6. Интегрирование рациональной дроби ()

6.1. Дискриминант квадратного трехчлена .

Тогда многочлен .

Пример 5.

.

• Представим дробь в виде суммы простейших дробейI-го типа с неопределенными коэффициентами и, т.е.

.

• Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей

, .

• Определим значения коэффициентов и, подставляя вместопоочередно значения корней,.При получим ,, отсюда,при получим ,, отсюда.

• Найдем интеграл, представляя его в виде суммы интегралов:

6.2. Дискриминант квадратного трехчлена .

Тогда многочлен в знаменателе примет вид . Выполним действия:

• обозначим , тогда,

• приведем интеграл к табличным интегралам.

Пример 6.

Пример 7. Найдем тот же интеграл другим способом.

Поскольку знаменатель имеет два одинаковых корня, то подынтегральную функцию можно представить в виде суммы простейших дробей I и II типов с неопределенными коэффициентами следующим образом:

.

Для нахождения коэффициентов иприведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей:

, .

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и:

Отсюда ,.

Запишем исходный интеграл в виде суммы интегралов:

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте свойство независимости неопределенного интеграла от выбора переменной интегрирования функции. Приведите пример.

2. В чем заключается метод подведения функции под знак дифференциала? Приведите пример.

3. Напишите таблицу основных неопределенных интегралов.

4. В чем суть метода замены переменной в неопределенном интеграле?

5. Запишите формулу интегрирования по частям.

6. Как выбирается функция и дифференциал?

1. Какое действие нужно выполнить сначала, чтобы найти интеграл от неправильной рациональной дроби ?

2. Опишите правило представления правильной дроби в виде суммы простейших дробей с учетом разложения многочлена в знаменателе на множители.

3. Изложите метод интегрирования рациональной дроби .

4. Изложите метод интегрирования рациональной дроби .

5. Изложите метод интегрирования рациональной дроби вида при.

6. Как находятся неопределенные коэффициенты в сумме простейших дробей?

Тема 3. Определенный интеграл, его свойства и вычисление Содержание

1. Понятие определенного интеграла

2. Свойства определенного интеграла.

3. Формула Ньютона-Лейбница

1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке. Разобьем отрезокначастей точками. Выберем на каждом из полученных отрезковпроизвольную точку.

Интегральной суммой функции на отрезкеназывается сумма

или

, где .

Наибольшую из длин обозначим через.

Определенным интегралом функции на отрезкеназывается число, равное пределу интегральной суммыи обозначается, т.е.

.

Из условия следует, что.

Пределами интегрирования называются числа и.

Подынтегральной функцией называется функция .

Если функция непрерывна на отрезке, то определенный интегралсуществует.

Подчеркнем, что определенный и неопределенный интегралы существенно различаются между собой. Если неопределенный интеграл представляет семейство функций, то определенный - есть определенное число.