9.2. Приближенное вычисление приращения функции

Приращение функции отличается от дифференциала функциина величину бесконечно малую высшего порядка относительно. Поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством, или в развернутом виде

.

Из последнего равенства получим формулу

.

Пример 10. Дана функция . Найти приближенное значение приращения прии.

Решение

Данная операция сопряжена с вычислительными трудностями, особенно при достаточно сложном выражении функции. Поэтому часто используют вместо вычисления приращения функции вычисление ее дифференциала. Дифференциал функции равен.

Отметим, что точное значение приращения функции равно

Значения иотличаются друг от друга на бесконечно малую величину. Это еще раз подтверждает целесообразность заменыпри малых приращенияна дифференциал.

10. Дифференциалы высших порядков

• Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка, который обозначается .

Дифференциал второго порядка равен произведению производной второго порядка на квадрат дифференциала:

.

• Дифференциал -го порядка определяется как дифференциал от дифференциала ()-го порядкаи равен_.

Число называется порядком дифференциала.

Пример 11. Для функции найтии.

;

.

11. Монотонность функции

С помощью производной можно изучать различные свойства функции. Возрастающие или убывающие функции на называются монотонными на этом интервале.

ТЕОРЕМА (условия монотонности функции на интервале)

Пусть функция непрерывна и дифференцируема на интервале . Тогда

1) если производная для любого, то функциястрого возрастает на ;

2) если производная для любого, то функциястрого убывает на .

Таким образом, знак производной позволяет судить о характере изменения функции.

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

1. Область определения ;

2. производная положительна при(так какдля всех). Значит, на производная положительна и возрастает, а вне этого интервал функция убывает.

12. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Выбор наилучшего варианта из множества возможных называется оптимизацией, которая сводится к отысканию максимумов и минимумов функции.

• Значение функции называетсямаксимумом функции , если для любой точкииз окрестности точкивыполняется. Соответствующее значение аргументаназываетсяточкой максимума.

• Значение функции называетсяминимумом функции , если для любой точкииз окрестности точкивыполняется. Соответствующее значение аргументаназываетсяточкой минимума.

• Максимумы и минимумыфункции называютсяэкстремумами функции, а точки максимума и минимума - точками экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая то, что понятие экстремума связано с достаточно малой окрестностью точки .

Очевидно, прежде чем строить график функции, необходимо выяснить, имеет ли функция экстремумы, и найти их. Как это сделать?

• Точка называетсякритической точкой функции , если имеет место одно из условий:

1) ; 2)не существует.

Геометрически это означает, что в критической точке касательная к графику функции: 1) параллельна оси ОХ; 2) либо параллельна оси ОУ, либо касательная вовсе не существует.

Сформулируем необходимое условие экстремума функции.

ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума функции)

Если - точка экстремума функции, тоилине существует (то есть- критическая точка).

Отсюда следует, что точками экстремума непрерывной функции могут быть лишь критические точки. Однако это условие не является достаточным. Чтобы выяснить, является ли критическая точка точкой экстремума функции, нужно проверить выполнение достаточных условий.

Теорема (Первый достаточный признак экстремума).

Пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки(в самой точке производная может не существовать). Если при переходе через точкуслева направо производная

1. меняет знак с плюса на минус, то являетсяточкой максимума;

2. меняет знак с минуса на плюс, то являетсяточкой минимума;

3. не меняет знак, то не являетсяточкой экстремума.

Схема исследования функции на экстремум

1. Найти область определения функции .

2. Найти производную .

3. Найти критические точки , в которых производная равна нулю или не существует (точки возможного экстремума).

4. Разбить область определения функции критическими точками на интервалы.

5. Определить знак производной на каждом интервале. На тех интервалах, где , функция возрастает, а там, где- функция убывает.

6. Если при переходе через критическую точку слева направо:

меняет знак с «+» на «-», то точка являетсяточкой максимума;

меняет знак с «-» на «+», то точка являетсяточкой минимума;

не меняет знак, то точка не являетсяточкой экстремума.

7. Вычислить значения функции ив точках экстремума.

Теорема (Второй достаточный признак экстремума).

Пусть функция и ее производныеинепрерывны в некоторой окрестности точкии. Тогда если значение второй производной в точке:

1. , то – точкамаксимума функции;

2. , то – точкаминимума функции.

При исследовании функции на экстремум с помощью второго достаточного признака в схеме пункты 1, 2, 3 останутся без изменения, а пункт 4 формулируется так:

4. Найти вторую производную , определить еезнак в каждой критической точке и сделать вывод о наличии экстремумов в этой точке (с помощью второго достаточного признака экстремума).

Пример 2. Найти точки экстремума функции .

Функция определена при всех действительных значениях .

Производная равна нулю при . На знак производной влияет только числитель , так как знаменательпри любом.

При (слева от критической точки) производная отрицательна: например,. А при(справа от критической точки) производная положительна: например,.

Значит, по первому достаточному признаку экстремума точка есть точка минимума функции. Минимум функции равен .

Ответ.