Вышмат

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dx; (0,001)

1. ò e−x2 dx;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

480.33 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

f (x)= e5x

f (2)= e10

(x)= 5 × e ;

× e ;

f (2)= 5

¢¢

× e ;

(x)= 5

f (2)= 5

¢¢¢

× e ;

(x)= 5

f (2)= 5

………………………………….

………………………………..

f (n) (x)= 5n × e5x ;

f (n)(2)= 5n × e10

Підставляємо знайдені значення в загальний вираз ряду

Тейлора для довільної функції. Отримаємо:

(x - 2)+

(x - 2)2

(x -

2)n

e5x = e10 ç1 +

+ ... +

+ ...÷

Знайдемо інтервал збіжності цього ряду:

un+1

5n+1

x - 2

n+1 × n!

= 5 ×

x - 2

lim

ρ = lim

= lim

= 0 <1

n→∞

n→∞ (n +1)!× 5n ×

x - 2

n→∞ n +1

Це означає, що отриманий степеневий ряд збігається до функції f (x)= e5x при будь-якому значенні х.

	Приклади для самостійної роботи
	Розкласти дані функції в ряд Тейлора за степенями х-х0:
1.	f (x)= ln x ,					x0 =1	2.	1								x0 = -2
								f (x)=			,
3.						x0 = -1	4.	f (x)=	x		,					x0 = 5
3.	1					x0 = -1	4.	1								x0 = 5
	f (x)=				,			f (x)=						,
	f (x)=		x2		,			f (x)=	x - 2					,
5.	f (x)= e−3x ,					x0 = 4	6.	f (x)= cos x ,								x0 =	π
																x0 =	4
7.							8.	f (x)=									4
	f (x)=					x0 =1						,				x0 =1
	f (x)=			x3		x0 =1				x		,				x0 =1
9.	1					x0 = -1	10.						π x			x0 = 2
	f (x)=							f (x)= sin							,
	f (x)=	1 - x						f (x)= sin					4		,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Відповіді:

(x -1)n

(x + 2)n

∞

(-1)n+1

∞

1 ö

;

n=1

n=0

2 ø

∞

(n +1)× (x +1)

∞

(x - 5)n

;

n=0

(- 3)n (x + 4)n

3 n=0

∞

(-1)n æ

π ön

;

ç x -

÷ ;

n=0

(n -1)!è

∞

1× 3×...× (2n - 5)

å(-1)n ×

(x -1)n ;

2 n=1

2n−1 × n!

-1

∞

(-1)n ×

(2n -1)!!

×(x -1)n+1;

+ å

n=1

2n+1 ×(n +1)!

∞

(x +1)n−1

;

10.

n=1

æ π ö2n−2

(x - 2)2n−2

∞

(-1)n+1

ç ÷

(2n - 2)!

;

n=1

è 4 ø

Розвинення функції в ряд Маклорена.

Приклад. Розкласти функцію в ряд Маклорена, використовуючи відомі розвинення в ряд Маклорена елементарної функції:

f (x)= ln(1 - 2x)

Розв′язання. Введемо позначення у=-2х. Тоді для функції f (y)= ln(1 + y) можна використати відомі розвинення:

ln(1 + y)= y -	y2	+	y3	-	y4	+ ... + (-1)n−1	yn	+ ... (−1 < y ≤ 1)
			3!				n!
2!				4!

Повертаючись до змінної х, отримаємо

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ln(1 - 2x)

∞

(- 2x)n

× (-1)n−1

∞

2n × xn

= å

= -å

n=1

Знайдене розвинення

буде

справджуватись

на

інтервалі

−1< 2x ≤1, звідки -

£ x <

Приклади для самостійної роботи.

Розкласти дані функції в ряд Маклорена. Знайти інтервали

збіжності отриманих рядів:

f (x)= sin 3x;

f (x)= e6x ;

f (x)= e−x ;

(x)= cos

x ö

f (x)= ln(1 + 4x)

;

f (x)= lnç1

÷;

3 ø

f (x)=

1 + x2

10.

(x)= (1 + x)2 ;

f (x)=

1 - x2

;

(x)= (1 - x2 )−

Відповіді:

å(-1)n

, (- ¥;¥)

å (6x)

, (- ¥;¥);

∞

n=0

(3x)2n+1

∞

x2n

å(-1)

, (- ¥;¥)

å(-

, (- ¥; ¥)

(2n +1)!

(2n)!

n=0

∞

[- 3; 3)

∞

(4x)n

- å

å(-1)n

−1 ×

, ç

;

n=1

× n

n=1

å(-1)n

(n +1)xn , (-1;1)

åx3n , (-1;1)

∞

n=0

3 × 5 × x

(-1; 1)

1 +

+ ...,

22 ×

24 × 4!

2! 23 ×

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

							44
10.	∞	1× 3 × 5 ×...× (2n -1)				2n
1	+ å				× x		, (-1;1)
1	+ å	2	n	× n!	× x		, (-1;1)
	n=1	2		× n!

Використання степеневих рядів

3.8.1 Наближене обчислення визначених інтегралів.

Приклад. Обчислити ò sin x dx з точністю до 0,01.

0 x

Розв¢язання. Запишемо розвинення підінтегральної функції в ряд Маклорена:

sin x

ç x -

...÷

= 1

+ ...

Тоді:

1 sin x

1 æ

dx = ò

ç1 -

+ 5! -

+ ...÷dx

= =

= ç x

+ ...÷

= 1 -

+ ... »

3 × 3!

7 × 7!

× 3!

5 × 5!

× 7!

5 × 5!

»1 - 31× 3! » 0,94

Ми обмежимось двома першими членами цього знакопочережного ряду, так як третій член 51× 5! < 0,01

Приклади для самостійної роботи.

Обчислити наближно визначені інтеграли з заданою точністю.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	1
2.	ò2 cos					dx; (0,001)
2.	ò2 cos		x			dx; (0,001)
	0
	1
	ò5			dx;			(0,0001)
3.	ò5	1 + x3		dx;			(0,0001)
	0
	1
4.	ò3	dx			;		(0,001)

		1 + x4
	0	1 + x4
	1						(0,001)
5.	òsin x2 dx;						(0,001)
	0

Відповіді

1.0,748

2.0,440

3.0,2002

4.0,333

5.0,310

	0,5			dx				dx;	(0,001)
7.	ò
			1 + x			4
	0
		1
8.	ò2		arctgx				dx;		(0,001)

	0			x
	1		shx		dx;			(0,001)
9.	ò

	0			x

0,2 e− x

10. 0,1ò x3 dx; (0,001)

6.0,098

7.0,494

8.0,487

9.1,057

10.32,831

Наближене обчислення значень функцій.

Приклади Обчислити з точністю 0,0001 наступні значення функцій,

користуючись відповідними рядами

1. ln 1,1

Розв`язання:

Візьмемо ряд для функції ln(1 + x):

ln(1 + x)= x −

− ... + (− 1)n−1

+ ...,

який збігається на інтервалі

(−1;1]. Вважаємо х=0,1, отримаємо ряд

обчислення ln1,1:

ln1,1 = 0,1 −

0,12

0,13

−

0,14

+ ...

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Абсолютне значення четвертого члена цього ряду меньше 0,0001.Тому залишаємо суму перших трьох членів ряду.

ln1,1 » 0,1 - 0,201 + 0,0013 » 0,0953;

2. 417

Розв`язання:

4 17 = 4 16 +1 = 2

Перетворимо :

4 1 +

= 2 × ç1

Та використаємо біномінальний ряд:

(1 + x)m =1 +

m(m -1)

m(m -1)(m - 2)

x3 + ...

x +

m(m -1)(m - 2)×...× (m - n + 1)

xn + ...

В даному прикладі x =

, m =

1× 3

1× 3 × 7

1 ö

2 × ç1 +

= 2ê1 +

- ...ú

4 ×16

4 ×

8 ×16

8 ×12 ×16

16 ø

4 ×

= 2(1 + 0,01562 - 0,00037 + 0,00001- ...)» » 2(1 + 0,01562 - 0,00037)» 2,0305

Обмежимось сумою перших трьох членів ряду, так як четвертий дорівнює 2 × 0,00001» 0,00002 < 0,00001

Приклади для самостійної роботи:

Обчислити значення наступних функцій з заданою точністю.

1. cos 20ο				,	(0,001)	6.	cos1ο				,	(0,001)
2.	ln 1,2		,		(0,001)	7.	4				,	(0,001)
									80
3.	3		,	(0,01)		8.	ln 3				,	(0,0001)
		30
4.	3		,	(0,01)		9.	5				,	(0,001)
		e							250
5.	sin12ο			,	(0,001)	10.		1			,	(0,0001)
								4
										e

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

		47
Відповіді:
1.	0,939	6.	1,000
2.	0,183	7.	2,991
3.	3,12	8.	1,0986
4.	1,39	9.	3,017
5.	0,208	10.	0,7788

Знаходження частиних розв`язків диференціальних рівнянь.

Приклад.

Знайти три перших, відмінних від нуля, члена розвинення в ряд розв`язку диференціального рівняння:

y¢ = x + ecos y

y(0)= 0

Розв`язання:

cos 0

Згідно умови: y (0)= 0 + e

= e

Знаходимо

y′′,

y′′′ та їх значення при х=0

y¢¢ =1 + ecos y

× (- sin y)× y¢

¢¢

y (0)=1 + e

(- sin 0)× e =1

y¢¢¢ = 0 + ecos y × (- sin y)2 × (y¢)2

- cos y × (y¢)2

× ecos y

- ecos y × sin y × y¢¢

¢¢¢

cos 0

y (0)

= e

× (- sin 0)

× e

- cos 0 × e

× e

- e

× sin 0 ×1 = -e

Розвинення в ряд має вигляд:

y(x)= y(0)+

y′(0)

x +

y′′(0)

y′′′(0)

x3...

Для даного ряду:

y(x)= e × x +

Приклади для самостійної роботи.

Знайти розвинення в степеневій ряд (по степенях х) розв`язків таких рівнянь:

1.	y¢ = y2 - x,	y(0)=1,	(до	x5 )
2.	y¢ = y + x × e y ,	y(0)=1,	(до	x4 )

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.(1 + x2 )y¢¢ + xy¢ - y = 0,

4.y¢ = x + x2 + y2 ,

5.y′ = 2x + cos y,

6.y¢ = x2 + y3 ,

7.y′′ = x sin y′,

8.y¢ = x + 1y ,

y(0)=1, y′(0)=1
y(0)=1,
y(0)= 0,
y(1)=1,
¢	π
¢	(1)= 2	,
y(1)= 0, y	(1)= 2	,
y(0)=1,

(до x8 ) (до x3 ) (до x4 ) (до x2 ) (до x5 )

(до x3 )


9.	y¢ = y2 + x3 ,								y(0)=		1		,		(до x3 )
									y(0)=		2		,
10.	y¢ = x2 + y2 ,								y(0)=1,						(до x2 )
1.	Відповіді	1			2				7			11
1.	y(x)=1 + x +		x2	+		x3	+			x4 +				x5	+ ...

		2			3			12			20
		2			3			12			20

2.y(x)= 12 x2 + 16 x3 + 16 x4 + ...

1× 3

1× 3 × 5

y(x)=1

+ x +

x6 -

x8 + ...

2 ×

2 × 4 × 6

× 4 × 6 ×8

4.y(x)=1 + x + 32 x2 + 103! x3 + ...

5.y(x)= x + 22! x2 - 31! x3 - 46! x4 + ...

6.y(x)=1 + 2(x -1)+ 4(x -1)2 + ...

(x -1)

6(x -1)

y(x)=

(x -1)+

(x -1)

+ ...

8.y(x)=1 + x + 13 x3 + ...

9.y(x)= 12 + 14 x + 18 x2 + 101 x3 + ...

10.y(x)=1 + x + x2 + ...

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.РЯДИ ФУР’Є

4.1Ряди Фур’є для функції з періодом 2π

Визначена, неперервна або кусково-неперервна, диференційована або кусково-диференційована функція f (x) може бути представлена

на [-π ;π ] у вигляді ряду Фур’є (тригонометричного ряду Фур’є)

+∞

f (x) =

+ å(ak ×cos kx + bk ×sin kx),

(4.1)

k=1

де ak , bk - коефіцієнти Фур’є, що обчислюються за формулами

f (x) ×cos kxdx ,

b =

f (x) ×sin kxdx .

(4.2)

−π

Теорема про розвинення функції в ряд Фур’є (теорема Діріхлє).

Якщо функція f (x) визначена, неперервна або кусково-неперервна, монотонна, обмежена, диференційована або кусково-диференційована на [-π ;π ], то її ряд Фур’є збіжний в будь-якій точці x0 та має суму

S(x0 ) =	1	×( f (x0 - 0) + f (x0 + 0)).	(4.3)
	2

В точках неперервності функції значення суми ряду Фур’є

співпадає із значенням самої функції, тобто S(x) = f (x) .					На кінцях
інтервалу (в точках ± π ) маємо:
а) або	f (x)	неперервна і f (−π ) = f (π ) , а S(±π ) = f (π ) ;
б) або	f (x)	розривна і	f (−π − 0) = f (π − 0) , f (−π + 0) = f (π + 0) ,
а			1
		S(±π ) =	1	×( f (-π + 0) + f (π - 0)).	(4.4)
		S(±π ) =	2	×( f (-π + 0) + f (π - 0)).	(4.4)
			2

Оскільки функції cos kx, sin kx мають період 2π і визначені на всій

числовій прямій, то і їх сума, що записана у правій частині виразу (4.1), також буде визначена на всій числовій прямій і матиме період 2π . Отже, якщо функція f (x) 2π - періодична, то її розвинення в ряд

Фур’є (4.1) має місце на всій числовій прямій.

Якщо функція f (x) є парною або непарною, то вирази (4.1), (4.2) матимуть наступний вигляд:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

а) f (x) - парна (k = 0,1,2,...);

f (x) = a0 + å+¥ (ak ×cos kx), 2 k=1

б) f (x) - непарна (k = 1,2,...) ;

+¥

f (x) = å(bk ×sin kx),

k=1

Комплексна форма ряду Фур’є.

			2			π
	ak =				×	ò	f (x) × cos kxdx ;	(4.5)
			π			ò

						0
		2		π
b =		π	×	ò		f (x) ×sin kxdx .		(4.6)
b =			×			f (x) ×sin kxdx .		(4.6)
k
				0

				+¥
				f (x) = åck × ei×k×x ,	(4.7)
				k =-¥
де коефіцієнти ck обчислюються як
	1		π
ck =	1	×	ò	f (x) × e-i×k×xdx , k = 0,1,2,... .	(4.8)
ck =	2π	×	ò	f (x) × e-i×k×xdx , k = 0,1,2,... .	(4.8)
			-π

Якщо застосувати до виразу (4.7) наступні формули, то отримаємо ряд Фур’є у вигляді (4.9):

		+¥
f (x) = c0 + å(ck × ei×k×x + c-k × e-i×k×x ) ,								(4.9)
	a0	k=1	ak - i ×bk				ak + i × bk
c0 =		, ck =		,	c-k	=		,

2		ei×k×x + e	2			2
cos kx =			-i×k×x			ei×k×x - e-i×k×x		.
		2	, sin kx =				2 ×i

При вивченні		функцій	виникає		необхідність			представлення

поданої функції за допомогою інших функцій, які називають базовими і властивості яких вважаються відомими. Представити функцію f (x)

можна у вигляді функціонального ряду

f (x) = a1 ×ϕ1 (x) + ...+ an ×ϕn (x) +... , ai - коефіцієнти, ϕi (x) - базові функції.

Якими базовими функціями представити подану функцію?

Залежить це вже від самої функції, а також від задачі, яку треба розв’язати. Так, для степеневих рядів базовими є функції

1, x, x2 ,..., xn ,... . Якщо функція f (x) моделює періодичний процес, то за базові беруть тригонометричні функції вигляду

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.201665.17 Кб23ВСТУП.docx
#
07.02.201638.35 Кб10Вступ22.docx
#
07.02.2016820.74 Кб31Выбор личного и группового снаряжения.doc
#
07.02.20161.42 Mб47Высокоскоростная обработка.pdf
#
07.02.2016645.63 Кб23Высшая математика, РГЗ №1.doc
#
07.02.2016480.33 Кб14Вышмат.pdf
#
07.02.20162.6 Mб16Гаджиев2.doc
#
23.11.20197.52 Mб5Гафрокартон стул.doc
#
07.02.2016152.95 Кб7ГДiК_КРзаоч2010.pdf
#
07.02.2016723.32 Кб6ГДiК_ЛР.pdf
#
07.02.2016717.64 Кб5ГДiК_ЛР.unlocked.pdf