1.4 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.3).

График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 4).

Достаточное условие выпуклости (вогнутости).Пусть функцияимеет вторую производную на интервале. Тогда, еслина этом интервале, то функция выпукла, если, то график функции вогнутый на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, называетсяточкой перегиба(рис. 5).

Необходимое условие точки перегиба. Если– точка перегиба функции, то в этой точке вторая производная функции либо равна нулю (), либо не существует.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2 –го рода.

Точки перегиба следует искать среди критических точек 2- го рода.

Первое достаточное условие точки перегиба. Пусть функцияимеет первую производную в точкеи вторую производную в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может самой точки). Тогда если при переходе через точкувторая производная меняет знак, то- точка перегиба.

Второе достаточное условие точки перегиба.Пусть в точкефункцияимеет производные до третьего порядка включительно. Тогда если, а, то– точка перегиба этой функции.

5. Асимптоты.

Прямая линияmназываетсяасимптотойграфика функции, если расстояниеdот точкиM, лежащей на этом графике, до прямойmстремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность (Рис. 6 а), б), в)).

б

в

а

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные (рис.6а), наклонные (рис.6б) и горизонтальные (рис.6в).

Прямая называетсявертикальной асимптотойграфика функции, если хотя бы один из односторонних пределовиравен бесконечности.

Обычно вертикальными асимптотами являются прямые в точках разрыва 2-го рода. Поэтому для отыскания вертикальных асимптот определяют точки бесконечного

разрыва функции. Тогда уравнение вертикальных асимптот . Вертикальные асимптоты могут быть и на границе области определения функции. Например, как у функции.

Прямая называется наклонной асимптотойграфика функции при(при), если(соответственно,).

Уравнение наклонной асимптоты к графику функции ищем виде, где

(*)

и (**)

Если хотя бы один из пределов (*) и (**) не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет. Асимптоты графика функцииприимогут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (*) и (**) следует отдельно рассматривать случай, когдаи когда.

Частным случаем наклонной асимптоты (при ) являетсягоризонтальная асимптота.

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функциипри(при) тогда и только тогда, когда(соответственно,).

6. Общая схема исследования функции и построение графиков функций.

При построении графика данной функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

1. найти область определения функции;

2. исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;

3. найти точки пересечения графика с осями координат (если это возможно);

4. найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых и);

5. найти асимптоты;

6. найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7. найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

8. построить график функции.

Приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1, 3, 4, 6. Иногда бывает необходимым вычислить несколько дополнительных точек.