Лабораторна робота № 2 Дослідження періодичних сигналів

Мета роботи: вивчення аналітичного, часового і спектрального представлення періодичних сигналів

Короткі теоретичні відомості

Термін «сигнал» походить від латинського «signum» – знак і являє собою фізичний процес, що змінюється в часі за законом переданого повідомлення.

Для теоретичного вивчення й розрахунку сигналів створюється математична модель (ММ) досліджуваного сигналу, що дозволяє порівнювати сигнали між собою, виділяти їхні основні властивості, проводити класифікацію.

Детермінований сигнал – це сигнал, миттєве значення якого в будь-який момент часу можна передбачити з імовірністю рівною одиниці.

Прикладом детермінованого сигналу можуть бути: послідовності імпульсів (форма, амплітуда і положення в часі яких відомі), безперервні сигнали із заданими амплітудно-фазовими співвідношеннями.

Способи завдання ММ сигналу: аналітичний вираз (формула), осцилограма, спектральне представлення.

Випадковий сигнал – сигнал, миттєве значення якого в будь-який момент часу заздалегідь невідомо, а може бути передбачене з деякою ймовірністю, меншою одиниці.

Спектральне розкладання сигналу – це представлення сигналу у вигляді суми гармонійних коливань із різними частотами.

Частотний спектр (спектр) – набір окремих гармонійних компонентів сигналу.

Ряд Фур'є для періодичного сигналу :

З коефіцієнтами:

, ,

У загальному випадку періодичний сигнал містить постійну складову і нескінченний набір гармонійних коливань – гармонік, із частотами _n = n₁, n = 0, 1,.. кратними основній частоті ₁ послідовності. Парний сигнал має тільки косинусоїдальні складові, непарний сигнал – синусоїдальні.

Кожну гармоніку можна описати її амплітудою А_n і початковою фазою _n. Тоді коефіцієнти ряду Фур'є:

і еквівалентна форма ряду Фур'є:

Спектральна діаграма періодичного сигналу – це графічне зображення коефіцієнтів ряду Фур'є для конкретного сигналу.

Спектральні діаграми бувають амплітудні й фазові. По горизонтальній осі діаграм у масштабі відкладаються частоти гармонік, а по вертикальній – їхні амплітуди або початкові фази.

Рис. 2.1 Амплітудна й фазова діаграми періодичного сигналу

Комплексна форма ряду Фур'є:

Завдання для виконання.

І частина

Завдання 1.1 Дослідження послідовності прямокутних імпульсів. Розрахувати по програмі лінійчатий спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів (варіанти завдань табл.2.1).

Вихідні дані

період імпульсу

тривалість імпульсу

амплітуда імпульсу

кількість гармонік

Кутова частота 1-ої гармоніки , циклічна частота 1-ой гармоніки

Діапазон зміни часу - .

Розрахунок спектру сигналу

Аналітичний запис послідовності ідеальних прямокутних імпульсів

Графік сигналу при

Коефіцієнти розкладу періодичної послідовності прямокутних імпульсів в ряд Фур'є:

Постійна складова:

;

;

, тобто

;

;

;

;

Ряд Фур'є має вигляд:

;

График сигналу , побудований при на основі даного ряду Фур'є

Для побудови амплітудного спектру визначаємо амплітуду і частоту k-ої гармоніки (k>0)

Значення амплітуд гармонік зводимо в таблицю при и

З урахуванням постійної складової спектр амплітуд принимає вигляд :

Графік амплитудного спектру

Завдання 1.2. Дослідження послідовності трикутних імпульсів.

Розрахувати по програмі лінійчатий спектр періодичної послідовності трикутних імпульсів (варіанти завдань табл. 1.2).

Вихідні дані :

тривалість імпульсу

період імпульсу

амплітуда сигналу

Аналітичний вираз сигналу:

крок

Графік сигналу при

кількість гармонік

кутова частота

Постійна складова:

Косинусоїдальний коефіцієнт

або

Результат інтегрування:

Синусоїдальний коефіцієнт

або

Результат інтегрування:

Після спрощень отримуємо

Амплітуда k-ї гармоніки

З урахуванням постійної складової

Ряд Фур'є

Амплітудний спектр

Графіки сигналів

ІІ частина

Завдання № 2.1. Провести комп'ютерне моделювання часового опису (осцилограммы) ММ гармонійного сигналу.

1. Зібрати в програмному пакеті Electronics Workbench схему дослідження (див. рис.2.2).

2. Від генератора на резистивне навантаження (R_н=1Ом) подати гармонійний сигнал (синусоїдальний сигнал), послідовність прямокутних імпульсів, послідовність трикутних імпульсів.

Рис. 2.2 Схема дослідження періодичних сигналів	Рис. 2.3 Вікно вибору параметрів досліджуваного сигналу

Тривалість прямокутного імпульсу в генераторі встановити рівною 20% від тривалості періоду (Duty cycle = 20). Параметр зсуву (Offset = N). тривалість трикутного імпульсу в генераторі встановити рівною 50% від тривалості періоду (Duty cycle =50).

3. Часовий опис ММ сигналу (осцилограмму) роздрукувати (замалювати) з осцилографа із зазначенням масштабів по осях. На генераторі частоту досліджуваних сигналів установити F=N кГц, амплітуду сигналу встановити рівною N В. (N – обирається студентом самостійно)

Завдання № 2.2 Провести комп'ютерне моделювання спектрального опису ММ гармонійного сигналу, послідовності прямокутних та трикутних імпульсів.

1. Використовуючи меню Analysis\Fourier (рис.2.4), одержати спектри досліджуваних сигналів (для схеми рис.1). У діалоговому вікні установки параметрів Фур'є-аналізу частоту основної гармоніки (Fundamental frequency) установити рівною N кГц. Число досліджуваних гармонік 10…...20, лінійний (Linear) масштаб по вертикальній осі (область Result, поле Vertical scale).

2. Роздрукувати (замалювати) амплітудні спектри досліджуваних сигналів.

Рис. 2.4 Вікно вибору параметрів для Фур'є-аналізу сигналу

Варіанти завдань

Таблиця 2.1. Дослідження послідовності прямокутних імпульсів

№ варіанта	τс	Тс	Uc	N
1	0,5	1	10	25
2	0,1	0,2	5	20
3	0,15	0,3	6	30
4	0,25	0,5	4	8
5	0,3	0,6	7	10
6	0,45	0,9	12	7
7	0,2	0,4	8	12
8	1	2	11	6
9	1,25	2,5	3	14
10	2	4	6	23
11	0,015	0,03	10	20
12	0,01	0,02	2	15
13	0,8	1,6	1	12
14	1,2	2,4	0,5	10
15	2	4	1,5	23

Таблиця 2.1. Дослідження послідовності трикутних імпульсів

№ варіанта	ti	Т	U	N
1	0,01	0,02	10	25
2	0,015	0,03	5	20
3	0,25	0,5	6	30
4	0,5	1	4	8
5	0,6	1,2	7	10
6	0,7	1,4	12	7
7	0,35	0,7	8	12
8	0,36	0,72	11	6
9	0,28	0,56	3	14
10	0,42	0,84	6	23
11	0,55	1,05	10	20
12	0,9	1,8	2	15
13	1	2	1	12
14	2	4	0,5	10
15	3	6	1,5	23

Контрольні запитання:

1. Що таке сигнал?

2. Які сигнали відносять до детермінованих?

3. Назвіть способи представлення сигналів?

4. Яким чином визначається частота першої гармоніки?

5. Який математичний опис використовується для опису періодичних сигналів?

6. Запишіть вираз для тригонометричного ряду Фур’є.

7. Запишіть вираз для комплексного ряду Фур’є.

8. Що представляє собою амплітудний спектр сигналу?

9. Що представляє собою фазовий спектр сигналу?

10. Запишіть математичну модель гармонічного сигналу.