Вышмат
.pdf21
3.РЯДИ
Запропоновані методичні вказівки призначені для самостійної роботи студентів технічних спеціальностей ЗНТУ, які вивчають тему «Числові та функціональні ряди». Методичні вказівки складаються з трьох частин:
3.1–Числові знакододатні ряди;
3.2–Числові знакопочережні ряди;
3.3–Функціональні ряди.
На початку кожного розділу наведені питання, які націлюють увагу студентів на найбільш важливі означення, теореми та формулювання, які є необхідними для розв`язання задач. Проконтролювати вірність своїх відповідей студенти зможуть за допомогою літератури, перелік якої є в кожному розділі.
В кожному розділі наведені детальні розв`язки типових задач з короткими поясненнями, пропонується достатня кількість задач для самостійної роботи.
3.1 Числові знакододатні ряди
Запитання:
1.Що називається числовим знакододатнім рядом та його загальним членом ? Навести приклади числових знакододатніх рядів.
2.Що називається n-ою частинною сумою ряда?.
3.Дати визначення збіжного та розбіжного рядів.
4.Що називається сумою ряда?
5.В чому полягає необхідна ознака збіжності числового знакододатнього ряда? Навести приклад, який доводить, що необхідна ознака не є достатньою.
6.В чому полягає ознака порівняння? Навести приклад.
7.В чому полягає ознака Даламбера? Навести приклади для випадків
ρ <1, ρ =1, ρ >1. .
8.В чому полягає радикальна ознака Коші? Навести приклади для випадків q<1, q=1, q>1.
9.В чому полягає інтегральна ознака Коші?
Література [4], [5],[6],[7].
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
22
Розв`язання прикладів.
1. Сума ряда.
∞ |
1 |
|
Приклад. Знайти суму ряда å |
|
|
(2n -1)(2n +1) |
|
|
n=1 |
|
|
Розв`язання:
Представимо загальний член ряда у вигляді суми найпростіших дробів:
1 |
= |
A |
|
+ |
B |
(2n -1)(2n + 1) |
2n -1 |
2n +1 |
Приводимо праву частину до загального знаменника та прирівнюємо чисельники отриманих дробів, отримаємо тотожність:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = A(2n +1)+ B(2n -1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Якщо n = |
|
1 |
, |
|
|
|
|
то |
|
|
A = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Якщо n = - |
|
|
|
|
то B = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким чином |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
иn = |
1 |
× |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
- |
1 |
× |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
1 |
æ |
|
|
|
1 |
|
|
|
- |
|
|
|
1 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
2n -1 |
2 |
|
2n |
+1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2n -1 |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
1 |
|
æ |
|
|
|
1 ö |
|
|
и2 = |
1 æ |
1 |
|
|
|
1 ö |
|
|
|
|
и3 |
|
|
1 |
|
æ 1 |
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Тому |
= |
|
|
|
|
ç1 |
- |
|
|
|
÷, |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
- |
|
|
÷, |
|
|
= |
|
|
|
|
ç |
|
|
- |
|
|
÷,L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 è |
|
|
|
5 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Тобто: Sn = u1 |
|
+ u2 + u3 +L + un |
|
= |
|
1 |
|
æ |
|
- |
1 |
ö |
|
1 |
æ |
1 |
- |
1 |
ö |
|
|
1 æ 1 |
- |
1 |
ö |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
ç1 |
3 |
÷ + |
2 |
ç |
3 |
5 |
÷+ |
2 |
ç |
5 |
7 |
÷+L |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
ø |
|
|
è |
|
ø |
|
||||||||||||
+ |
1 |
|
æ |
|
|
1 |
|
|
|
- |
|
|
|
|
1 |
|
|
ö |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
2n -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
2n +1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
æ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
1 |
æ |
|
|
|
1 ö |
||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
ç1 |
- |
|
|
+ |
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
- |
|
|
|
|
+ L + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
÷ = = = |
|
|
ç1 |
- |
|
|
|
÷ |
|||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
3 |
|
5 |
5 |
7 |
|
2n |
-1 |
2n |
|
|
|
|
|
2 |
2n +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знаходимо суму ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
S = lim Sn = |
1 |
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ö |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
ç1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
2 n→∞è |
|
|
|
|
2n +1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
23
Таким чином, заданий ряд є збіжним та його сума дорівнює 12 .
Приклади для самостійної роботи Знайти суму ряда:
1. |
33 |
+ |
|
35 |
|
|
|
+ |
|
37 |
|
+Λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
+ |
|
|
1 |
+L |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1× 2 |
|
|
2 × |
3 |
3× 4 |
4 |
|
×5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
28 |
|
|
211 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
+L |
|
|
7. |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
+ L |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
× 2 |
|
2 × |
|
3 |
3× |
4 |
|
|
|
1× 4 |
|
|
|
|
4 × 7 |
7 ×10 |
10 ×13 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
+L |
|
|
8. |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
+L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
× 4 |
|
|
2 × |
|
5 |
3× 6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
+L |
9. |
5 |
|
+ |
|
|
13 |
|
|
+ |
|
|
35 |
|
|
+Λ + 3 |
n |
+ |
2 |
n |
+ Λ |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
× 2 |
|
× |
3 |
|
|
2 ×3× 4 |
3× 4 |
×5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
36 |
|
|
216 |
|
|
|
6n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
3 |
|
|
+ |
|
4 |
|
|
+Λ + |
|
|
n +1 |
|
|
+ Λ |
||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+L |
|
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
64 |
|
225 |
|
n2 (n +1)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
27 |
|
|
243 |
729 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Відповіді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.S = ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.S = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2.S = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.S = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.S = |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.S = |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. S = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.S = |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.S = |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.S = |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
24
Ознаки збіжності числових знакододатніх рядів
Необхідна ознака.
Приклад.
Користуючись необхідною ознакою збіжності, показати , що ряд
1+ |
1 |
+ |
2 |
+Λ + |
n |
|
+Λ |
є розбіжним. |
||||
2 |
|
n +1 |
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв`язання. |
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
|
Знаходимо |
lim u |
n |
= lim |
|
=1 |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
n→∞ n + 1 |
|
Так як границя загального члена ряду не дорівнює нулю при n → ∞ , то ряд розбігається.
Приклади для самостійної роботи:
Перевірити, чи виконується необхідна ознака збіжності для ряда:
1. |
1 |
+ |
|
3 |
|
+ |
5 |
+ |
|
|
7 |
|
|
+ Λ |
6. |
|
4 |
|
+ |
|
7 |
|
|
+ |
|
10 |
+ |
13 |
|
+Λ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
|
|
|
8 |
|
7 |
|
12 |
|
17 |
22 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
24 |
25 |
|
|
||||||||||||||||||||
2.1 + |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ Λ |
|
7. 2 + |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+Λ |
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
5 |
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
2 |
+ |
|
4 |
|
+ |
|
6 |
+ |
|
|
8 |
+Λ |
8. |
|
1 |
|
+ |
2! |
|
+ |
3! |
|
+ |
4! |
|
+Λ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
||||||||||||||
4. |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+Λ |
9.sin |
2 |
|
+ sin |
4 |
+ sin 8 |
|
+ sin |
|
+Λ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
13 |
17 |
|
21 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
1 |
+ |
|
2 |
|
+ |
|
3 |
|
|
|
+ |
|
4 |
|
+ Λ |
10. |
1 |
+ |
2 |
|
|
+ |
3 |
+ |
|
4 |
+Λ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9 |
19 |
29 |
|
39 |
|
|
|
7 |
9 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Відповіді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.Ні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Ні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.Так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Ні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.Так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Ні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4.Ні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.Так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Ні |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
25
Ознака порівняння.
Приклади.
За допомогою ознаки порівняння дослідити на збіжність ряди:
1. |
|
1 |
+ |
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
+L + |
|
1 |
+L |
|
|
||||
5 |
× 2 |
|
× 22 |
|
× 23 |
|
5 |
× 2n |
|
|
|||||||||||
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Розв¢язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Порівняємо даний ряд з рядом |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
+L + |
1 |
+L |
(*) |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
Ряд (*) збіжний, так як його члени утворюють нескінченно спадаючу геометричну прогресію зі знаменником q = 12 . При цьому n-ий член
даного ряду un = |
|
1 |
менше відповідного члена Vn |
= |
1 |
ряда |
5 |
× 2n |
|
|
2n |
|
(*). Тому даний ряд є збіжним.
∞1
2.ån=1 ln n
Розв¢язання.
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
(*). Оскільки кожен |
||
Порівняємо даний ряд з розбіжним рядом å |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|||
член |
un = |
|
|
ряду, який досліджується, більше відповідного члена |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
ln n |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Vn = |
|
ряду |
|
(*), то даний ряд є розбіжним. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклади для самостійної роботи.
Користуючись ознакою порівняння, дослідити на збіжність наступні ряди:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
∞1
1.ån=1 n ×4n ;
∞1
2.å ;
n=2 ln n
∞1
3.ån=1 7n +1;
∞1
4.ån=1 3n -1;
∞1
5.ån=1 4n + 2
Відповіді
1.Збіжний
2.Розбіжний
3.Збіжний
4.Розбіжний
5.Розбіжний
Ознака Даламбера
26
∞ |
1 |
æ |
2 |
ön |
||
6. å |
|
ç |
|
÷ |
; |
|
n |
5 |
|||||
n=1 |
è |
ø |
|
|||
|
|
|
|
|
7.23 + 53 + 47 + 59 +L
8.2 + 22 + 23 + 24 +L ; 2 3 4
9.12 + 14 + 18 + 161 +L ;
∞1
10.ån=1 (3n -1)2 .
6.Збіжний
7.Розбіжний
8.Розбіжний
9.Збіжний
10.Збіжний
Приклади За допомогою ознаки Даламбера дослідити на збіжність ряди :
1. |
1 |
+ |
2 |
+ |
3 |
+ ... + |
n |
+ ... |
|
3 |
3 2 |
3 3 |
3 n |
||||||
|
|
|
|
|
Розв`язання:
Дано: un = n , тому un+1 = n +1 3n 3n+1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
27
Знайдемо границю відношення (n+1)-го члена ряду до n-го члена при n → ∞ :
|
u |
n +1 |
æ n +1 |
|
n ö |
|
(n +1) ×3n |
|
1 |
|
lim |
|
= lim ç |
: |
|
÷ |
= lim |
n ×3n+1 |
= |
|
|
un |
|
3 |
||||||||
n→∞ |
n→∞è 3n+1 |
|
3n ø |
n→∞ |
|
Так як 13 <1 , то ряд є збіжним
∞n!
2.nå=110n
Розв`язання
= n! = (n +1)! Тут un 10n , un+1 10n+1
Знаходимо
.
|
|
|
|
|
u |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
(n +1)! |
|
|
n! |
ö |
|
(n +1)!×10n |
|
|
|
|
n +1 |
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
= lim ç |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
÷ |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= ¥ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10n+1 |
|
|
|
|
|
10n +1 × n! |
10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
un |
|
n→∞è |
|
|
10n ø |
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так як ρ = ∞ >1, то ряд є розбіжним. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Приклади для самостійної роботи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
|
|
nå1 |
|
3n! ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
å |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ ...; |
|
|
|
4. |
|
nå=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
)2 |
( |
|
|
)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
en |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
2n × n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
1 |
|
+ |
1× 3 |
+ |
1× 3 × 5 |
|
+ ...; |
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 × 5 |
2 × 5 ×8 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 ×1× 2 × 3 × 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
2 |
|
+ |
|
|
22 ×1× 2 |
|
+ |
2 |
3 ×1× 2 × 3 |
|
+ |
+ ...; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 × |
3 |
|
|
|
|
|
2 × 3 × 4 |
|
|
|
|
|
2 × 3 × 4 × 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n × n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8. |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
10. |
10 |
æ10 |
ö2 |
× 2 |
5 |
æ10 |
ö3 |
× 3 |
5 |
+ ... |
||
11 |
+ ç |
11 |
÷ |
|
+ ç |
11 |
÷ |
|
||||
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|
Відповіді |
|
|
1. збіжний |
6. |
збіжний |
2. збіжний |
7. |
розбіжний |
3. збіжний |
8. |
збіжний |
4. збіжний |
9. |
збіжний |
5. збіжний |
10. збіжний |
Радикальна ознака Коші
Користуючись радикальною ознакою Коші дослідити збіжність рядів
∞ |
æ |
n |
ön |
|
1. å |
ç |
|
÷ |
|
4n + 1 |
||||
n=1 |
è |
ø |
|
|
Розв`язання: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Знаходимо : q = lim n |
|
|
= lim |
æ |
|
|
n |
|
|
ön |
= lim |
|
n |
|
|
= |
1 |
<1, тобто |
|||||||||||||||||||||||
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
4n +1 |
|
4n +1 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
è |
ø |
|
|
|
n→∞ |
|
|
||||||||||||||||||||
даний ряд є збіжним. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
æ 3 |
ö4 |
|
|
1 |
|
æ |
4 ö9 |
|
|
|
|
1 |
|
|
æ n +1ön2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
|
× 2 + |
|
|
|
|
×ç |
|
÷ |
+ |
|
|
×ç |
÷ + |
...+ |
|
|
|
×ç |
|
|
|
|
|
÷ |
+... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
22 |
23 |
2n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è 2 |
ø |
|
|
è |
3 ø |
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Розв`язання: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В даному прикладі маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
q = |
lim n |
|
|
1 |
æ n +1ön2 |
= |
|
|
1 |
æ n +1 |
ön |
= |
1 |
|
|
|
æ |
+ |
1 |
ön |
= |
|
e |
> 1 , тобто |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
lim |
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
lim |
ç1 |
|
÷ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
2n è |
ø |
|
|
|
n→∞ 2 |
è |
|
ø |
|
|
|
2 n→∞è |
|
ø |
|
|
|
даний ряд є розбіжним.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
29
|
|
|
Приклади для самостійної роботи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
æ |
|
|
|
n |
|
|
|
ön |
|
|
|
|
∞ |
æ 2n +1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. å |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
6. |
ö 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1è 2n + 1ø |
|
|
|
å |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
è 3n +1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
æ 2n -1ön |
|
|
|
|
∞ |
æ n +1 |
ön |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
å |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
7. |
å |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
è |
|
n +1 ø |
|
|
|
|
n=1 |
è 2n -1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
æ n |
|
|
ön2 |
|
|
|
|
∞ |
æ 3n |
ön |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
å |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
8. |
å |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
è n |
ø |
|
|
|
|
|
n=1 |
è 6n +1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
3 |
+ |
|
27 |
+ |
243 |
+ ... |
|
1 |
|
æ |
2 ö |
3 |
æ 3 |
ö5 |
|
æ |
4 ö |
7 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
+ ç |
|
÷ |
+ ç |
|
÷ |
+ |
ç |
÷ |
+ ... |
||||||||||||||
8 |
|
64 |
712 |
2 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3 ø |
|
è |
ø |
|
è |
7 ø |
|
||||||||||||
5.1 + |
2 |
|
+ |
|
|
4 |
+ |
8 |
+ ... |
10 3 + (2,1)2 |
+ (2,01)3 + (2,001)4 + ... |
||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
33 |
|
44 |
||||||||||||||||||||||||||||
Відповіді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.збіжний |
|
|
|
|
|
|
6. збіжний |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
розбіжний |
|
|
|
7. збіжний |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
збіжний |
|
|
|
|
|
|
8. збіжний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. |
розбіжний |
|
|
|
9. збіжний |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
збіжний |
|
|
|
|
|
|
10. розбіжний |
|
|
|
|
|
|
Інтегральна ознака Коші
Приклади За допомогою інтегральної ознаки Коші дослідити збіжність рядів:
∞n
1.nå=1 n2 + 5
Розв`язання: |
|
|
|
|
||||
Тут un = |
|
n |
. |
Тоді |
φ(x)= |
|
x |
|
n2 |
+ 5 |
x2 |
+ 5 |
|||||
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
30
Знаходимо
∞ |
∞ |
|
x |
|
∞ |
|
xdx |
|
|
lim êé1 ln(x2 |
+ 5)úù |
|
B |
|
|
|
|
|
|
||||||||
òφ(x)dx = ò |
|
dx = lim |
ò |
|
|
= |
|
= |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||
1 |
1 |
x |
+ 5 |
B→∞ |
1 |
x |
+ |
5 |
|
B→∞ë2 |
û |
|
1 |
|
|
|
|
=1 lim [ln(B2 + 5)- ln 6]= ¥
2 B→∞
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||
Так як ò |
|
|
|
|
|
|
є розбіжним, то розбіжним є і ряд |
|
|
nå1 |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
+ 5 |
|
|
n2 |
+ 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 ln2 2 |
|
3ln 2 3 |
4ln 2 4 |
(n +1)ln2 (n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Розв`язання: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В даному ряді |
un= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
φ(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(n +1)ln 2 (n +1) |
|
|
(x +1)ln 2 (x +1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
(x +1)) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Знаходимо òφ(x)dx = ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
ò |
|
d(ln |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
(x + |
1) |
|
2 |
(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 (x +1)× ln |
|
|
|
B→∞ |
1 |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
B |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= - lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= - lim |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= 0 + ln 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B→∞ ln(x + 1) |
1 |
|
|
|
B→∞ ln(B +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Даний ряд збігається, так як збігається ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x +1)× ln |
2 |
(x +1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приклади для самостійної роботи: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
arctgn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
å |
1 + n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4n |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
2. |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|||||||||||||||||||||||
(2n +1)2 -1 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
33 |
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
+ |
1)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
2n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 -1 52 -1 7 |
2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n=2 n × ln× n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 ln 9 |
|
|
|
|
19 |
|
× ln19 |
|
|
|
|
29 ln 29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n3 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
11 |
|
30 |
n3 + |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com