Математика_Семестр2_РГР_Матан_2

(

+ cosj

)

a > 0; 0 £ j £ 2p .

Пример 1.18. Найти длину кардиоиды r = a 1

;

a

отсюда

V0 y

= 2p òb xy(x)dx .

(1.12)

a

Пример 1.19. Найти объем тела,

образованного вращением вокруг оси OX плоской фигуры, ограни-

(

)

3 и x = 0 .

ченной линиями

y2 = 1- x

Решение. Так как фигура симметрична относительно оси OX , то,

беря y =

1- x 3 и воспользовав-

1

p

1

p

(

)

шись формулой (1.11), получим:

V = p

ò(

- x

)

3

dx = -

(

)

4

=

3

.

4

0

4

1

1

- xед

0

Пример 1.20. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY

фигуры, ограниченной

линиями xy = 6, x =1, x = 4, y = 0

Решение. Здесь y = f (x) =

6

и по формуле (1.12) имеем

x

4

6

4

(

3

)

0 y

ò

x

1

V

= 2p

1

x

dx = 2p × 6x

ед= 36p

.

1.6.4. Вычисление площади поверхности вращения

Если дуга между точками A(a,c) и B(b,d )

гладкой кривой

y = f (x)

вращается вокруг оси

OX , то площадь поверхности вращения находится по одной из формул

S0x = 2p òb

y (x) 1+ y¢ x 2 dx,

a

,

(1.13)

S0x = 2p òd

y 1+ x¢ y 2 dy

c

Здесь функции y (x) и x( y) имеют непрерывные производные на [a;b] и [b;d ]

соответственно.

Если же кривая задана параметрическими уравнениями x = x

(

)

y = y

(

)

(

[

])

t

,

t

t Î a;b

, то

b

S0x = 2p ò y (t)

x¢ t

2 + y¢ t

2 dt .

(1.14)

(

)

(

)

a

[

]

Здесь функции

x

t

и

y

t

имеют непрерывные производные на a;b

.

Пример 1.21.

Найти

площадь поверхности,

образованной

вращением

вокруг

оси

OX

кривой

S = 2p

2

2ch

x

1+ sh2

x

dx = 4p

2 ch

2

x

dx = 4p

2

1+ chx

dx =

ò

0x

2

2

ò

2

ò

2

0

0

0

= 2p (1+ shx)

2

= 2p (2 + sh2) = 2p

æ

e2

- e-2

ö

æ

2

1 ö

(

2

) .

ç

2

+

÷

= p ç

4

+ eед-

÷

0

2

e

2

è

ø

è

ø

-a

a x

D

-a

с формулой (1.14); x¢ = -3a cos2 t sint ;

y¢ = 3asin2 t cost ;

t

t

y (t)×

xt¢ 2 +

yt¢ 2

= asin3 t 9a2

cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 t

= = 3a2 sin4 t cost . Изменению параметра t

от t = 0 до t = p

2

соответствует движение точки по астроиде от A до B . Дуга AB при вращении во-

круг оси OX образует половину всей площади, поэтому:

S

p / 2

2

4

2 p / 2

4

2 sin5 t

p / 2

2

12

2

(

2

)

= 2p

ò

= 6p a

ò

td sin t =

6p a

= 6p a

2

0

3a

sin

t costdt

0

sin

5

0

, S =

5

p aед

.

1,7. Физические приложения определенного интеграла

Если требуется найти определенную

аддитивную физическую величину F

на отрезке [a;b] , то

из условия задачи находят элемент

dF = f (x)dx

величины

F , соответствующей элементарному

промежутку

[x; x + dx] .

После

этого,

интегрируя

dF

по

отрезку

[a;b] ,

находят

величину

F = òb

f (x)dx .

a

Пример 1.23. Какую работу необходимо затратить, чтобы сжать пружину на 10 см, если сила в 10H

сжимает ее на 1 см?

Решение. Согласно закону Гука сила F , сжимающая пружину на

x , равна F = kx , где k

– коэффи-

циент пропорциональности. Полагая

xм= 0,01

и

F =10H , получим

kН=1000м

/

Þ F =1000x Þ

0.1

0.1

искомая работа

A =

ò

2

= 5

.

0

1000xdx = 500xдин

0

Пример 1.24. Вычислить работу, совершаемую при выкачивании

жидкости с плотностью

r кг / м3

из емкости,

имеющей форму

цилиндра,

длина

которого

lм ,

радиус

Rм ; ось

цилиндра

горизонтальна.

Решение.

Объем элементарного слоя жидкости толщиной

dx ,

находящегося на глубине

x ,

и имеющего длину l , равен (рис.

1.6)

dV = 2l

R2 -

x - R 2

× dx .

Элементарная работа, cовершаемая при поднятии этого слоя на

высоту x , равна: dA = 2r glx

R2 -

x - R 2 × dx .

Рис. 1.6.

é

ù

ê

ú

êx - R = Rsin t

ú

p

2R

ê

ú

2

(

)

Тогда

A = 2r gl

ò

x

R2 -

x - R 2 dx =

= êdx = R costdt

ú

= 2r gl

ò

R3

.

cos2 t + cos2 t ×sinДжt dt = pr glR3

0

ê

x

0

2R

ú

-

p

ê

ú

2

ê

-

p

p

ú

êt

2

2

ú

ë

û

4

é

3

3

ù

4

2

2

3

2

V = 3p

ë(x + dx)

- x

û =

3p (3x

dx

+ 3x(dx)

+ (dx)

)» 4p x

dx = dV .

Допуская, что во всех точках малого объема dV

плотность области неизменна и равна kx ( k – коэф-

фициент пропорциональности), найдем приближенную величину его массы

dm = kxdV = 4kp x3dx .

Искомую массу M шара радиуса r

находим, интегрируя dm в пределах от x = 0 до x = r :

r

r

M = 4kp ò x3dx = kp x4 0 = kp r4 .

0

Пример 1.26. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластину, имеющую ос-

нование b

и высоту l , погруженную в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды (рис.

1.7).

В

0

y

x + x

x

M

N

A

C

D

AC = b,

BD = l

эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал

площади

dS = MN × dx . Из подобия тре-

угольников BMN

и ABC имеем

MN

=

x

. Отсюда

MN =

bx

и dS =

bx

dx . Сила давления воды на эту полоску с точностью до беско-

b

l

l

l

нечно малых высшего порядка равна dp = xdS (учитывая,

что удельный вес воды равен 1). Следова-

l

b

l

1

тельно, сила давления воды на всю пластину ABC , равна p = ò1

xdS =

ò1 x2dx =

bl2 .

l

0

0

3

1)

y = sin x; y = cos x; x = 0; x = 3p / 2;

2) r = 2sin 2j

3)

2y = x2 ; 2x + 2y - 3 = 0 .

4)

а) y = 0.5ch2x; 0 £ x £ 3;

б) x = 3cost - cos3t, y = 3sint - sin3t, 0 £ t £ p / 2

¥

dx

2

dx

5)

y = x3 /3; -1£ x £1

6) ò

;

ò

3

x

2

- 2

E

xln

2

(x -1) x

7)

Определить расход воды через прямоугольный водослив с высотой 1 м и длиной 2 м.

Вариант 2

1) y = x +1; y = x -1; y = 0 ;

2) r = 3sin5j ;

3)

y = x; y = x + sin2 x; 0 £ x £ p

4)

а) y = (2/p )lnsin(p x / 2); 0.5 £ x £1.5 ; б) r =1+ cosj

¥

dx

2

dx

5)

9y2 = x(3 - x)2

6) ò

;

ò

x ln x

x 3x

2

- 2x -1

e

1

Вариант 3

1) y2 = x3 - x2 ; x = 2

2)

r = 5cos3j

3) y = e-2x -1; y = e- x +1; x = 0

4) а) y = 2ln(4 - x2 ); y ³ 0 б)

y = et cost; y = et sint, 0 £ t £1

¥

dx

p / 2

5) y = tgx; 0 £ x £ p / 4

6)

ò

;

ò ln(cos x)dx

x

2

+ 6x

-¥

+11

0

1)

x2 + y2 =1; x2 + y2 - 2y =1; y =1

2) r = 3(1+ sinj)

3)

y = 0.5x2 + 2x + 2; y = 2

4) а) 8y2 = x2 (1- x2 ) ; б) r =1/(1+ cosj);

- p / 2 £ j £ p / 2

¥

1

dx

5)

y = sin x; 0 £ x £ p

6) òe-2x cos xdx;

ò

(4

- x)

1- x

2

0

-1

Вариант 5

1) y = x3 /8; y = 3 - x; y = -4x

2) r = 3sinj; r =1- cosj, вне кардиоиды 3) x + y =1, x = 0, y = 0;

4) а) y = ln(cos x); 0 £ x £ p / 4

б) x = t2 ; y = t + t3 /3; z = t - t3 /3; 0 £ t £ 3

¥

xdx

1

5) y = e- x / 2 ; 0 £ x < ¥

6) ò

; ò xln xdx

x

2

+ 4

0

0

1)

y = 6/

x +1

; y = 3 -

3 - x

2)

r = 2(2 + cosj)

3) x2 / 4 - y2 /9 =1; y = ±3

4) а) y = ln x;

3 £ x £ 8 ; б) r = cos3 (j /3); 0 £ j £ p / 2

¥

xdx

2/ 3

dx

5)

8y

2

= x

2

- x

4

6)

ò

;

ò

(x

2

+

5)

3

x 9x

2

-1