1.2. Задачи и упражнения

1.1. Пусть из двумерной генеральной совокупности (x⁽¹⁾,x⁽²⁾), имеющей нормальное распределение взята выборка объемомnи пусть(x_i⁽¹⁾,x_i⁽²⁾), гдеi = 1, 2, ...,n, результатыi-го наблюдения. Требуется:

а) доказать тождественность выражений:

(1.8)

б) доказать справедливость равенств

если

и

где

a, b, cиd-Const,a0 иc 0.

в) определите при каких соотношениях между x_i⁽¹⁾иx_i⁽²⁾) коэффициент корреляциибудет равен 1, а при каких1.

г) доказать, что 11.

1.2. Пусть из трехмерной совокупности (x⁽¹⁾,x⁽²⁾,x⁽³⁾) имеющей нормальное распределение, взята выборка объемомn, на основании которой получена корреляционная матрица

.

Требуется доказать тождественность выражений для:

а) частного коэффициента корреляции

(1.9)

где R₁₂, R₁₁, R₂₂- алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицыR,

б) множественного коэффициента корреляции

(1.10)

где R- определитель корреляционной матрицыR.

1.3. В табл. 1.2 представлены цены (в руб.) на следующие виды продовольственных товаров: говядина (x⁽¹⁾), растительное масло (x⁽²⁾), сахар-песок (x⁽³⁾) и хлеб белый в/с (x⁽⁴⁾) вn=12 городах Центрального района России на июнь 1996г.

Таблица 1.2.

Цены на продовольственные товары в городах

Центрального района России

i	город	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)
1	Брянск	12500	7726	3410	4875
2	Владимир	13857	7880	3183	7125
3	Иваново	14150	6182	3209	4998
4	Калуга	12697	8237	3400	5170
5	Кострома	13000	8750	3600	5476
6	Москва	14120	11024	4418	6466
7	Орел	10678	8456	3634	4200
8	Рязань	12163	9172	4033	4720
9	Смоленск	12833	8320	3909	4354
10	Тверь	14400	7083	3416	5440
11	Тула	12083	8259	3486	5140
12	Ярославль	14379	7991	3938	5283

Требуется:

а) найти точечную оценку коэффициента корреляцииr₁₄между ценами на говядину (x⁽¹⁾) и хлеб белый в/с (x⁽⁴⁾), при=0,01 проверить его значимость, а при=0,875 найти его интервальную оценку. Сравнить полученные результаты;

б) оценить тесноту связи между x⁽²⁾иx⁽³⁾ , при=0,05 проверить значимость коэффициента корреляции между этими показателями, а при=0,9 найти интервальную оценку дляr₂₃;

в) определить долю (в %) дисперсии x⁽⁴⁾, обусловленную влияниемx⁽²⁾. При=0,1 проверить значимость коэффициента корреляцииr₂₄.

1.4. В табл.1.3 представлены темпы прироста (%) следующих макроэкономических показателей десяти развитых стран мира за 1992г.: ВНП (x⁽¹⁾), промышленного производства (x⁽²⁾), индекса цен (x⁽³⁾) и доли безработных (x⁽⁴⁾).

Таблица 1.3.

Страны	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)
Япония	3,5	4,3	2,1	2,3
США	3,1	4,6	3,9	6,3
Германия	2,2	2,0	3,4	5,1
Франция	2,7	3,1	2,9	9,7
Италия	2,7	3,0	5,6	11,1
Великобритания	1,6	1,4	4,0	9,5
Канада	3,1	3,4	3,0	10,0
Австралия	1,8	2,6	4,0	2,6
Бельгия	2,3	2,6	3,4	8,9
Нидерланды	2,3	2,4	3,5	6,4

Требуется:

а) найти оценку коэффициента корреляции между темпами прироста ВНП (x⁽¹⁾) и промышленного производства (x⁽²⁾), при=-0,05 проверить его значимость, а при=0,923 найти его интервальную оценку;

б) оценить тесноту связи между x⁽¹⁾иx⁽³⁾, при=0,05 проверить значимость коэффициента корреляции между этими показателями, а при=0,857 найти интервальную оценку дляr₁₃;

в) найти точечную и интервальную оценку коэффициента корреляции x⁽²⁾поx⁽³⁾, приняв=0,95;

г) определить долю дисперсии x⁽²⁾, обусловленную влияниемx⁽⁴⁾;

д) при =0,05 проверить значимость, а при=0,888 найти интервальную оценку коэффициента корреляции междуx⁽³⁾иx⁽⁴⁾.

1.5. При исследовании взаимосвязи цен на следующие виды продовольственных товаров: говядина (x⁽¹⁾), растительное масло (x⁽²⁾), сахар-песок (x⁽³⁾) и хлеб белый в/с (x⁽⁴⁾) вn=22 городах Центрального района России получена матрица парных коэффициентов корреляции:

Для трехмерной совокупности x⁽¹⁾,x⁽²⁾иx⁽⁴⁾требуется:

а) построить матрицу парных коэффициентов корреляции;

б) при =0,1 проверить значимость частного коэффициента корреляцииr₁₂₍₄₎и найти его интервальную оценку при=0,954. Сравнить полученные результаты.

Как влияет показатель x⁽⁴⁾на тесноту связи междуx⁽¹⁾иx⁽²⁾?

в) при =0,05 проверить значимость множественного коэффициента корреляцииR_4(1,2).

1.6. По данным задачи 1.5 для трехмерной совокупности x⁽²⁾,x⁽³⁾,x⁽⁴⁾требуется:

а) построить матрицу парных коэффициентов корреляции R;

б) при =0,01 проверить значимость частного коэффициента корреляцииr₂₃₍₄₎и найти его интервальную оценку при=0,9. Сравнить полученные результаты. Как влияет показательx⁽⁴⁾на тесноту связи междуx⁽³⁾иx⁽²⁾?

в) при =0,05 проверить значимость множественного коэффициента корреляции R_2(3,4). Дайте интерпретацию.

1.7. При исследовании взаимосвязи темпов приростов (%) следующих макроэкономических показателей десяти развитых стран мира за 1992г.: ВНП (x⁽¹⁾), промышленного производства (x⁽²⁾), индекса цен (x⁽³⁾) и доли безработных (x⁽⁴⁾) рассчитана матрица парных коэффициентов корреляции (табл.1.4), а также векторы средних арифметическихи среднеквадратических отклонений (S):

;.

Таблица 1.4.

	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)
x(1)	1,00	0,90	-0,39	-0,05
x(2)	0,90	1,00	-0,28	-0,23
x(3)	-0,39	-0,28	1,00	0,41
x(4)	-0,05	-0,23	0,41	1,00

Для трехмерной совокупности x⁽¹⁾,x⁽²⁾иx⁽³⁾требуется:

а) при =0,05 проверить значимость частного коэффициента корреляцииr₁₂₍₃₎и найти его интервальную оценку с надежностью=0,925;

б) при =0,05 проверить значимость множественного коэффициента корреляции R_1(2,3).

1.8. По данным задачи 1.7 для трехмерной совокупности x⁽¹⁾,x⁽²⁾иx⁽⁴⁾требуется:

а) при =0,05 проверить значимость частного коэффициента корреляцииr₁₂₍₄₎, а также найти его интервальную оценку с надежностью 0,836;

б) при =0,05 проверить значимость множественного коэффициента детерминации.

1.9. По данным задачи 1.7 провести корреляционный анализ трехмерной совокупности x⁽¹⁾,x⁽³⁾иx⁽⁴⁾, принявx⁽¹⁾за результативный признак, и дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

1.10. По данным задачи 1.7 провести корреляционный анализ трехмерной генеральной совокупности x⁽²⁾,x⁽³⁾иx⁽⁴⁾, принявx⁽²⁾за результативный признак, и дать экономическую интерпретацию полученным результатам.