1.3.3. Вероятностные оценки погрешностей

В результате измерения получают значение измеряемой величины в виде числа в принятых единицах величины. Погрешность измерения тоже удобно выражать в виде числа. Однако погрешность измерения является случайной величиной, исчерпывающим описанием которой может быть только закон распределения.

Из теории вероятностей известно, что закон распределения можно охарактеризовать числовыми характеристиками (неслучайными числами), которые и используются для количественной оценки погрешности.

Основными числовыми характеристиками законов распределения являются математическое ожидание и дисперсия, которые определяются выражениями:

M[х] x d x ; (1.5)

D[х]xdx=D[х]xdx; (1.6)

где М - символ математического ожидания; D - символ дисперсии.

Математическое ожидание погрешности измерений есть неслучайная величина, относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей при повторных измерениях. Математическое ожидание харак систематическую составляющую погрешности измерения, т.е. М [x] = x_с. Как числовая характеристика погрешности М[х] показывает на смещенность результатов измерения относительно истинного значения измеряемой величины.

Дисперсия погрешности D[х] характеризует степень рассеивания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания. Так как рассеивание происходит за счет случайной составляющей погрешности, то D[x] = D[x]. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах погрешности в квадрате. Поэтому в качестве числовой характеристики точности измерений используют среднее квадратическое отклонение [х] = с положительным знаком выражаемое в единицах погрешности.

Обычно при проведении измерений стремятся получить результат измерений с погрешностью, не превышающей допускаемое значение. Знание только среднего квадратического отклонения не позволяет найти максимальную погрешность, которая может встретиться при измерениях, что свидетельствует об ограниченных возможностях такой числовой характеристики погрешности, как [х]. Более того, при условиях измерений, когда законы распределения погрешностей могут отличаться друг от друга, погрешность с меньшей дисперсией может принимать большие значения.

Максимальные значения погрешности зависят не только от [х], но и от вида закона распределения. Когда распределение погрешности теоретически неограниченно, например, при нормальном законе распределения, погрешность может быть любой по значению. В этом случае можно лишь говорить об интервале, за границы которого погрешность не выйдет с некоторой вероятностью. Этот интервал называют доверительным интервалом, характеризующую его вероятность - доверительной вероятностью, а границы этого интервала - доверительными значениями погрешности.

В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со средним квадратическим отклонением [х] часто пользуются доверительным интервалом от +3[х] до -3[х], для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3[х]. Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем 3[х], маловероятное событие, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению 3[х] (правило "трех сигм").

В соответствии с ГОСТ 8.011-72 доверительный интервал является одной из основных характеристик точности измерений. Одну из форм представления результата измерения этот стандарт устанавливает в следующем виде: х ; х от х_н до х_в ; P, где х - результат измерения в единицах измеряемой величины; х, х_н, х_в - соответственно погрешность измерения с нижней и верхней ее границами в тех же единицах; Р - вероятность, с которой погрешность измерения находится в этих границах.

ГОСТ 8.011-72 допускает и другие формы представления результата измерения, отличающиеся от приведенной формы тем, что в них указывают раздельно характеристики систематической и случайной составляющих погрешности измерения. При этом для систематической погрешности указывают ее вероятностные характеристики. Ранее уже отмечалось, что иногда систематическую погрешность приходится оценивать с вероятностных позиций. В этом случае основными характеристиками систематической погрешности являются М [x_с], [x_с] и ее доверительный интервал. Выделение систематической и случайной составляющих погрешности целесообразно, если результат измерения будет использован при дальнейшей обработке данных, например при определении результата косвенных измерений и оценке его точности, при суммировании погрешностей и т.п.

Любая из форм представления результата измерения, предусмотренная ГОСТ8.011-72, должна содержать необходимые данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен вид закона распределения погрешности и основные числовые характеристики этого закона.