Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

480.33 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

A×sin(kx +α) = A×sinα ×cos kx + A×cosα ×sin kx = a ×cos kx + b ×sin kx ,

які є простими гармонічними коливаннями.
З курсу фізики відомо, що проста гармоніка має вигляд
y = A×sin(ω × x +ϕ) ,	(4.10)

де A - амплітуда коливання, ω − кругова частота (число коливань на відрізку [0;2π ]), ϕ − початкова фаза. Період коливання функції (4.10)

обчислюється за формулою T = 2ωπ .

Вираз (4.10) можна записати у вигляді y = a × cos ωx + b ×sin ωx , де

a = A×sin ϕ , b = A× cosϕ . Звідки
A =		, tg ϕ =		a	.
	a2 + b2			a		(4.11)
	a2 + b2					(4.11)
Приклад 1. Розвинути в ряд Фур’є				b		f (x) = x +	x
				функцію				на
				функцію				на
інтервалі (-π ;π ]. Вважати функцію f (x)				2π - періодичною.
	Розв’язок.		-π < x < 0;
ì0,			-π < x < 0;
Розкриємо модуль, тобто f (x) = í			0 £ x £ π .
		î2x,	0 £ x £ π .

Графік такої функції матиме вигляд

Рисунок 4.1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Функція задовольняє	умовам теореми Діріхлє: в	кожній	точці
(-π ;π ] функція має	похідну і f (−π + 0) = 0 ,	f ′(−π +	0) = 0 ,

f (0 − 0) = 0 , f ′(0 − 0) = 0 ; f (0 + 0) = 0 , f ′(0 + 0) = 2 , f (π − 0) = 2π , f ′(π − 0) = 2 .

Згідно із формулою (4) маємо:

S(±π ) = π . Так як функція f ( x )

2π - періодична, то S(±(2k −1)π ) = π ,

k = 1,2,... .

Знайдемо коефіцієнти a0 ,ak , bk

× (π 2 - 02 )= π ;

a0 =

ò f (x)dx =

× ê

ò 0 × dx + ò2x × dxú

× òxdx =

−π

ë−π

f (x) × cos kx dx =

× ê

×cos kx dx +

2x ×cos kx dxú

x ×cos kx dx =

−π

u = x

du = dx

ë−π

é x ×sin kx

éπ ×sin πk

× ê

× òsin kx dxú

× ê

dv = cos kx dx

v =

×sin kx

0×sin 0

×cos kx

π ù

é0 +

×(cos πk - cos 0)ù =

((-1)k -1)

f (x)×sin kx dx =

× ê

×sin kx dx +

2x ×sin kx dxú

x ×sin kx dx =

−π

ë−π

u = x

du = dx

x ×cos kx

ê-

× òcos kx dxú

dv = sin kx dx

v = -

×cos kx

π ×cos πk

× ê-

+ 0 +

×sin kx

π0 ú

ê-

(-1)

×(-1)

+ .

Таким чином,

+∞ æ

k 1

x +

+ åç

×((-1)

-1)×cos kx +

×(-1)

×sin kx÷ .

πk

k=1 è

f (x) = ex

Приклад 2. Розвинути в ряд Фур’є функцію

на інтервалі

(-π ;π ]. Вважати функцію

f (x) 2π - періодичною.

Розв’язок.

Функція задовольняє умовам теореми Діріхлє:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

S(±π ) =

×(e-π

+ eπ ).

За формулою Ейлера e±ikπ

= cos πk ± i ×sin πk = (-1)k + i ×0 = (-1)k .

Коефіцієнти ck

знайдемо згідно із (8) :

-i×k×x

(1-ik ) x

e(1-ik ) x

e(1-ik )π

- e-(1-ik )π

ck =

× e

dx =

2π

2π (1

- ik)

2π (1 - ik)

-π

=	eπ × e-ikπ	- e-π	× eikπ
=	2π (1 - ik)		=
	2π (1 - ik)

Ряд Фур’є запишемо

(eπ - e-π ) × (-1)k . 2π (1 - ik)

згідно із (7) :

- e

-π

)

+¥

(-1)

ex =

× å

× ei×k×x .

2π

1 - ik

Згідно із (4.9) маємо

k=-¥

ck × e

i×k×x

+ c-k × e

-i×k×x

eπ

- e-π

(-1)k

× e

i×k×x

(-1)-k

× e

-i×k×x ù

2π

× ê

- ik

1 + ik

eπ - e-π

×(-1)k

(1 + ik)eikx + (1- ik)e-ikx

за формулю

Ейлера

2π

1+ k2

eπ

- e-π

(-1)

(1+ ik)(cos kx + i ×sin kx) + (1- ik)(cos kx - i ×sin kx)

2π

1+ k2

eπ

- e-π

(-1)

cos kx - k ×sin kx

; якщо

цьому

виразі покласти

1+ k 2

eπ

-π

k = 0 , то c0 =

- e

2π

Таким чином,

- e

-π

+¥ æ

- e

-π

cos kx - k

×sin kx

ç e

×(-1)

2π

åç

1+ k

÷ .

k=1

Приклад 3. Розвинути в ряд Фур’є функцію

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

-π < x < 0;

ï0,

f (x) =

0 £ x £

;

і представити розвинення у вигляді суми

í1,

ï0,

π £ x £ π ;

f (x) 2π - періодичною.

простих гармонік. Вважати функцію

Розв’язок.

Згідно із формулами (4.2) коефіцієнти:

a0 =

1×dx =

× x

×ç

- 0

;

πk

1×cos kx dx =

× sin kx

×sin

;

πk

1×sin kx dx = -

× cos kx

= -

×çcos

-1÷ .

πk

Згідно із (1) та отриманими виразами a0 ,ak , bk

запишемо

+∞

πk

1 æ

πk

åç

f (x) -

πk

×sin

× cos kx +

πk

× ç- cos

+1÷

×sin kx÷ =

k =1 è

+∞

πk

öö

×çsin

×cos kx + ç

- cos

1÷

×sin kx÷÷

åç

÷÷

k =1

è k

øø

× çcos x + sin x + sin 2x -

cos 3x +

sin 3x +

0 +

cos 5x +

sin 5x + ...÷.

Згідно із (4.11) маємо:

а) для першої гармоніки;

A1 =

, tg ϕ1 = 1 Þ ϕ1 =

;

è π

× (cos x + sin x) =

тоді

×sin ç x

÷ ;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

б) для другої гармоніки;

æ 1

tg ϕ2

= 0 Þϕ2 = 0 ; тоді

×sin 2x - друга

+ ç

è π

гармоніка;

в) для третьої гармоніки;

1 ö2

ö2

, tg ϕ3 = -1 Þ ϕ3 = -

+ ç

;

3π

3π ø

× (- cos 3x + sin 3x) =

тоді

×sin ç3x -

÷ ;

3π

г) четверта гармоніка дорівнює нулю;

д) для п’ятої гармоніки;

æ 1 ö2

1 ö

, tg ϕ5 = 1 Þ ϕ5

+ ç

;

5π

è 5π ø

× (cos 5x + sin 5x) =

тоді

×sin ç5x

÷ .

5π

Таким чином, ряд Фур’є у вигляді суми простих гармонік має

вигляд

-π < x < 0;

ï0,

f (x) = í1,

0 £ x £

;

×sin ç x +

÷ +

×sin 2x +

ï0,

£ x £ π ;

π ö

×sin ç3x -

+ ×sin ç5x

÷ +… .

3π

4 ø

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.2 Ряди Фур’є для функції з періодом 2l

Якщо замість [-π ;π ] розглянути [- l;l], f (x) вважати 2l -

періодичною та виконати умови теореми Діріхлє, то вирази (4.1), (4.2) матимуть наступний вигляд:

+∞

æ πk

πk

öö

f (x) =

ça

×cos

× x÷

+ b

×sin

× x÷÷ ,

(4.12)

åç

è l

k=1

øø

æ πk

f (x) ×cos ç

× x÷dx ,

f (x) ×sin ç

× x÷dx .

è l

−l

(4.13)

Розвинення (12) можна застосовувати і для неперіодичних функцій. Наприклад, f (x) = x не є періодичною. Але якщо розглянути її на відрізку [- l;l], а потім продовжити періодично (рис. 4.2), то отримаємо періодичну функцію. Тому, якщо мова йде про розвинення функції f (x) на відрізку [- l;l] в ряд Фур’є, мають на увазі, що вона періодична.

Рисунок 4.2

Якщо функція f (x) є парною або непарною, то вирази (4.12),

(4.13) матимуть наступний вигляд:

а) f (x) - парна (k = 0,1,2,...);

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

+¥ æ

æ πk

öö

f (x) =

ça

×cosç

× x÷÷ ,

× f (

åç

è l

ò0

k=1

øø

б) f (x) - непарна

(k = 1,2,...) ;

f (x) =

+¥

æ πk

b =

çb

×sinç

× x÷

÷ ,

f (x) ×sin ç

åç

è l

ò0

k=1

	æ πk		ö
x) ×cosç		l	× x÷dx ;
	è	l	ø
			(4.14)
πk	ö		(4.15)
l	× x÷dx .		(4.15)
l	ø

Представлення функції	f (x)	виразами (5), (14) називається
розвиненням функції f (x) в	ряд	«по косинусах», а представлення
функції f (x) виразами (6),	(15)	називається розвиненням функції
f (x) в ряд «по синусах».

Комплексна форма ряду Фур’є.

+¥

πk

×x ,

f (x) = åck

× ei× l

(4.16)

де коефіцієнти ck

k=-¥

обчислюються як

-i×

πk

×x dx ,

ck =

f (x) × e

k = 0,1,2,... .

(4.17)

-l

Приклади 4. Розвинути в ряд Фур’є функцію

ì0,

- 3 < x £ 0;

f (x) = í

0 < x £ 3;

îx,

+¥

Знайти суму

ряду

скориставшись

отриманим

k=1 (2k

розвиненням.

Розв’язок.

Умови теореми Дирихлє (дивись 4.1) для заданої функції виконані. Згідно із (13) маємо коефіцієнти ( l = 3 ):

3 a0 = 13 × −ò3

	1	é	0		3	ù		1		3		1		x	2	3	1	×(32	- 02 )=	9		3

f (x)dx =		× ê	ò	0×dx +	ò	x ×dxú	=		×	ò	xdx =		×			=					=

	3	ê				ú		3				3	2				6			6	2
		ë−3			0	û				0						0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

πk

f (x) cos

x dx =

0 × cos

x dx +

x cos

x dxú

x cos

x dx =

−3

ë−3

u = x

du = dx

3x ×sin

πk

× òsin

dv = cos πk x dx

v =

×sin πk x

πk

x dxú

πk

= 3× sin πk

0 × sin 0

πk

ò0 sin

x dx

=0 +

cos

πk

π 2k2

ê-

×(cos πk - cos 0) =

((-1)k -1);

π 2 k 2

1 3

f (x)sin

πk

x dx =

0 ×sin

πk

x dx +

xsin

πk

x dxú

−3

πk

u = x

du = dx

òxsin

x dx =

dv = sin

πk

x dx

v = -

×cos

πk

3x ×cos

πk

3cos πk

0 ×cos 0

πk

× òcos

x dxú

= -

òcos

x dx =

πk

(-1)k +1 +

sin

(-1)k +1 .

πk

π 2k2

πk

Таким чином, згідно із (4.12)

ì0,

- 3 < x £ 0;

0 < x £ 3;

îx,

3 3

+∞ æ

((-1)k -1)

πk

(-1)

k 1

πk

×cos

x +

×sin

×åç

πk

x÷

k=1 è

+∞ æ

×cos π (2k -1) x

+ 1 ×(-1)k ×sin πk

= .

4 π

åç

(2k -1)

k =1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Якщо x = 0 , то

3 3

+∞ æ

(-1)k

f (0) = 0 =

2 ×cos 0 +

×sin 0

×åç

π (2k -1)

k =1

+∞

× å

(2k -1)

+∞

k =1

Звідки å

= -

(2k -1)

×ç

k=1

Приклад 5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) =

на інтервалі

− 3 < x ≤ 3 .

Розв’язок.

Умови теореми Дирихлє (дивись 1.1) для заданої функції виконані;

l = 3 . Оскільки функція непарна

( f (-x) = - f (x)), то застосуємо для

розвинення (4.15), тобто

æ πk

πk

×sin ç

x÷dx =

x ×sin ç

x÷dx =

è 3

u = x

πk

du = dx

πk

dv = sin

x dx

v = -

×cos

πk

×cos

πk

ê-

πk

× òcos

x dxú

9cos πk

0 ×cos 0

πk

ê-

πk

òcos 3

x dxú

πk

9(-1)k+1

πk

3 ù

(-1)k +1 .

× ê

πk

sin

π 2k2

πk

0 ú

+∞

æ 1

πk

Таким чином,

× åç

(-1)

+ ×sin

x÷ .

è k

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Приклад 6.

Розвинути

ряд

Фур’є

функцію

f (x) = 10 − x на

інтервалі 5 < x ≤ 15 .

Розв’язок.

Скористаємось (4.12), (4.13).

(10 - x)2

(10 - x)dx

= -

(10

- x)d(10 - x) = -

= 0

u = 10 - x

du = dx

πk

× ò

(10 - x) ×cos

x dx =

dv = cos

πk

x dx

×sin

πk

v =

πk

ê(50 - 5x) ×sin

πk

× òsin

x dxú = 0 -

x dx

πk

×cos πk x

×((-1)k

- (-1)k )= 0 ;

×(cos 3πk - cos πk) =

π 2k2

π 2k 2

πk

u = 10 - x

du = dx

ò(10 - x) ×sin

x dx =

dv = sin

πk

x dx

v = -

× cos

πk

(50 - 5x) ×cos πk

πk

ê-

× òcos

x dxú =

cos 3πk

cos

πk +

πk

×sin πk x

× ((-1)k + (-1)k )+ 0 =

×(-1)k .

π 2k2

πk

+∞ æ

×(-

πk

Таким чином, 10 - x =

× åç

×sin

x÷ .

k =1 è k

Приклад 7. Розвинути в ряд Фур’є функцію

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.201665.17 Кб23ВСТУП.docx
#
07.02.201638.35 Кб10Вступ22.docx
#
07.02.2016820.74 Кб31Выбор личного и группового снаряжения.doc
#
07.02.20161.42 Mб47Высокоскоростная обработка.pdf
#
07.02.2016645.63 Кб23Высшая математика, РГЗ №1.doc
#
07.02.2016480.33 Кб14Вышмат.pdf
#
07.02.20162.6 Mб16Гаджиев2.doc
#
23.11.20197.52 Mб5Гафрокартон стул.doc
#
07.02.2016152.95 Кб7ГДiК_КРзаоч2010.pdf
#
07.02.2016723.32 Кб6ГДiК_ЛР.pdf
#
07.02.2016717.64 Кб5ГДiК_ЛР.unlocked.pdf