![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математика
- •Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики
- •1. Определение функций одной переменной
- •3. Элементарные функции
- •4. Основные свойства функций Возрастающие и убывающие функции
- •Взаимно обратные функции
- •Четные и нечетные функции
- •5. Преобразования графиков функций
- •Контрольные вопросы
- •Тема 2. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Введение
- •1. Предел функции в точке и на бесконечности
- •2. Основные свойства пределов
- •3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •4. Раскрытие неопределенностей ,
- •5. Первый и второй замечательные пределы
- •6. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •7. Непрерывность функции, точки разрыва
- •8. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3. Производные и дифференциалы. Экстремумы функции одной переменной
- •1. Определение производной
- •2. Геометрический и экономический смысл производной
- •2.1. Геометрический смысл производной и уравнение касательной
- •2.2. Экономический смысл производной
- •3. Основные правила дифференцирования
- •4. Таблица основных формул дифференцирования
- •5. Производные высших порядков
- •6. Вычисление пределов с помощью производных
- •А) ; б).
- •7. Дифференциал функции
- •Геометрический смысл дифференциала функции
- •8. Свойства дифференциала функции
- •9.2. Приближенное вычисление приращения функции
- •10. Дифференциалы высших порядков
- •11. Монотонность функции
- •12. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции
- •3. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке
- •Контрольные вопросы
3. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке
При решении прикладных задач часто требуется найти наименьшее и наибольшее значения функции на некотором промежутке изменения ее аргумента. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции основывается на следующем свойстве непрерывных функций.
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то она обязательно принимает на этом
отрезке свои наибольшее и наименьшее
значения. Эти значения достигаются либо
внутри отрезка, либо в граничных точках
этого отрезка.
Правило отыскания
глобального экстремума функции на
отрезке
(наибольшего
и наименьшего значения функции).
Найти область определения функции
и проверить, принадлежи ли ей заданный отрезок.
Найти критические точки внутри отрезка
и вычислить значения функции в критических точках (не исследуя наличие в них экстремума).
Вычислить значения функции
,
на концах отрезка.
Сравнить полученные значения функции в критических точках и на концах отрезка: большее из них будет наибольшим
значением функции на отрезке
, а меньшее – наименьшим
значением функции на этом отрезке.
Пример 3.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
на отрезке
.
Математическая
модель задачи
имеет вид:
Точки возможного
экстремума функции определяются из
равенства нулю ее производной:
Обе точки принадлежат отрезку
.
Вычислим значения функции:
;
;
;
.
Сравним полученные значения:
наибольшее значение
функции
;
наименьшее значение
функции
.
Ответ:
,
Контрольные вопросы
Сформулируйте определение производной функции.
Приведите пример, когда производная не существует.
Каков геометрический смысл производной?
Запишите уравнения касательной к линии
в точке
.
В чем состоит экономический смысл производной?
Каков экономический смысл производной
функции
, в которой
- время,
- количество выпущенной продукции?
Какая функция называется дифференцируемой?
В чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?
Сформулируйте основные правила нахождения производных, запишите их математически.
Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции. Приведите пример.
Дайте определение производных высших порядков.
Когда применяется правило Лопиталя?
Дайте определение дифференциала функции
.
Каков геометрический смысл дифференциала?
В чем заключается свойство инвариантности формы первого дифференциала?
Чем отличается дифференциал от полного приращения?
Каковы свойства дифференциала функции?
Дайте определение дифференциала второго порядков.
Запишите формулу для вычисления дифференциала
.
Как применяется дифференциал в приближенных вычислениях?
1Философский энциклопедический словарь. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 576 с. - С. 498