1.6. Вычисление координат вершин полигона

В замкнутом полигоне ∑Δx = 0 и ∑Δy = 0, где ∑Δx, ∑Δy – сумма приращений координат.

В действительности, вследствие неизбежных погрешностей при измерении сторон и углов, эти суммы нулей не дадут, а дадут какие-нибудь величины f_x и f_y, которые называются невязками, в суммах приращений соответствующих координат.

На рисунке 1.4 показано, чем являются с геометрической точки зрения невязки в приращениях координат.

Рисунок 1.4 – Геометрический смысл невязки в периметре замкнутого полигона

Если вычислить координаты всех вершин полигона, начиная от вершины 1 по вычисленным приращениям, то для начальной вершины 1 получим две пары координат: одна пара x и y, с которых вычисления начались, и другая пара x₁, y₁, полученные в результате суммирования приращений. Полигон не сомкнется на линию 1-1, которая называется невязкой в периметре полигона или линейной невязкой. Очевидно, что конечные координаты вершины 1, т.е. x₁ и y₁ будут отличаться от координат начальных x и y как раз на величину невязок f_x и f_y, т.е. (1.4)

(1.5).

Таким образом, с геометрической точки зрения невязки в приращениях – катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит невязка в периметре f_p. По теореме Пифагора вычисляется абсолютная линейная невязка:

(1.6)

В практике употребляется относительная линейная невязка f_отн, т.е. отношение f_p/P, где P – периметр полигона.

, (1.7)

в теодолитных ходах не превышает М 1:2000. Если относительная невязка допустима, то невязка f_x и f_y с обратным знаком распределяются на все приращения пропорционально длинам сторон. Координаты вершин полигона вычисляются по исправленным приращениям. Для этого берут опорную вершину 1 основного полигона, координаты которой получены из привязки и, начиная с этой опорной вершины полигона последовательным алгебраическим прибавлением исправленных приращений к предыдущим координатам получают координаты всех последующих вершин полигона.

Контролем вычислений служит то, что координаты вершины 1, образованные прибавлением приращений последней линии к координатам последней точки полигона должны совпасть с начальными.

Для вершины 1: x₁ = x_ПП88 + Δx₁ = 1800,0 + (- 34,64) = 1765,36;

y₁ = y_ПП88 + Δy₁ = 1325,0 + (- 41,35) = 1283,65;

Для вершины 2: x₂ = x₁ + Δx₂ =1765,36 + (- 109,16) = 1656,19;

y₂ = y₁ + Δy₂ =1283,65 – 109,23 = 1174,41;

Для вершины 3: x₃ = x₂ + Δx₃ = 1656,19 + 97,24 = 1753,44;

y₃ = y₂ + Δy₃ = 1174,41- 107,87 =1066,54;

Для вершины 4: x₄ = x₃ + Δx₄ = 1753,44 + 138,51 = 1891,95;

y₄ = y₃ + Δy₄ =1066,54 – 86,46 = 908,08;

Для вершины 5: x₅ = x₄ + Δx₅ = 1891,95 + 128,21 = 2020,17;

y₅ = y₄ + Δy₅ = 908,08 + 83,33 = 1063,42;

Для вершины 6: x₆ = x₅ + Δx₆ = 2020,17 – 104,91 = 1915,25;

y₆ = y₅ + Δy₆ = 1063,42 + 175,60 = 1239,03;

Контроль: x₁ = x₆ + Δx₇ = 1915,25 – 149,89 = 1765,36;

y₁ = y₆ + Δy₇ = 1239,03 + 44,61 = 1283,65.