Вышмат
.pdf71
|
dS |
|
= dydzi + dxdzj + dxdyk |
|
|
|
Знайдемо скалярній добуток |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ta × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ro |
dS = 2dydz + dxdz - dxdy . Отже: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Ц = òò2dydz + dxdz - dxdy = 2 òòdydz + òòdxdz - òòdxdy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SOBC |
SOCA |
SOAB |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Обчислемо значення подвійних інтегралів: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
1 |
|
|
2−2z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
òò |
dydz = òdz |
ò |
|
dy = ò(2 - 2z)dz = 2òdz - 2òzdz =2z |
|
10 - z2 |
|
= 2 -1 =1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
SOBC |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
|
|
|
1 |
|
|
4−4z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
òò |
dxdz = òdz |
ò |
|
dx = ò(4 - |
4z)dz = 4òdz -4ò zdz =4z |
|
10 - 2z2 |
|
|
= 4 - 2 = 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
SOCA |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4−2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
òò |
dxdy = òdy |
ò |
|
dx = ò(4 - |
2y)dy = 4òdy - 2ò ydy =4y |
|
02 - y2 |
|
|
= 8 - 4 = 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
SOAB |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Відшукуване значення циркуляції: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Ц = 2 × 1 + 2 - 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Приклад 5. Довести, що поле a(M ) є потенціальним та знайти |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
його потенціал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a = (yz +1)i + xz |
|
+ xy k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Необхідною і достатньою умовою потенціальности поля a(M ) є |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
rot a(M )= 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
rota |
(M )= |
|
¶ |
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
|
¶ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
¶x |
|
|
|
¶y |
¶z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
yz +1 |
xz |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
¶ |
|
¶ |
ö |
|
|
|
|
|
||||||
= iç |
|
(xy)- |
|
(xz)÷ |
- |
|||
¶x |
¶z |
|||||||
è |
|
ø |
|
|
æ ¶ |
|
¶ |
ö |
|
||
|
|
|
|||||
jç |
|
(xy)- |
|
(yz +1)÷ |
+ |
||
¶x |
¶z |
||||||
è |
|
ø |
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|||
|
|
æ |
¶ |
|
¶ |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xz)- |
= i (x - x)+ j(y - y)- k (z - z)= 0 |
||||||||||
ç |
|
|
÷ |
||||||||||
|
|
||||||||||||
+ k ç |
¶x |
¶y |
(yz +1)÷ |
||||||||||
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
Поле потенціальне. Потенціал поля знайдемо за формулою:
ϕ(x, y, z)= òx P(x, y0 , z0 )dx + òy Q(x, y0 , z0 )dy + òx R(x, y, z)dz
x0 y0 z0
За початкову фіксовану точку візьмемо початок координат O (0, 0, 0). Тоді отримаємо:
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ϕ(x, y, z)= ò(0 +1)dx + òO × dy + òxy dz = x |
|
0x + xyz |
|
0z = x + xyz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким чином ϕ(x, y, z)= x + xyz + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Приклад 6 Знайти похідну функції и = и (x, y, z) за напрямом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
|
|
|
в т. M1 та |
|
|
|
|
|
d и (M 1 ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
M1M 2 |
qra |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) и = x2 + xy + y3 × z, |
|
|
|
M1(1,1,1), |
M2 (3, 2, 3); |
||||||||||||||||||||||||||||||||
б) и = 2x + 3y + ez , |
|
|
|
M1 (1,1, 0), |
M 2 (3, -1,1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Відповідь: а) 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
e - 2 |
, |
2i + 3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ek |
|
||||||||||||||||||
3i |
+ 4 j + k |
|
|
|
|
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 7. Знайти дивергенцію та ротор векторного поля |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a(M ) в точці M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) a = (x3 - y3 )i + 2x2 yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
M 0 (0,1, 0); |
|||||||||||||||||||||||||||
j |
- z3 xk |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) a = xz i |
+ (x + z) j + (y - x)k , |
|
M 0 (1, 0,1). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
; |
б) 1, 2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Відповідь: а) 0,−3k |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Приклад 8 Знайти течію векторного поля |
a(M ) через зовнішню |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхню тіла, |
обмеженого |
поверхнею S |
за |
допомогою формули |
Остроградського-Гаусса
а) a = 3x i - yj + (x - z)k , S : x - 3y + z = 3, x = 0, y = 0 , z = 0
б) a = (x + 2y)i + yj + 2zk , S : x = 0, x = 2, y = 0, y =1, z = -1, z = 2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
73 |
Відповідь: а) |
3 |
; |
б) 24. |
|
|||
2 |
|
|
|
Приклад 9 |
За допомогою формули Стокса обчислити циркуляцію |
||
векторного поля |
a(M ) по замкненому контуру трикутника, який |
утворюється внаслідок перетину площини Р з координатними площинами ( нормаль до трикутника спрямована від початку координат)
а) a = 3z i + (x + y)j + (y − z)k , P : 2x + y + 2z = 4 ; б) a = (y + z)i + xj + (y − z)k , P : x + 2y − 2z = 2 .
Відповідь: а) 16 . б) 32
Приклад 10. Довести, що поле a(M ) є потенціальним та знайти його потенціал.
а) a = 2xyz i + x2 zj + x2 yk
б) a = (2xy + z)i + (x2 − 2y)j + xk
Відповідь: а) x2 yz + c ; б) x2 y − y2 + xz + c .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
74
ЛІТЕРАТУРА
1.Овчинников П.Ф. та ін. Вища математика. Підручник. У 2 ч. Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальнетаінтегральнечислення.–К.:Техніка,2003.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения, кратные интегралы,ряды,функциикомплексногопеременного.–М.:Наука,1981.
3.Індивідуальні завдання з вищої математики для студентів технічних спеціальностейденноїформинавчання.2семестр.2частина.–Запоріжжя:ЗНТУ,2004.
4.ПискуновН.С.Дифференциальноеиинтегральноеисчесление.Т2,М.,«Наука», 1985г.,стр.254-267.
5.Ильин В.А., ПозднякЭ.Г. «Основы математическогоанализа». Т1,М., «Наука», 1982г.,стр.410-428.
6.ПакВ.В.,НосенкоЮ.Л.«Вищаматематика»Д.»Сталкер»,1997,ст.333-343.
7.Збірник задач з вищої математики (За редакцією Ф.С.Гудименка) К.1967р.
стор.196-200.
8.ПискуновН.С.Дифференциальноеи интегральноеисчислениет.2,М.«Наука»
1985г.,стр.267-275.
9.Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа т.1, М. «Наука»
1982г.,стр.429-437.
10.ПакВ.В.,НосенкоЮ.Л.“Вищаматематика”Д.“Сталкер”1997р.,ст...343-345.
11.Збірник задач з вищої математики( За редакцією Ф.С.Гудименка) К.1967рік стор.201-202.
12.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчесление. Т2, М., «Наука»,1985г.,стр.275-304.
13.Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа т.1, М. «Наука»
1982г.,стр.440-449.
14.Пак В.В., Носенко Ю.Л. “Вища математика” Д. “Сталкер” 1997 р., стор.350-
362.
15.Збірник задач з вищої математики (За редакцією Ф.С.Гудименка) К.1967 р.
стор.202-208.
16.ВоробьёвН.Н.Теориярядов.-М.:Наука,1970.-204с.
17.ТолстовГ.П.РядыФурье.-М.:Наука,1980.-381с.
18..Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражненияхизадачах.-М.:Высшаяшкола,1986.-В2-хч.(ч.1-303с.;ч.2-415с.)
19..ПискуновН.С.Дифференциальноеиинтегральноеисчисления(длявтузов).-
М.:Физматгиз,1960.-744с.
20.Кручкович Г. И. Сборник задач по курсу высшей математики.
-М.: Высшая школа, 1973. - 576 с.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com