Математика_Семестр1_РГР_Линал_1-3

и точка M0 имеет координаты M0 2, 1,0 .

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0 па-

Задача 7. Найти точку пересечения прямой l и плоскости , а так-

же угол между прямой l и плоскостью . Данные по прямой l и

плоскости взять из предыдущих пунктов 3 и 6.

Решение. В задаче 3 этого раздела получено уравнение плоскости

z 3t,

Точке M0 (рис.6.7) пересечения прямой и плоскости соответствует некоторое значение параметра t0 .

l

M0

Рис. 6.7

Для получения t0 подставим выражения (6.4) в уравнение плоскости:

43 3t0 2 22 2t0 1 17 3t0 113 0,

где — угол между направляющим вектором прямой и вектором

z t 2,

M

N

O

M1

Рис. 6.8

Найдем координаты точки O x0 , y0 ,z0 пересечения прямой и плос-

кости, подставив выражение (6.5) в уравнение плоскости:

Ответ: точка M1 имеет координаты M1 3, 1, 1 .

Задача 8б. Найти точку M1 , симметричную точке M 1,0, 2 отно-

Решение. Сначала составим уравнение плоскости , проходящей

через точку M перпендикулярно прямой l (рис. 6.9).

S l

M

O

M1

Рис. 6.9

Вектор нормали N к плоскости совпадает с направляющим век-

тором S прямой l — N S 1,2, 3 . Тогда уравнение плоско-

сти имеет вид: 1 x 1 2 y 0 3 z 2 0 или x 2y 3z 7.

Найдем координаты точки O x0 y0 ,z0 пересечения прямой l и

плоскости так, как мы это делали в задаче 7.

Запишем параметрические уравнения прямой l :

Подставим эти выражения в уравнение плоскости и найдем соответ-

ствующее значение параметра t0 :

Ответ: точка M1 имеет координаты M1 237 , 74, 67 .

6.4.Приложение векторной алгебры

ианалитической геометрии.

Расчет пирамиды

●Условия задач

1. Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A,B,C,D так, чтобы они не лежали ни в одной из координатных плоскостей.

1.1.Проверить, не принадлежат ли эти точки одной плоскости (ес-

ли все они расположены в одной плоскости, то следует изме-

нить координаты одной из точек).

1.2.Проверить, не является ли треугольник ABC равнобедрен-

ным (в случае утвердительного ответа измените координаты

одной из точек).

2.Рассмотреть пирамиду DABC с вершинами в точках A,B,C,D

и, выбрав в качестве основания пирамиды ABC , определить

или составить:

2.1.Возможные уравнения плоскости, содержащей точки A,B,C .

2.2.Возможные уравнения прямой l1 , проходящей через точки A

и B.

2.3.Площадь ABC .

2.4.В ABC найти высоту СE , опущенную из вершины С на сторону AB, координаты основания высоты (точки E ) и со-

ставить уравнение прямой lCE , содержащей эту высоту.

2.5.В ABC найти длину медианы СМ и составить уравнение прямой lCМ , содержащей медиану СМ .

2.6.В ABC найти биссектрису СК угла ACB и составить уравнение прямой lCК , содержащей биссектрису. Задачу ре-

шить двумя способами.

3.Расчеты в пирамиде DABC .

3.1.Составить уравнение прямой lDH , содержащей высоту пира-

миды DH и найти ее длину. Задачу решить двумя способами.

3.2.Найти объем пирамиды DABC (двумя способами).

3.3.Найти угол между гранями ABC и ADB.

3.4.Найти угол между ребром DA и основанием пирамиды.

4.Составить уравнения скрещивающихся прямых lCD и lAB .

4.1.Найти угол между прямыми lCD и lAB .

4.2.Найти расстояние между скрещивающимися прямыми (двумя способами).

● Комментарий к решению задач

Задача 1. Выберем четыре точки, так, чтобы они не лежали ни в одной из координатных плоскостей A1, 1, 2 , B 1, 2,3 , C 3,2,3 ,

D 1, 3,4 .

1.1. Проверим, не лежат ли точки A,B,C,D в одной плоскости. Для этого следует рассмотреть три вектора AB, AC, AD и если век-

торы компланарны, то точки будут принадлежать одной плоскости.

Так как AB 2, 1,5 , AC 2,3,5 , AD 0, 2,6 и

то точки A,B,C,D в одной плоскости не лежат.

1.2. Проверим, не является ли ABC равнобедренным. Для этого

найдем длины сторон треугольника:

Среди сторон нет равных, и поэтому ABC не является равнобед-

ренным.

2. Рассмотрим ABC.

2.1. Составим различные уравнения плоскости 1 , содержащей точ-

ки A,B,C .

Общее уравнение плоскости, найдем как уравнение плоско-

сти, проходящей через три точки (условие компланарности векторов

или x 1 20 y 1 20 z 2 4 0, или

5x 5y z 8 0.

Параметрическое уравнение плоскости 1 . Начальной точ-

кой плоскости выберем точку A , а в качестве направляющих векто-

ров плоскости возьмем векторы AB,AC . Параметрическое уравне-

ние плоскости 1 имеет вид

Нормированное уравнение плоскости 1 получим умножени-

ем общего уравнения плоскости на нормирующий множитель

Оно имеет следующий вид:

1 5x 5y z 8 0 51

Уравнение плоскости в отрезках получим из общего уравне-

ния:

2.2. Выпишем различные виды уравнения прямой l1 , проходящей через точки A и B . Примем за начальную точку прямой точку A, а

вектор q1 AB 2, 1,5 возьмем в качестве направляющего век-

тора возьмем.