Математика РАСЧЕТНОГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
.pdf283
РАСЧЕТНО-
ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
6.1 Элементы линейной алгебры: матрицы,
определители, системы линейных уравнений
Условия задач
1.Составить две матрицы A и B третьего порядка, продолжить заданное матричное равенство и проверить его справедливость
(варианты заданий см. в приложении 1).
2.Вычислить определитель четвертого порядка, разложив его по элементам первой строки и по элементам любого столбца. Убе-
диться в правильности вычислений, сопоставив результаты (см.
решение примеров 1.9, 1.11. Варианты заданий – приложение 2).
3.Решить по правилу Крамера неоднородную систему трех линей-
ных уравнений с тремя неизвестными (см. решение примера
1.13. Варианты заданий – приложение 3).
4.Решить систему линейных уравнений (из пункта 3) методом об-
ратной матрицы. Сравнить полученные результаты с результа-
тами пункта 3 (см. решение примера 1.15).
284 |
Расчетно-графическая работа |
5. |
Составить и решить матричное уравнение A X B C, где A |
|
и B невырожденные матрицы второго порядка. Полученное ре- |
|
шение проверить подстановкой (см. решение примера 1.16). |
6.Решить систему линейных уравнений (из пункта 3) методом Гаусса (см. решение примера 1.17).
7.Найти общее решение каждой из двух систем линейных уравне-
ний (см. решение примера 1.22. Варианты заданий – приложе-
ние 4).
8.Решить матричное уравнение A X B (для нечетных вариан-
тов), X A B (для четных вариантов) или доказать, что реше-
ния не существует. (Матрицы A, B и варианты заданий приве-
дены в приложении 5). Разбор решения задачи приводится ниже.
Комментарий к решению задач
Задача 8. Решить матричное уравнение A X B.
Решение. Метод обратной матрицы при решении матричных урав-
нений вида A X B невозможно использовать, если матрица A –
вырожденная (т.е. A 1 не существует). Однако это не означает, что
решить такое уравнение вообще невозможно. Воспользуемся мето-
дом Гаусса, имеющим более широкую область применения.
Пусть, например, уравнение имеет вид A X B, где
1 1 |
1 |
0 10 |
x |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
A 2 |
3 |
3 , |
B 8 |
0 , |
X x21 |
x22 . |
|||||
|
3 |
4 |
4 |
|
|
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x31 |
x32 |
Расчетно-графическая работа |
285 |
Определитель матрицы A
1 1 1
det A 2 3 |
3 0, |
3 4 4
следовательно, обратная матрица A 1 не существует.
Для решения уравнения
1 1 |
1 |
x |
x |
|
0 10 |
||||||
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 x21 |
x22 8 |
0 . |
|||||||
|
3 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
8 |
2 |
|
|
|
x31 |
x32 |
|
|
сначала перемножим матрицы, стоящие в левой части.
|
x |
x |
21 |
x |
31 |
|
x x |
22 |
x |
32 |
|
|
0 10 |
|||||
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2x11 3x21 3x31 |
2x12 3x22 3x32 8 |
0 . |
||||||||||||||||
|
3x |
4x |
21 |
4x |
31 |
3x 4x |
22 |
4x |
32 |
|
|
8 |
2 |
|
||||
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство двух матриц эквивалентно системе шести линейных урав-
нений с шестью неизвестными:
|
x11 x21 x31 |
|
|
|
|
0, |
|||
2x |
3x |
21 |
3x |
31 |
|
|
|
8, |
|
|
11 |
4x |
4x |
|
|
|
|
||
3x |
21 |
31 |
|
|
|
8, |
|||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x12 x22 |
x32 |
|
10, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2x12 3x22 3x32 |
0, |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3x 4x |
22 |
4x |
32 |
2, |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
которую решим методом Гаусса. Проведем элементарные преобра-
зования расширенной матрицы системы:
A A| B
286 |
|
|
|
|
|
|
Расчетно-графическая работа |
|
|
|||||||||||
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 1 1 0 0 0 |
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
0 1 1 0 0 0 |
|
|
8 |
||||||||||||||
|
3 |
4 |
4 |
0 |
0 |
0 |
|
8 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
~ |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
. |
0 |
|
10 |
0 |
|
|
1 |
||||||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
2 |
3 |
3 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
3 |
4 |
4 |
|
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Система решений не имеет, так как в последней строке расширенной
матрицы все элементы в части A равны 0, а элемент b6 1 0.
Замечание. Используемая при решении расширенная матрица системы имеет особый вид, позволяющий «разбить» ее на две вспомогательные матрицы и выполнить преобразования этих матриц по отдельности, а именно:
1 1 1 |
|
0 0 |
0 |
|
0 |
|
|
1 1 1 |
|
0 |
1 1 1 |
||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
0 |
0 |
0 |
|
8 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
~ ... 0 |
||||||||||||
|
3 |
4 |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 4 |
|
8 |
0 0 0 |
||||||||||||
0 0 0 |
|
1 1 |
1 |
|
10 |
1 1 |
1 |
|
10 |
1 1 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
2 |
3 3 |
|
0 |
|
2 |
3 |
3 |
|
|
0 ~ ... 0 |
1 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
3 |
4 4 |
|
2 |
|
|
|
3 4 |
4 |
|
|
2 |
0 0 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем соответствующую систему уравнений:
x11 x21 x31 0,
x21 x31 8,
x12 x22 x32 1,
x22 x32 2,
0 1.
8
2
Система несовместна.
Ответ: Данное матричное уравнение решений не имеет.
Расчетно-графическая работа |
287 |
6.2Векторная алгебра
Условия задач
1. Пользуясь определением, показать, что векторы m,n, p линей-
но независимы, и найти координаты вектора a в базисе
m,n, p.
2.Проверить коллинеарны ли векторы a и b .
3.В треугольнике ABC проведены медиана и биссектриса из вер-
шины A. Найти их длины и угол между медианой и биссектри-
сой.
4.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b .
5.Проверить, компланарны ли векторы a, b, c .
6.Для треугольной пирамиды ABCD найти объем и длину высо-
ты, опущенной из вершины D на грань ABC.
Условия вариантов приведены в приложении 6.
Комментарий к решению задач
Задача 1. |
Показать, что векторы |
m |
1,2,4 , |
n |
1,0,1 , |
||||||||
p |
0,1,2 |
линейно |
независимы, и |
найти координаты вектора |
|||||||||
a |
1,2,8 в базисе |
m |
, |
n |
, |
p |
. |
|
|
|
|
Решение. Векторы m,n, p линейно независимы, если из равенства
1 |
m |
2 |
n |
3 |
p |
|
o |
(6.1) |
288 |
Расчетно-графическая работа |
следует, что 1 2 3 0. Подставляя в формулу (6.1) коорди-
наты векторов m, n, p получим:
1 1,2,4 2 1,0,1 3 0,1,2 0,0,0
или 1 2 , 2 1 3, 4 1 2 2 3 0,0,0 . Последнее равенст-
во равносильно однородной системе линейных уравнений:
|
|
1 2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 1 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
2 |
2 |
3 |
0, |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
определитель которой отличен от нуля: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
1 0. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, система имеет единственное нулевое решение |
||||||||||||||
1 2 |
3 |
0. Поэтому, векторы |
m |
, |
n |
, |
p |
линейно независимы и |
образуют базис трехмерного линейного пространства.
Найдем координаты вектора a 1,2,8 в базисе m, n, p:
a 1m 2n 3 p,
или 1,2,8 1 1,2,4 2 1,0,1 3 0,1,2 ,
1,2,8 1 2, 2 1 3, 4 1 2 2 3 ,
1 2 1,
2 1 3 2,4 1 2 2 3 8.
Последнюю систему решим по правилу Крамера: 1 0 ,
|
|
|
|
|
|
|
Расчетно-графическая работа |
|
|
|
|
289 |
|||||||||||
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 0 |
|
|
|
|
|
1 1 |
1 |
|
8, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
2 |
0 |
1 |
|
5, 2 |
2 |
2 |
1 |
4, 3 |
2 |
0 |
2 |
|
||||||||||
|
8 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
8 |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
8 |
|
|
||
и тогда |
|
|
1 |
5, |
|
|
|
2 |
|
4, |
|
|
|
3 |
|
8. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
В результате a 5m 4n 8p . Вектор a в разложении по базису
m |
, |
n |
, |
p |
имеет координаты |
a |
5,4, 8 . |
||||||
Задача |
2. Проверить коллинеарны ли векторы |
a |
3 |
m |
|
n |
и |
b m 2n , если m 1;0,5;3 , n 2;1;6 .
Решение. Найдем координаты векторов a и b :
a31;0,5;3 2;1;6 3;1,5;9 2;1;6 1;0,5;3 ,
b1;0,5;3 2 2;1;6 5;2,5;15 .
Если векторы a и b коллинеарны, то должно выполняться равенство a b , и поэтому координаты векторов должны быть
пропорциональны. Проверим пропорциональность координат:
1 |
|
1 |
|
3 |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
. Все координаты пропорциональны, поэтому век- |
|
5 |
52 |
15 |
|||||
|
|
|
торы коллинеарны. Заметим, что 0,2 0, следовательно, векто-
ры сонаправлены, и длина вектора a в пять раз меньше длины век-
тора b .
290 Расчетно-графическая работа
Задача 3. В треугольнике ABC проведены медиана и биссектриса
из вершины A. Найти их длины и угол между медианой и биссек-
трисой, если A 1, 2,1 , B 4,2,1 , C 4, 2,1 .
Решение. Основание биссектрисы AK – точка K делит сторону
BC на отрезки BK и CK , длины которых пропорциональны дли-
нам прилегающих к ним сторон треугольника – AB и AC ,
В
М
К
А
С
Рис. 6.1
т.е. BK AB . Найдем длины сторон и отношение .
KC AC
|
3,4,0 ; |
|
|
|
|
AB |
AB |
32 42 02 5, |
AC 3,0,0 ; AC 32 02 02 3.
|
Расчетно-графическая работа |
291 |
||||
Отношение 5 |
3. Координаты точки K , |
которая делит отрезок |
||||
BC в отношении |
5 : 3 или |
BK |
|
5 |
, можно вычислить по форму- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KC |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
xB xC |
|
|
|
|
|
|
x |
K |
|
4 3 |
4, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
xK |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
yB yC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
yK |
|
|
|
|
|
, |
или |
yK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(6.2) |
||||||
|
|
1 |
|
|
1 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
zB zC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
zK |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
zK |
|
|
3 |
|
|
1. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, точка K имеет координаты |
|
K 4; 0,5;1 . |
Теперь |
|||||||||||||||||||||||||||
найдем вектор |
|
и длину биссектрисы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
AK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3;1,5;0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
32 1,52 |
02 |
|
1,5 |
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
AK |
|
|
AK |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основание медианы AM – точка M делит сторону BC на две рав-
ные части, поэтому BM 1. Координаты точки M находим из
MC
соотношений (6.2) как координаты середины отрезка:
|
|
|
|
xB |
xC |
|
|
|
|
|
|
4 4 |
|||||||
xM |
|
|
|
|
|
|
, |
|
xM |
|
|
|
|
|
4, |
||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
B |
y |
C |
|
|
|
|
|
2 2 |
|||||||
yM |
|
|
|
|
, |
т.е. |
yM |
|
|
|
|
|
0, |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
M |
|
zB zC |
, |
|
z |
M |
|
|
1 1 |
1. |
||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
292 |
|
|
|
|
|
|
Расчетно-графическая работа |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Таким |
образом, точка |
M |
имеет координаты |
M 4,0,1 , |
вектор |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3,2,0 , длина медианы равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
22 |
02 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
AM |
|
AM |
|
13 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол между медианой |
AM |
и биссектрисой |
AK найдем как угол |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
между векторами |
|
|
|
|
и |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
AM |
AK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
3 3 1,5 |
2 0 0 |
|
|
8 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
cos |
AM |
AK |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
AM |
|
AK |
1,5 |
|
5 |
13 |
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
8 |
|
|
|
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторах |
a |
и b , если |
a |
|
p |
3 |
q |
, |
b 2 |
p |
|
q |
, |
p |
1, |
q |
2, |
p,q 5 6.
Решение. Площадь параллелограмма найдем как модуль векторного произведения векторов a и b : S [a,b] . Вычислим векторное
произведение:
[a,b] p 3q , 2p q 2 p, p 6 q, p p,q 3 q,q
o 6 q, p p,q o 6 q, p q, p 7 q, p .
Впреобразованиях использовались следующие свойства векторного произведения:
векторное произведение a,a o для любого вектора a , по-
скольку вектор a коллинеарен самому себе;