (приближение, сглаживание) – когда по данным результатам наблюдений подбирается наиболее простая формула того или иного типа, дающая наилучшее приближение к имеющимся данным. При этом формула не воспроизводит в точности данные наблюдений.

Для получения аппроксимирующей функции чаще всего используется метод наименьших квадратов.

Пусть в результате эксперимента получено n значений функциипри соответствующих значениях аргумента. Результаты записаны в таблицу.

			…		…
			…		…

Требуется установить функциональную зависимость величины от величины:. Задача разбивается на два этапа.

1. Из теоретических соображений или с помощью графического представления экспериментальных точек устанавливают вид зависимости , т.е. решают, является она линейной, квадратичной, показательнойи т.д.

Если точки расположены как на рис.9, то вид функции линейный , если как на рис.10, то вид зависимости показательныйили.

2. Определяют неизвестные параметры методом наименьших квадратов.

Суть метода: находим отклонения экспериментальных значенийот теоретических, вычисленных по формуле. Составляем функцию– сумма квадратов отклонений. Неизвестные параметры определяем так, чтобы сумма была наименьшей, т.е..

2.2 Определение параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов.

Пусть вид зависимости линейный . Задача – определить параметрыа иb, чтобы функция наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.

Рассмотрим функцию. , где

- разность между экспериментальным значением и значением, определяемым функцией .

Получили функцию двух переменныха иb. Параметрыа иbнужно подобрать так, чтобы сумма имела наименьшее значение (отклонение экспериментальных точек от прямой было минимальным). При любых значенияха иb . Поэтому, если эта функция имеет экстремум, то это будет минимум. Функция будет иметь минимум в точках, в которых частные производные равны нулю:

. ,

.

Преобразуя эти уравнения, получим систему, которая называется нормальной:

.

Это система линейных уравнений с двумя неизвестными а иb, решая её любым способом, найдем коэффициенты эмпирической формулы.

3. Пример выполнения РГР.

Результаты измерений представлены таблицей. Методом наименьших квадратов составить эмпирическую формулу, выражающую зависимость между хиy.

	1	2	3	5
	3,5	3	2,5	0,5

Построить полученную прямую и экспериментальные точки.

Решение.

В прямоугольной системе координат построим данные точки. Заметим, что точки располагаются вблизи некоторой прямой (рис.11), поэтому эмпирическую формулу будем искать в виде . Для отыскания коэффициентова иbсоставим нормальную систему. Расчеты поместим в таблицу.

1	1	3,5	1	3,5	3,7
2	2	3	4	6	2,94
3	3	2,5	9	7,5	2,18
4	5	0,5	25	2,5	0,66
	11	9,5	39	19,5

Нормальная система имеет вид:

.

Решаем систему методом Крамера:

Искомая эмпирическая формула имеет вид: .

Для контроля вычислим по этой формуле значения :

Сравнивая контрольные значения с экспериментальными данными, видим, что отклонение этих величин невелико. По любым двум значениям строим прямую. Она проходит достаточно близко к заданным точкам. Искомая прямая и экспериментальные точки изображены на рис. 12.