№7 Подмн-ва. Св-ва отношения включения. Критерий рав-ва множеств.

Множество A называется подмножеством мн-ва B, если любой эл-т первого в то же время явл-ся эл-м второго.

Пустое мн-во и B так называемые несобственные (неправильные) подмн-ва мн-ва B.

Теорема о св-вах отношения включения:

1⁰ ØϹB

2⁰ BϹB

3⁰ если AϹB, BϹC, то AϹC (транзит-сть)

4⁰ критерий рав-ва мн-в

Опр. A=B, если они состоят из одних и тех же эл-в A=B iff AϹB и BϹA

Док-во:

1⁰, 2⁰ – ясно. Действительно любой эл-т Ø в то же время явл-ся эл-м мн-ва B. (если бы это было не так, то в Ø нашелся бы эл-т, который не был бы эл-м мн-ва B).

1⁰ Ø явл-ся подмн-вом любого

2⁰ любое мн-во явл-ся подмн-вом самого себя

Дано: AϹB, BϹC

Док-ть: AϹC

2ой способ: надо док-ть, что AϹC, т.е. любой эл-т a Ϲ(из) A в то же время будет эл-м мн-ва C.

Берем aϵA, т.к. AϵB, то a будет эл-м C.

4⁰ Если A=B, то понятно, что AϹB и BϹA. Обратное утверждение. Дано: AϹB и BϹA. Док-ть: A=B

Док-во: от противного: предположим, что A≠B, т.е. хотя бы один эл-т одного из них не явл-ся эл-м другого.

Если в A есть a, который не явл-ся эл-м B, то это противоречит условно AϹB.

Если же в B есть b, которая не явл-ся эл-м A, то это противоречит другому условию: BϹA.

Симметрической разностью (БАО) мн-в А и В наз-ся мн-во АΔВ, состоящее из тех и только тех эл-ов, кот.явл-ся эл-ами или А, или В. (УШИ)

АΔВ

Пример: A={1,2,3,5}, B={2,4,6}, AΔB={1,3,4,5,6}

Теорема о св-вах:ВСЕГДА

1⁰. AΔB=BΔA - коммут

2⁰. (AΔB)ΔС=AΔ(BΔС)-ассоц

3⁰. AΔА=Ø-идемпотентность

4⁰. AΔØ=А(Ø-нейтр эл-т)

5⁰.Если АВ, то AΔB=кольцо (Левое ухо-Ø,правое-кольцо)

Док-во:

2⁰.

Декартовым произведением мн-в А и В наз-ся мн-во А×В, состоящее изо всех упорядоченных пар вида (а,в), где аЄА, вЄВ, и только из них.

Пример. A={1,2,3},B={2,5}.

Тогда А×В={(1,2),(2,2),(3,2),

(1,5),(2,5),(3,5)}

Доказана теорема |A×В|=|A|∙|B| (| |-число эл-ов)

В×А={(2,1),(5,1),

(3,2),(2,2),

(2,3),(5,3)}

Видим, что декартово умножение некоммутативно (1,2) есть в А×В, отсутствует в В×А.

Оно и не ассоциативно. Докажем это. Возьмем А=В=С={0}

Верно ли (A×B)×С=A×(B×С)? Нет. {((0,0);0)}-л.ч.; {(0;(0,0))}-п.ч.

№8 Операции над множествами: объед, пересеч, вычитание, дополнение (уао), симметрическое вычитание, декартово умножение. Свойства.

Объединением (БАО) мн-в А и В наз-ся мн-во АUВ, состоящее из тех и только тех эл-ов, кот.явл-ся эл-тами хотя бы одного из них. (На полях: Union, «или»; или, .. или; портрет)

AUB

Пример: A={1,2,3,5}, B={2,4,6}, AUB={1,2,3,4,5,6}

Теорема о св-вах объединения:ВСЕГДА

1⁰. AUB=BUA – коммут 2⁰. (AUB)UС=AU(BUС)-ассоц

3⁰. AUА=А-идемпотентность 4⁰. AU Ø=А(Ø-нейтр эл-т)

5⁰.Если АВ, то AUB=В(большему)

Док-во: можно все док-ть при помощи диаграмм Эйлера. Будем док-ть по-другому.

1⁰.хЄAUB iff хЄA v(или) хЄB iff (по коммутат.из диз-ции) хЄB или хЄA iff хЄВUА

2⁰.

2ой способ:

хЄл.ч. iff хЄ(AUB) или хЄС iff (хЄA или хЄB) или хЄС iff (по ассоц-ти кон-ции) хЄA или (хЄВ или хЄС) iff хЄA или хЄ(BUC) iff хЄm

3⁰. Очевидно, что AUА=А

4⁰. Еще очевидней (на диаграмме)

5⁰.См.рисунок

Пересечением (БАО) мн-в А и В наз-ся мн-во А∩В, состоящее из тех и только тех эл-ов, кот.явл-ся эл-тами каждого из этих мн-в. (На полях: «и»; и,…и; лицо)

А∩В

Теорема о св-вах пересечения:ВСЕГДА

1⁰. A∩B=B∩A - коммут

2⁰. (A∩B)∩С=A∩(B∩С)-ассоц

3⁰. A∩А=А-идемпотентность

4⁰. A∩Ø= Ø (Ø-погл эл-т)

5⁰.Если АВ, то A∩B=А(меньшему)

6⁰. (AUB)∩С=(A∩C)U(B∩С) – дистрибутивность перес.относит.объед

7⁰. (A∩B)UС=(AUC)∩(BUС) – дистрибутивность объед.относит.перес

8⁰. (AUB)∩А=A–закон поглощения

9⁰. (A∩B)UА=A–закон поглощения

Док-во:

1⁰, 2⁰-см.объединение(вместо ИЛИ нужно И)

3⁰. Из определения

4⁰. Словами

5⁰.

6⁰.

2ой способ:

хЄл.ч. iff хЄ(AUB) и хЄС iff (хЄA или хЄB) и^ хЄС iff (хЄA и хЄC)или(хЄВ и хЄС) iff хЄ(A∩С) или хЄ(B∩C) iff хЄ(А∩С)U(B∩C) iff хЄпр.ч.

7⁰. хЄл.ч. iff хЄ(A∩B) или хЄС iff (хЄA и хЄB) или хЄС iff (хЄA или хЄC)и(хЄВ или хЄС) iff хЄ(AUС) и хЄ(BUC) iff хЄ(АUС)∩(BUC) iff хЄпр.ч.

8⁰,9⁰.

Т.к. А(AUВ) ,то8⁰ (AUB)∩А=A, чтд.

Упростить: ((А∩ВUC∩D)UA)∩A=A

Разностью (БАО) мн-в А и В наз-ся мн-во А-В(минус), состоящее из тех и только тех эл-ов, кот. не явл-ся эл-тами мн-ва В. (На полях: левое ухо)

A-B

Пример: A={1,2,3,5}, B={2,4,6}, A-B={1,3,5}, В-А={4,6}

Т.о. вычитание некоммутативно. Ассоциативно ли оно?

(А-В)-С=^?А-(В-С) – нет!

Она хотя бы идемпотентна? Т.е. всегда ли А-А=А? Можно понять, что А-А= Ø. Т.о. если А≠ Ø, л.ч.≠п.ч.

Теорема о св-вах вычитания:ВСЕГДА

1⁰. А-А= Ø 2⁰. А-Ø=А (Ø-правый нейтр эл-т)

3⁰. Ø-А=Ø(Ø-левый поглощ эл-т) 4⁰. Если АВ, то A-B=Ø, В-А=кольцо

5⁰.А-(ВUC)=A-B-C

6⁰.A-B=A-(A∩B)

Док-ва очевидны: словами не надо, картинками.

Далее НЕ А – это дополнение А!!! значок –черта над буквой

Пусть А – подмн-во так называемого универсального мн-ва U. Дополнением (УАО) А до U наз-ся мн-во НеА=U-А.

U

Примеры. Пусть U=N.Тогда для А={1,3,5,…}-Нечетн., B={2,4,6,…}-четн., C={2,3,5,7,11,13,17,…}-прост(2 делителя), D={10,20,…,90,100,110,…}-кругл

Их дополнениями будут: НеА=В, НеВ=А, НеС={1,4,6,8,9,…}-составные и 1; НеD-некруглые.

Теорема о св-вах: ВСЕГДА уао

1⁰. НенеА=А-инволютивность (двойное дополнение)

2⁰. Не AUB=неА∩неВ (закон де Морг)

3⁰. Не A∩B=неАUнеВ (закон де Морг)

4⁰. Обобщенные законы де Моргана

Док-во:

1⁰. См.определение и рисунок

2⁰.

3⁰.

*

4⁰.