- •№0. Понятие бао, уао, их свойства. Частичное бао и уао
- •№1. Понятие высказывания. Простые и составные выск. Таблица истинности и их применения. Равные выск. Тавтологии.
- •20.Докажем по таблице истинности:
- •№2 Операции над высказываниями. Свойства.
- •Замечания к параграфам шш и стрелка Пирса:
- •№5 Логические задачи и логические парадоксы (антиномии)
- •Парадокс: Протагор и его ученик (антиномия)
- •№6 Понятие множества. Конечные и бесконечные м-ва. Числ мн-ва, в т.Ч. N, n0, z, q, r. Булеан β(м) мн-ва м и его числ-ть. Осн способы задания мн-в. Диаграмма Эйлера. Равные множества.
- •№7 Подмн-ва. Св-ва отношения включения. Критерий рав-ва множеств.
- •№8 Операции над множествами: объед, пересеч, вычитание, дополнение (уао), симметрическое вычитание, декартово умножение. Свойства.
- •№9 Теорема о численностях мн-в. Задачи.
- •№10 Изображ декартова произведения АхВ числовых множеств а и в
№0. Понятие бао, уао, их свойства. Частичное бао и уао
В школе мы умели складывать любые два числа из мн-ва (N0=1,2,3…), рез-т получался единст-м и снова принадлежал этому же мн-ву N0.
На геометрии мы умели складывать любые два вектора, рез-т был единственный и был снова вектором.
Опр. Если на мн-ве M (Menge) задано правило, по которому любым двум эл-м a, b ϵ(из) М (м/б a=b) ставится соответствие единств эл-т a*b з этого же мн-ва, то говорят, что на М задана бинарная алгебраическая операция *. Примеры БАО:
10 слож (умнож) на числовом мн-ве N (N0, Z = {…, -1, 0, 1, …}, Qquota, R)
20 сложение (вычитание) векторов
30 М – мн-во всех точек плоскости.
Будем считать, что любым двум точкам a, b ϵ М сопоставляется середина a*b отрезка ab.
40 кон, диз, пересеч, объед
Опр. Если в предыдущем опред-нии вместо двух эл-в брать один эл-т, то говорят, что на М задана унарная алгебраическая операция. Пример УАО:
10 нахождение противополож-го числа (-a) на мн-ве M = {0, 1, -1}, на Z, Q, R)
20 нахождение обратного числа (a-2), Q+ (положит. рац.), R+
30 дополнение, отриц высказыв
Если в предыдущих определениях все по-старому, но иногда рез-т a*b (*a) не сущ-т, то принято говорить о частичных БАО и УАО.
10 вычитание на N (N0, Z без нуля, R+) – это частичная БАО. 5-6=?
20 нахождение обратн числа a-1 на N (N0, Q, R) – частичная УАО. 8-1=?, 1-1=?
30
Свойства БАО. БАО могут обладать след. св-вами:
1) коммутативность (премест.) Всегда a*b=b*a
2) ассоциативностью (сочет.) Всегда (a*b)*c=a*(b*c) скобки можно перемещ
3) Идемпотентность (тот же, та же) Всегда a*a=a
4) наличие нейтрального эл-та ℮ Всегда a*℮=℮*a=a Если же всегда a*℮=a, то ℮ наз-ся правым нейтральным эл-м. Аналогично опрел-ся левый нейтр. эл-т.
5) наличие поглощающего эл-та (правый-левый) Всегда a*m=m*a=m
6) дистрибутивность (распред-ть) одной БАО * относительно др. □.
Всегда (a□b)*c = (a*c) □ (b*c) Это правая дистриб-ть * относ-но □.
Левая выглядит так: всегда a*(b□c) = (a*b) □ (a*c)
Если есть коммутативность *ки, то говорят просто о дистрибутивности.
Примеры:
10 умножение относ-но сложения на N0
20 деление право-дистрибутивно относ-но сложения на R+.
Здесь всегда a+b:c = (a:c)+(b:c)
30
Свойства УАО: 10 инволютивность Всегда *a*=a. Здесь *a*=(a*)*
Мы знаем, что -(-a)=a. Поэтому нахождение противоположного числа – инволютивная УАО.
№1. Понятие высказывания. Простые и составные выск. Таблица истинности и их применения. Равные выск. Тавтологии.
Повест. предлож, о котором в опред-м контексте и при опред. условиях можно говорить, что оно истинно или ложно, называется высказыванием.
Высказыв. бывают простые и составные. Простые- это такие, котор. не состоят из других высказыв. Составные - можно разбить на другие составляющие высказыв., при чем эти составляющие высказыв. могут быть соединены логическими союзами «и, или, либо, хотя бы одно из, если то»
Например: «Данная фигура-прямоугольник» - простое, а «если а ϵ М , то а ϵ М» (а не принадлежит не М) - составное.
Два высказ назыв-ся равными, если у них одинаков таблицы истинности. Видим, что
AVA=A (30 для V) A^A=A (30 для ^)
AVл=A (л – нейтральный эл-т V, 40) A^и=A (и – нейтральный эл-т ^, 40)
AVи=A (50 для V, и – поглощ. эл-т) A^л=A (50 для ^, л – поглощ. эл-т)
Тавтология - высказыв., которое всегда явл. истинным.
Примерами тавтологий будут AVи, не A^л, AVĀ, A=>A,
AV(B=>B) = AVи (поглощ эл-т,^50)= и
Импликацией (БАО) выск-ний А и В наз-ся выск А=>В(если А, то В) с таблицей истинности:
А |
В |
А=>B |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
Теорема о св-вах импликации: Всегда:
10.А=>B= неАvB 20.A=>B=неВ=>неА 30.В=>A=не А=>неВ (следует из 20)
Импликация некоммутативна, т.к. не всегда A=>B=B=>A(при А=и, В=л, л.ч.=л, п.ч.=и); неассоциативна,т.к. не всегда (A=>B)=>C=A=>(B=>C): (при А=л, В=л, С=л – л.ч.=л, п.ч.=и); неидемпотентна, т.к. мы знаем, что такое тавтология (Exx: A=>A; Av(B=>B))
A v неA=и – закон исключенного тертьего; третьего не дано
A ^ неA=л – закон противоречия
Док-во: 10.Докажем по таблице истинности:
А |
В |
А=>B |
Не А |
НеАvB |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |