![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Модуль 3. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •2. Таблица основных интегралов
- •3. Свойства неопределенного интеграла
- •4. Метод непосредственного интегрирования
- •Контрольные вопросы
- •Тема 2. Методы нахождения неопределенного интеграла
- •1. Метод замены переменной интегрирования
- •2. Метод подведения функции под знак дифференциала
- •3. Метод интегрирования по частям
- •4. Рациональные функции
- •5. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •6. Интегрирование рациональной дроби ()
- •6.1. Дискриминант квадратного трехчлена .
- •6.2. Дискриминант квадратного трехчлена .
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3. Определенный интеграл, его свойства и вычисление Содержание
- •Понятие определенного интеграла
- •2. Свойства определенного интеграла
- •3. Формула Ньютона-Лейбница
- •Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем
- •Для произвольной непрерывной
- •Если фигура не является криволинейной трапецией, то представляют ее как сумму криволинейных трапеций:.
- •Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций ,,,.
- •4. Несобственные интегралы
- •Контрольные вопросы
Для произвольной непрерывной
+ +
функции
интеграл
–
равен сумме площадей
криволинейных трапеций, взятых
с соответствующим знаком.
Если фигура не является криволинейной трапецией, то представляют ее как сумму криволинейных трапеций:.
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций ,,,.
½ 1
Пример 6. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 1/х;
и
в неотрицательной координатной четверти.
Решение
График функции у = 1/х представляет собой гиперболу, при положительных х она убывает; оси координат являются асимптотами.
График функциив неотрицательной координатной четверти
– ветвь параболы с точкой минимума в
начале координат. Эти графики пересекаются
при
;
;
х = 1; у = 1.
Прямую y = 4 график
функции у = 1/х пересекает при х =1/4, а
график функциипри х = 2 (или -2).
Искомая площадь фигуры ABC равна разности между площадью прямоугольника АВНЕ, которая равна 4*(2 –1/4) = 7, и суммой площадей двух криволинейных трапеций АСFЕ и СВНF. Вычислим площадь АСFЕ:
Вычислим площадь СВНF:
.
Итак, искомая площадь равна 7 – (ln 4 + 7/3) = 14/3 – ln 4 = 3,28 (ед2).
4. Несобственные интегралы
При построении
определенного интеграла
предполагалось, что выполняется два
условия:
пределы интегрирования
и
конечны;
подынтегральная функция
ограничена на отрезке интегрирования
.
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от неограниченных функций называются несобственными интегралами.
Пусть
определена на промежутке
и интегрируема на любом отрезке
,
где
.
Несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования (интегралом 1-го рода) называется предел интеграла
при
:
.
Если этот предел
существует и конечен, то несобственный
интеграл называется сходящимся,
а если предел не существует или равен
,
торасходящимся.
Пусть
- первообразная функция для
на промежутке
.
Тогда можно применить формулу
Ньютона-Лейбница:
.
Обозначая
,
формулу можно записать так:
.
Пример 7.
.
Данный интеграл является сходящимся.
Геометрически
несобственный интеграл от
дает площадь бесконечной криволинейной
трапеции, ограниченной сверху линией
,
слева
,
снизу осью ОХ. Если интеграл
сходится – площадь конечна, а если
расходится – площадь бесконечна.
0
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом:
и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:
.
Пример 8.
Данный интеграл является сходящимся.
Контрольные вопросы
Как находится несобственный интеграл от функции на бесконечном промежутке?