Парадокс: Протагор и его ученик (антиномия)

Протагор взялся обучить Эватла выступать на суде. Условились, что тот заплатит за обучение сразу после того, как выиграет свой первый судебный процесс. Обучение завершилось, но Эватл не стал выступать на суде и не платит Протагору.

Протагор пожаловался на Эватла в суд и заявил, что тот обязан заплатить ему за обучение в любом случае. Если ученик проиграет судебный процесс, то д/б заплатить по решению суда, а если выигрывает, то по договору.

Эватл же заявил, что не д/б платить ни в каком случае. Если он выиграет процесс, то он не б/платить по решению суда, а если проиграет, то по договору.

№6 Понятие множества. Конечные и бесконечные м-ва. Числ мн-ва, в т.Ч. N, n0, z, q, r. Булеан β(м) мн-ва м и его числ-ть. Осн способы задания мн-в. Диаграмма Эйлера. Равные множества.

Множество - одно из основных неопределенных понятий современной математики. (~100лет). много

Примеры: мн-во столов, стульев.

Понятие множества можно пояснить на примерах: Конечное множ.-мн-во парт в кабинете; Бесконечное мн-во: мн-во мыслей; Пустое мн-во: мн-во инопланетян на земле.

Мн-во обозначают заглавными буквами латинского алф-та. Объекты, из которых образованно множество называют его элементами и обозначаютт маленьк. буквами латинск.алф. Множество задано, если о любом объекте можно сказать принадлежит он этому множ-ву или не принадлежит.

Способы задания мн-ва:

1)Пересечение элементов А={1,2,3,5,7,9}

2)Характеристическое св-во

А: «быть нечетным однозначным числом»

3) с помощью графа

4) с помощью таблицы

Числовое мн-во – то, которое состоит из одних чисел.

N (natura)– мн-во натур чисел {1,2,3,…}

N₀ – мн-во целых неотриц. чисел {0,1,2,3,…}

P – простые числа, т.е. натур, у которых ровно 2 делителя {2,3,5,7,11,13,…}

К 1980 году оставлена таблица всех простых чисел до 10млн. (г.Лос Аламос). Самое большое из известных простых чисел – 2¹¹²¹³-1 (Иллинойский универ.) К 2002г. самое большое простое число содержало более 4млн. цифр. Читать его надо 15 дней.

Z (zall) – мн-во целых чисел {…,-2,-1,0,1,2,…}

Q (quota – доля, часть) – рацион. числа, т.е. те действ., которые можно представить в виде дроби m/n, nϵZ, nϵN

R (real) – действ. числа

.b

.a aϵA, b неϵ A

A

Пусть M — множество. Множество всех подмножеств множества M называется булеаном M (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается β(М).

Пусть A = { 1,2,3 }. Перечислить эл-ты булеана множества A.

B(A)={ ,{ 1 },{ 2 },{ 3},{ 1,2 },{ 1,3 },{ 2,3},{ 1,2,3 } }.

Равные мн-ва. Если A=B, то понятно, что AϹB и BϹA. Обратное утверждение. Дано: AϹB и BϹA. Док-ть: A=B

Док-во: от противного: предположим, что A≠B, т.е. хотя бы один эл-т одного из них не явл-ся эл-м другого.

Если в A есть a, который не явл-ся эл-м B, то это противоречит условно AϹB.

Если же в B есть b, которая не явл-ся эл-м A, то это противоречит другому условию: BϹA.

А=Ø,|A|=0, β(A)={Ø}, |β(A)|=1 /1>0/

А={1},|A|=1, β(A)={Ø;A}, |β(A)|=2 /2>1/

А={1,2},|A|=2, β(A)={Ø;{1},{2};A}, |β(A)|=4 /4>2/

А={1,2,3},|A|=3, β(A)={Ø;{1},{2},{3};{1,2},{2,3},{3,1};A}, |β(A)|=8 /8>3/

…

Теорема. |β(A)|=2^|А|

Док-во: каждый из n-эл-ов мн-ва А м/б эл-ом подмн-ва,а может и не быть: 2 варианта. Всего 2∙2∙…∙2 2ⁿ=2^|А|

n-раз

Можно док-ть, что всегда |β(A)|>|A| (2ⁿ>n)

А={1,2,3,4},|A|=4, β(A)={Ø;{1},{2},{3},{4};{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4};{2,3,4},{1,3,4},{1,2,4},{1,2,3};A}, |β(A)|=16 /16>4/