Математика_Семестр1_РГР_Линал_1-3

Параметрические уравнения:

Каноническое уравнение:

x 1 y 1 z 2 .

Уравнение прямой, определяемой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей. Прямая l1 лежит на пересечении плоскости 1 и 2 , содержащей точки A, D, B . Уравнение 2 по-

лучим из условия компланарности векторов AM, AB, AD

Можно сделать проверку. Непосредственная подстановка координат точки A1, 1, 2 в уравнения системы дает два тождества

1 3 1 2 4 0,

5 1 5 1 2 8 0,

и, значит, точка A принадлежит прямой l1 .

неарны и оба могут служить направляющими векторами нашей пря-

мой.

2.3. Найдем площадь ABC . Поскольку

AB,AC 20,20, 4 ,

то

Сначала составим уравнение высоты ABC, опущенной на сторону

AB , и найдем ее длину.

2.4. Пусть CE искомая высота и E x1,y1,z1 . Точка E принадле-

жит прямой l1 , поэтому существует такое t t1 , что (параметриче-

ские уравнения)

x1 1 2t1,

y1 1 t1,z1 2 5t1.

С другой стороны, т.к. CE AB , имеем (CE, AB) 0 или

M

C

A

Рис. 6.10

Параметрическое уравнение медианы (направляющий вектор q4 2СM 6,7,5 , начальная точка C 3,2,3 )

2.6. Рассмотрим биссектрису CK угла ACB , найдем ее длину и составим уравнение биссектрисы.

1-ый способ. Воспользуемся параметрическим уравнением прямой l1 , которому удовлетворяют координаты точки K x2 ,y2 ,z2 при

318 Расчетно-графическая работа

Уравнение биссектрисы (направляющий вектор q5 CK , начальная

2-ой способ. Из элементарной геометрии известно, что точка K (ос-

При этом координаты точки K x2 , y2,z2 вычисляются через коор-

динаты концов отрезка AB по известным формулам деления отрезка в заданном отношении (формулы 3.2). Подставляя в эти формулы соответствующие значения координат, получим

откуда CK 3,04; 3,52; 2,39 . Длина биссектрисы

b CK 3,04 2 3,52 2 2,39 2 5,23, что совпадает с преды-

дущими вычислениями.

3. Рассмотрим теперь пирамиду DABC :

3.1. Составим уравнение высоты, опущенной из вершины D на основание, и найдем ее длину.

1-ый способ. Высоту пирамиды найдем, подставив координаты точ-

ки D 1, 3,4 в нормированное уравнение плоскости 1

2-ой способ. Найдем сначала координаты точки Q x3, y3,z3 – про-

екции вершины D на плоскость основания 1 .. Очевидно, числа x3 ,y3 ,z3 удовлетворяют общему уравнению плоскости 1

5x3 5y3 z3 8 0 ,

но одного этого уравнения недостаточно для определения трех неиз-

вестных чисел. В то же время легко заметить, что вектор

DQ x3 1, y3 3,z3 4 коллинеарен вектору нормали

N 5,5, 1 плоскости 1 , т.е. DQ N , где 0 некоторая постоянная. Последнее равенство равносильно трем соотношениям

x3 1 5 , y3 3 5 , z3 4 .

Воспользовавшись этими соотношениями, получим

51 5 5 3 5 4 8 0,

откуда 16 , и в результате

51

DQ N 16 5,5, 1 .

предыдущие вычисления.

3.2. Найдем теперь объем пирамиды DABC .

1-ый способ.

320 Расчетно-графическая работа

2-ой способ. Вычислим теперь объем пирамиды через смешанное произведение векторов AB, AC,AD

направляющий вектор q6 CD 2, 5,1 , начальная точка

C 3,2,3 ): x 3 y 2 z 3 . Напомним каноническое уравнение

прямой lAB (проходит через точки A и B , направляющий вектор

q1 2, 1,5 ):

x 1 y 1 z 2 .

4.2. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

1-ый способ. Вычислим объем параллелепипеда, построенного на

то объем параллелепипеда Vo | AB CD AC | 64.Площадь осно-

вания параллелепипеда Sосн AB,CD . Вычислим векторное про-

и, следовательно, Sосн AB,CD .

В результате расстояние между скрещивающимися прямыми равно

322 Расчетно-графическая работа

2-ой способ. Через прямую l1 проведем плоскость 0 , которая будет

параллельна прямой l6 . Эта плоскость содержит точку A 1, 1,2 и

имеет направляющие векторы q1 AB 2, 1,5 ,

q6 CD 2, 5,1 . Запишем общее уравнение этой плоскости:

После умножения на нормирующий множитель

получим нормированное уравнение 0

1 3x y z 2 0. 11

Расстояние между скрещивающимися прямыми найдем как расстоя-

что подтверждает полученный выше результат.