![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •2. Способы задания функций двух переменных
- •3. Частные производные
- •4. Частные производные высших порядков
- •5. Дифференциал функции двух переменных и его применение
- •6. Дифференциал второго порядка
- •7. Градиент функции двух переменных
- •Контрольные вопросы
- •Тема 2. Экстремум функции двух переменных
- •1. Локальный экстремум
- •Теорема (необходимый признак экстремума функции двух переменных)
- •Теорема (достаточный признак экстремума функции двух переменных)
- •2. Условный экстремум
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области
- •1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области
- •2*. Нахождение наибольшего (наименьшего) значений линейной функции в области, заданной линейными ограничениями
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Графическое решение системы линейных неравенств
- •2.3. Геометрическое изображение линейной функции (градиент и линии уровня)
- •2.4. Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области
- •Контрольные вопросы
2.3. Геометрическое изображение линейной функции (градиент и линии уровня)
Зафиксируем
значение
,
получим уравнение
первой степени с двумя переменными,
которое геометрически задает прямую.
В каждой точке данной прямой функция
принимает одно и то же значение
и являетсялинией
уровня.
Придавая
различные значения, например,
,
... , получим множество линий уровня,
которые образуютсовокупность
параллельных
прямых.
Для линейной
функции
градиент
– это вектор
,
координаты которого равны частным
производным функции
по
и по
(значениям коэффициентов при переменных
в целевой функции). Данный вектор
перпендикулярен каждой прямой (линии
уровня)
и показывает направление возрастания
целевой функции.
Пример 4.
Построить линии уровня и градиент
функции
.
Линии уровня
при
,
,
- это прямые
,
,
,параллельные
друг другу.
Градиент
– это вектор
,
перпендикулярный каждой линии уровня.
2.4. Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области
Геометрическая постановка задачи. Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.
Последовательность действий:
Построить область допустимых решений системы линейных неравенств
Если область непустая, то можно говорить о целесообразности нахождения в ней наибольшего и наименьшего значений функции.
В
A
Построить градиент
и одну из линий уровня
функции
.
Параллельным перемещением прямой
в направлении вектора
геометрически найти две точки:
точку А «входа» в область. Эта точка определяет точку наименьшего значения функции
;
точку В «выхода» из области. Эта точка определяет точку наибольшего значения функции
.
4. Найти координаты
точки А, решая систему уравнений прямых,
пересекающихся в точке А. Вычислить
наименьшее значение функции
.
Аналогично - для точки В и наибольшего
значения функции
.
Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в области решений системы линейных неравенств
Решение
1. Построим область решений системы линейных неравенств.
у
1
О 2 x
Прямая ()
,
точки для построения
и
.
Так как
верно, то полуплоскость обращена в
сторону точки
.
Прямую ()
строим по точкам
и
;
неравенство
верное, полуплоскость направлена к
началу координат.
Прямая ()
построена по точкам
и
;
полуплоскость обращена в сторону
.
Неравенства
и
показывают, что искомая область
(пересечение всех полуплоскостей)
находится в первой координатной четверти.
2. Построим
градиент функции
.
Это вектор с координатами
с началом в точке
.
Перпендикулярно градиенту построимодну из линий
уровня.
3. Параллельным
движением линии уровня в направлении
градиента
найдем точку
«входа» линии уровня в область
– это точка О(0,0). Вычислим значение
функции в
этой точке:
.
4. Продолжая движение
линии уровня в направлении градиента
,
найдемточку
«выхода» линии уровня из области
– это точка А. Для определения ее
координат решим систему уравнений
прямых
и
:
Решение системы уравнений
и
.
Вычислимзначение
функции в точке
:
.
Ответ:
,
.