Глава 1. Корреляционный анализ

1.1. Корреляционный анализ показателей деятельности песчаных карьеров

Деятельность n=8карьеров характеризуется себестоимостью 1 т. песка (x⁽³⁾), сменной добычей песка (x⁽²⁾) и фондоотдачей (x⁽¹⁾). Значения показателей представлены в табл.1.1.

Таблица 1.1.

Показатели деятельности песчаных карьеров

x(1)(%)	30	20	40	35	45	25	50	30
x(2)(т.)	20	30	50	70	80	20	90	25
x(3)(тыс. руб.)	20	25	20	15	10	30	10	20

Требуется в предположении нормальности распределения трехмерной случайной величины (x⁽¹⁾,x⁽²⁾,x⁽³⁾):

1.  Оценить параметры: векторы средних и среднеквадратических отклонений, корреляционную матрицу

2.  При =0,05 проверить значимость парногоr₁₃и частногоr_{13 (2)}коэффициентов корреляции, а при=0,95 построить их интервальные оценки.

3.  Найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции и при=0,05 проверить его значимость.

Решение:

1.  Найдем значения средних арифметических и среднеквадратических отклонений(s_k), гдеk=1,2,3, а также парных коэффициентов корреляцииипо формулам:

, гдеi=1,2,...,8;k=1,2,3 (1.1)

(1.2)

k,l=1,2,3 (1.3)

где:

в результате расчетов получим:

2.  Предварительно найдем точечные оценки частных коэффициентов корреляции из выражения

(1.4)

где R₁₂— алгебраическое дополнение элементаr₁₂корреляционной матрицыR, а R₁₁и R₂₂алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы

Аналогично находим: и.

Для проверки значимости парного r₁₃и частногоr₁₃₍₂₎коэффициентов корреляции, т.е. гипотез H₀: r₁₃=0 и H₀:r₁₃₍₂₎=0 необходимо по таблице (П.8) Фишера-Иейтса при=2Q=0,05 и числе степеней свободы соответственно=n-2=6 и=n-2-1=5 определить критические значенияи. Так как по абсолютной величине расчетное значение, то гипотеза H₀: r₁₃=0 отвергается с вероятностью ошибки=0,05, т.е. r₁₃0 и междуx⁽¹⁾иx⁽³⁾существует зависимость, отрицательный знак которой экономически объясним. С ростом фондоотдачи себестоимость песка уменьшается.

О частном коэффициенте r₁₃₍₂₎такого однозначного вывода сделать нельзя. Так как, то гипотеза H₀:r₁₃₍₂₎=0 не отвергается, т.е. предположение об отсутствии связи междуx⁽¹⁾иx⁽³⁾при фиксированномx⁽²⁾не противоречит наблюдениям, хотя их достаточно мало (n=8).

Представляет интерес сравнить парный коэффициент корреляции , которыйхарактеризует степень тесноты линейной связи между x⁽¹⁾иx⁽³⁾на фоне влияния x⁽²⁾и частный , который характеризует степень тесноты линейной связи между x⁽¹⁾иx⁽³⁾, при исключенном влиянии, фиксированной x⁽²⁾. Так как , то можно утверждать, что x⁽²⁾ усиливает тесноту связи между x⁽¹⁾иx⁽

Определим интервальные оценки для коэффициентов корреляции r₁₃иr₁₃₍₂₎при=0,95. Для этого используемz—преобразование Фишера и предварительно найдем интервальную оценку дляzиз условия

(1.5)

где l— порядок частного коэффициента корреляции. Для парного коэффициента корреляцииl=0.

По таблице z-преобразования Фишера (П.7) для, учитывая чтоz(‑r)=‑z(r), будем иметьz=‑1,350.

По таблице нормального закона (П.2) из условия , найдемt=1,95.

Тогда

откуда z[‑2,222; 0,478].

По таблице z-преобразования (П.7) дляz_min=‑2,222 иz_max=‑0,478 найдем интервальную оценку для₁₃:

.

Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о значимости парного коэффициента корреляции ₁₃, т.к. нуль не находится внутри доверительного интервала.

Для частного коэффициента корреляции r₁₃₍₂₎по таблицеz-преобразования (П.7) приr₁₃₍₂₎=‑0,462 будем иметь. Тогда

откуда

z[‑1,475; 0,475]

По таблице z-преобразования (П.7) дляz_min=‑1,475 иz_max=0,475 найдем интервальную оценку для r₁₃₍₂₎:

Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о незначимости частного коэффициента корреляции r₁₃₍₂₎(нуль находится внутри доверительного интервала).

3.  Найдем точечную оценку и при=0,05 проверим его значимость. Точечная оценка определяется по формуле

(1.6)

где R— определитель корреляционной матрицы.

R=1+0,871(‑0,879)(‑0,874)+ 0,871(‑0,879)(‑0,874)-(-0,874)²‑0,871²‑(‑0,879)²=0,043

Проверим гипотезу H₀:R_1(2,3)=0

(1.7)

где l=2. Критическое значение по таблицеF-распределения (П.5)

F_kp(=0,05,₁=2,₂=5)=5,79

т.к. F_набл>F_kp, то гипотеза H₀отвергается с вероятностью ошибки=0,05, т.е. множественный коэффициент корреляцииR_1(2,3)0, между результирующим показателемx⁽¹⁾и величинамиx⁽²⁾иx⁽³⁾существует зависимость.