![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •2. Способы задания функций двух переменных
- •3. Частные производные
- •4. Частные производные высших порядков
- •5. Дифференциал функции двух переменных и его применение
- •6. Дифференциал второго порядка
- •7. Градиент функции двух переменных
- •Контрольные вопросы
- •Тема 2. Экстремум функции двух переменных
- •1. Локальный экстремум
- •Теорема (необходимый признак экстремума функции двух переменных)
- •Теорема (достаточный признак экстремума функции двух переменных)
- •2. Условный экстремум
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области
- •1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области
- •2*. Нахождение наибольшего (наименьшего) значений линейной функции в области, заданной линейными ограничениями
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Графическое решение системы линейных неравенств
- •2.3. Геометрическое изображение линейной функции (градиент и линии уровня)
- •2.4. Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области
- •Контрольные вопросы
2.2. Графическое решение системы линейных неравенств
Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными.
Сначала дадим геометрическое истолкование линейного неравенства.
Решением линейного неравенства с двумя переменными
называется множество пар значений переменных
, которые удовлетворяют неравенству. Геометрически решением линейного неравенства
являетсяполуплоскость, границей которой является прямая
.
Порядок действий:
записать уравнение
и построить на плоскости граничную прямую;
выбрать искомую полуплоскость, координаты точек в которой удовлетворяют заданному неравенству. Для этого подставляют в неравенство координаты точки с известными координатами
,не лежащей на граничной прямой. Если получится верное числовое неравенство, то искомая полуплоскость та, которая содержит точку
(в противном случае берется другая полуплоскость). Плоскость выделяется штриховкой.
0
Отметим, что
неравенство
определяетправую
координатную полуплоскость
(от оси
),
а неравенство
-верхнюю
координатную полуплоскость (от
оси
).
Пример 2.
Решить графически неравенство
.
Запишем уравнение
граничной прямой
и построим ее по двум точкам, например,
и
.
Прямая делит плоскость на две полуплоскости.
0 2
-4
Координаты точки
удовлетворяют неравенству
(
– верно), значит, и координаты всех точек
полуплоскости, содержащей точку
,
удовлетворяют неравенству. Решением
неравенства будут координаты точек
полуплоскости, расположенной справа
от граничной прямой
,
включая точки на границе. Искомая
полуплоскость на рисунке выделена.
Решением системы
линейных неравенств
называется множество пар значений переменных
, которые удовлетворяют одновременно всем
неравенствам. Геометрически решением системы линейных неравенств являетсяобласть на плоскости, координаты точек которых лежат в пересечении
полуплоскостей.
Решение
системы неравенств называетсядопустимым,
если его координаты неотрицательны
,
.
Множество допустимых решений системы
неравенств образует область, которая
расположена
в первой
четверти координатной плоскости.
Пример 3.
Построить область решений системы
неравенств
Решениями неравенств является:
1)
- полуплоскость, расположенная левее и
ниже относительно прямой (
)
;
2)
– полуплоскость, расположенная в
правой-нижней полуплоскости относительно
прямой (
)
;
3)
- полуплоскость, расположенная правее
прямой (
)
;
4)
- полуплоскость выше оси абсцисс, то
есть прямой (
)
.
3
1
B
0
Область допустимых
решений
данной системы линейных неравенств –
это множество точек, расположенных
внутри и на границе четырехугольника
,
являющегосяпересечением
четырех полуплоскостей.