104 |
Математическая логика |
другом предикате Fj, и формулы выводимы, то выводима формула:
x (F1(x)) F2 (t) |
|
x (F1(x)) & F2 (t) |
|
F1(t) → x (F2 (x)) |
где x { x, x}. |
x (F1(x) F2 (t)), |
|
x (F1(x) & F2 (t)), |
|
x (F1(t) → F2 (x)), |
|
b) если выводимы формулы x(F1(x)) x(F2(x)) иx(F1(x))&x(F2(x)), то при смене в левой формуле имени переменной получим также выводимые формулы:
x (F1(x)) x (F2 (x))y x (F1(y) F2 (x)),
x (F1(x)) & x (F2 (x))y x (F1(y) F2 (x)).
1.2.2.3. Правила унификации предикатов
Если матрица ССФ не содержит сколемовских функций, то для вывода заключения применим принцип резолюции исчисления высказываний. Однако, если аргументы атомов дизъюнктов ССФ содержат сколемовские функции, то для поиска контрарных атомов необходимо выполнять унификацию самих дизъюнктов. Множество подстановок при унификации дизъюнктов нужно выполнять последовательно, просматривая каждый раз только одну предметную переменную.
Например, если даны два дизъюнкта (P1(x)¬P2(x)) и (¬P1(f(x)) P3(y)), то для получения контрарной пары атомов необходима подстановка:
f (x)
∫(P1(x) ¬P2 (x))
x
(P1(f (x)) ¬P2 (f (x))).
В результате соединения дизъюнктов логической связкой « » может быть получена резольвента: (P1(f(x))¬P2(f(x))) (¬P1(f(x)) P3(y)) =
(¬P2(f(x)) P3(y)).
Если пара дизъюнктов имеет вид (P1(f1(x))¬P2(x)) и
1. 2. Логика предикатов |
105 |
(¬P1(f2(x)) P3(y)), то никакая подстановка не позволит вычислить контрарные атомы.
Пример 1.72. Даны P3(a, x, f(q(y))) и ¬P3(z, f(z), f(u)).
Выполнить унификацию контрарных атомов.
a |
f (a) |
∫¬P3(z,f (z),f (u)) |
∫P3 (a,x,f (q(y))) |
q(y)
∫¬P3 (a,f (a),f (u)
z |
|
x |
|
u |
¬P3(a,f (a),f (u), |
|
P3 (a,f (a),f (q(y))), |
|
¬P3 (a,f (a),f (q(y))). |
В результате получены два контрарных атома P3(a, f(a), f(q(y))) и ¬P3(a, f(a), f(q(y))).
Пример 1.73. Даны P3(x, a, f(q(a))) и ¬P3(z, y, f(u)).
Выполнить унификацию контрарных атомов.
b |
|
a |
|
b |
|
q(a) |
||
∫P3 (x,a,f (q(a))) |
|
∫¬P3 (z,y,f (u)) |
|
∫¬P3(z,a,f (u)) |
|
∫¬P3(b,a,f (u)) |
||
x |
|
y |
|
z |
|
u |
||
P3 (b,a,f (q(a))), |
||||||||
|
¬P3 (z,a,f (u)), |
|
¬P3(b,a,f (u), |
|
¬P3 (b,a,f (q(a))). |
|
||
В результате получены две контрарных формулы: P3(b, a, f(q(a))) и ¬P3(b, a, f(q(a))).
Обратите внимание, всюду выполнялась замена только предметной переменной на постоянную или функциональный символ.
1.2.2.4.Метод дедуктивного вывода
Влогике предикатов вывод выполняется также, как в исчислении высказываний. Все правила логики высказываний (ИВ) включены в множество правил логики предикатов (ИП).
106 |
Математическая логика |
Пример 1.74. Доказать истинность заключения
x (P1(x) → ¬P2 (x)), x (P3 (x) → P1(x))x (P3 (x) → ¬P2 (x))
Доказательство:
•F1= x( P1(x)→¬P2(x)) – посылка,
•F2= x(P3 (x)→P1(x)) – посылка,
•F3=(P1(t)→¬P2(t)) - заключение по F1 и правилу П1 и.п.,
•F4= P3(t)→ P1(t) - заключение по F2 и правилу П1 и.п.,
•F5= (P3(t)→(¬P2(t))) - заключение по F3, F4 и правилу П9,
•F6= x(P3(x)→(¬P2(x))) - заключение по F5 и правилу П2,
ч.т.д.
На рис. 1.11. изображен граф вывода x(P3(x)→¬P2(x)).
Пример 1.75. Доказать истинность заключения
x ( y (P1(x, y) & P2 (y)) → y (P3 (y) & P4 (x, y))),¬(P3 (x)
¬x (P3 (x)) → x y (P1(x, y) → ¬P2 (y)).
Доказательство:
•F1= x( y(P1.(x, y)&P2(y))→ y((P3(y)& P4.(x, y))) -
посылка,
•F2=¬ x(P3(x)) - посылка,
1. 2. Логика предикатов |
107 |
•F3= x(¬P3(x)) - заключение no F2 и закону отрицания формулы,
•F4=¬P3(t) - заключение по F3 и правилу П1 и.п.,
•F5=¬P3(t) ¬P4.(x, t) - заключение по F4 и правилу П3
и.в.,
•F6= y(¬P3(y) (¬P4(x, y))) - заключение по F5 и правилу П2 и.п.,
•F7=¬ y(P3(y)&P4(x, y)) - заключение по F6,
•F8= y(P1.(t, y)&P2(y))→ y(P3(y)&P4.(t, y)) - заключение по
F1 и правилу П1 и.п.,
•F9=¬ y(P1.(t, y)&P2(y)) - заключение пo F7 и F8 и правилу m. t.,
•F10= y(¬P1.(t, y) ¬P2(y)) - заключение по F9,
•F11= y(P1.(t, y)→¬(P2(y))) - заключение по F10,
•F12= x y(P1.(x, y)→¬(P2(y)) - заключение по F11 и пра-
вилу П2 и.п.,
•F13=¬ x(P3(x))→ x y(P1.(x, y)→(¬P2(y))) – заключение по F2 и F12.
ч.т.д.
На рис. 1.12. изображен граф вывода
¬ x(P3(x))→ x y(P1.(x, y)→(¬P2(y))).
108 |
Математическая логика |
Пример 1.76. Доказать истинность заключения
x (P1(x) & y (P2 (y) → P4 (x, y))), x (P1(x) → y (P (y) → ¬P4 (x, y)))
3
x (P2 (x) → ¬P3 (x)).
Доказательство:
•F1= x(P1(x)& y(P2(y)→P4(x, y))) – посылка,
•F2= x(P1(x)→ y(P3(y)→¬P4(x, y))) - посылка,
•F3=P1(а)& y(P2(y)→P4.(a, y)) - заключение по F1,
•F4=P1(a) - заключение по F3 и правилу П2 и.в.,
•F5= y(P2(y)→ P4.(a, y)) - заключение пo F3 и правилу П2
и.в.,
•F6=P2(t)→ P4.(a, t) - заключение по F5 и правилу П1 и.п.,
•F7=P1(t)→ y(P3(y)→¬P4(t, y)) - заключение по F2 и пра-
вилу П1 и.п.,
1. 2. Логика предикатов |
109 |
•F8= y(P3(y)→¬P4(a, y)) - заключение по F3 и F7 при t=a и m. p.,
•F9=P3(t)→¬P4.(a, t) - заключение по F8 и правилу П1 и.п.,
•F10=P4.(a, t)→¬P3(t) - заключение по F9 и правилу П6 и.в.,
•F11=P2(t)→¬P3(t) - заключение по F6 и F10 и правилу П9
и.в.,
•F12= x( P2 (x)→¬P3(x)) - заключение по F11 и правилу П2
и.п. ч.т.д.
На рис. 1.13. изображен граф вывода x( P2 (x)→¬P3(x)).
Пример 1.77. «Таможенные чиновники обыскивают каждого, кто въезжает в страну, кроме высокопоставленных лиц. Если некоторые люди способствуют провозу наркотиков, то на внутреннем рынке есть наркотик. Никто из высокопоставленных лиц не способствует провозу наркотиков. Следовательно, некоторые из таможенников способствуют провозу наркотиков?»[15].
110 |
Математическая логика |
Пусть даны предикаты P1(x):=«x - таможенный чиновник», P2(x,y):=«x обыскивает y», P3(y):=«y въезжает в страну», P4(y):=«y – высокопоставленное лицо», P5(y):=«y способствует провозу наркотиков». Тогда формальная запись суждения имеет вид:
y (P3 (y) &¬P4 (y) → x (P1(x)& P2 (x, y)),y (P3 (y)& P5 (y)),
y (P3(y) & P4 (y) →¬P5 (x)
x (P1(x)& P5 (x)).
Доказательство:
•F1= y(P3(y)&P5(y)) - посылка,
•F2=P3(a)&P5(a) - заключение по F1 и правилу П3 и.п.,
•F3= P3(a) - заключение по F2 и правилу П2 и.в.,
•F4= P5(a) - заключение по F2 и правилу П2 и.в,
•F5= y(P3(y)&P4(y)→¬P5(y)) - посылка,
•F6=P3(t)&P4(t)→¬P5(t) - заключение по F5 и правилу П1
и.п.,
•F7=¬P3(t) ¬P4(t) ¬P5(t) - заключение по F6,
•F8=¬P4(a) - заключение по F7 при t=a, когда ¬P3(а)=л и
¬P5(а)=л,
•F9= y(P3(y)&¬P4(y)→ x(P1(x)&P2(x,y))) - посылка,
•F10= y x(P3(y)&¬P4(y)→(P1(x)&P2(x,y))) - заключение по F9 и правилу П5 и.п.,
•F11=P3(a)&¬P4(a)→P1(t)&P2(t,a) - заключение по F10 при y=a и правилу П1 и.п.,
•F12= P3(a)&¬P4(a) - заключение по F3 и F8 и правилу П1
и.в.,
•F13=(P1(t)&P2(t,a)) - заключение по F11 и F12 и правилу m.
p.,
•F14= P1(t) - заключение по F13 и правилу П2 и.в.,