3. Основные подходы к решению многокритериальных задач

Существует ряд классических задач принятия решений, для которых построены отработанные математические модели, позволяющие находить решения без участия ЛПР. Это такие задачи, как распределение ресурсов, транспортная задача, управление запасами и т.д. Для их решения используется линейное, нелинейное, целочисленное, динамическое программирование и другие аналитические и вероятностные методы. Многие из этих задач изучены Вами в курсах математики (исследование операций), математических методов анализа в экономике, информатики и др. В нашем курсе этим методам практически не будет уделяться внимание.

Но есть задачи, которые этими методами не решаются. Прежде всего, это многокритериальные задачи в сложных ситуациях. То есть сложными будем считать ситуации, в которых есть несколько критериев, а также есть действия неопределённых факторов или необходимость учёта мнений нескольких лиц и т.д.

Привести примеры самой с развитием транспортной системы, например, в Москве, попросить привести примеры самим.

Как правило, не существует решения наилучшего по всем критериям, критерии часто бывают противоречивы. То есть выбрать надо оптимальное сочетание.

Центральное место в современной науке о принятии решений уделяется многокритериальным задачам выбора, так как в жизни чаще встречаются именно такие задачи.

В ТПР различают три основные задачи

1. Упорядочение альтернатив – например, распределение предметов по степени необходимости в будущей профессии. Попросить самих привести пример.

2. Распределение альтернатив по классам решений. Например, распределение предметов по группам6 нужно готовиться, не нужно готовиться (или посещать у Вас часто такое распределение). Самих попросить привести примеры, например, покупка: примерить, взять, даже не рассматривать.

3. Выделение лучшей альтернативы.

Последняя задача считается основной в ТПР, так как чаще встречается на практике. Например, выбор одного ВУЗа для поступления, либо одного места работы. В политике альтернатив, как правило, немного, но они сложны для изучения и сравнения. Попросить привести примеры самим. Особенность некоторых задач, что в процессе решения появляются новые альтернативы.

Необходимо иметь в виду, что какого-либо формального математического метода «преодоления» многокритериальности не может быть в принципе. Все без исключения методы решения многокритериальных задач представляют собой различные способы организации взаимодействия с ЛПР и отличаются формой вопросов, которые ему «задаются» компьютерной программой.

Системное описание задачи принятия решения.

Понятно, что к возникновению проблемы, а, следовательно, необходимости её решения ведут следующие причины:

1. Отклонение фактических параметров от целевых;

2. Возможность отклонения от целевых параметров в будущем, если не будут приняты какие-либо превентивные меры;

3. Изменение целей управления.

В общем случае задачу принятия решения можно представить в виде следующей схемы:

Управляющая подсистема может воздействовать на управляемую подсистему, но не может воздействовать на среду. У управляющей подсистемы есть альтернативы, но, как правило, она не имеет всей информации о состоянии среды. Результат воздействия зависит от принятого решения (воздействия) и состояния среды. У управляющей подсистемы есть цель – её задача выбрать воздействие таким образом, чтобы перевести управляемую подсистему в состояние (или множество состояний) наиболее соответствующее поставленной цели.

Выбор управляющей подсистемой конкретного управляющего воздействия называется принятием решения. При принятии решения основная задача – нахождение оптимального решения в рамках имеющейся у управляющей подсистемы информации о состоянии среды.

Математическая модель принятия решения.

Математическая модель представляет собой формализацию системной схемы.

Для построения модели задаются три множества:

X – множество допустимых альтернатив;

Y – множество возможных состояний среды;

Z – множество возможных исходов.

Ясно, чтоX2, так как иначе не из чего выбирать (бессмысленно устраивать выборы при одном кандидате в президенты). Каждой паре xX и yY соответствует исход zZ, то есть существует функция F(XxY)Z, где XxY – декартово произведение двух множеств, которая называется функцией реализации. Набор объектов (X, Y, Z, F) составляет реализационную структуру задачи принятия решений.

В общем случае, связь между выбранной альтернативой и исходом неоднозначна, так как зависит от состояния среды. Разные люди при выборе одного и того же решения в сходных ситуациях получают разный результат, даже один и тот же человек, выбирающий одно решения в разное время получает другой результат. Попросить привести примеры. То есть говорят, что имеется неопределённость стратегического типа – эта неопределённость является следствием воздействия среды на объект управления.

В зависимости от имеющейся информации о состоянии среды задачи принятия решений делятся на следующие типы:

1. Принятие решений в условиях определённости – состояние среды фиксировано, и управляющая подсистема имеет полную информацию об этом состоянии, а также о реакции подсистемы на управляющее воздействие. Привести пример о выпуске деталей или попросить самих привести примеры.

2. Принятие решений в условиях риска – управляющая подсистема имеет информацию стохастического характера о поведении среды (например, известны вероятности различных состояний). Привести примеры с покупкой валюты или попросить привести свои примеры.

3. Принятие решений в условиях неопределённости – никакой информации, кроме перечня возможных состояний среды у управляющей подсистемы нет. Привести пример принятия решения о выпуске принципиально нового продукта или попросить привести свои примеры.

4. Принятие решений в теоретико-игровых условиях – среду можно трактовать, как одну или несколько целенаправленных управляющих подсистем (цели у систем могут быть разные, управляющая подсистема необязательно знает об этих целях). В этих случаях модель принятия решений называют теоретико-игровой моделью или игрой.

5. Принятие решений в условиях многокритериальных, слабоструктурированных постановок проблем. Особенности – решения оцениваются по многим критериям (критерии могут быть и качественными и количественными). Необходимо найти компромисс между критериями. Информация для нахождения такого компромисса объективными расчётами в постановке задачи отсутствует. Проблема имеет уникальный характер- нет статистических данных, позволяющих обосновать соотношение между критериями. На момент принятия решения отсутствует информация, позволяющая объективно оценит последствия выбора.

Критерии принятия решения.

Выбор критериев и их анализ является одной из основных задач при решении многокритериальных задач. Критерии очень сильно зависят от системы предпочтений ЛПР. То есть в случае многокритериального анализа необходимо:

1. Чётко сформулировать цель, задачу и требуемый результат.

2. Классифицировать характеристики вариантов.

3. Беспристрастно выбрать критерии.

Критерий должен позволять ответить на один из следующих вопросов:

1. Является ли альтернатива допустимой: может ли она при условии, что остальные будут хуже, рассматриваться как решение?

2. Является ли альтернатива удовлетворительной, иначе говоря, можно ли её рассматривать в качестве решения задачи независимо от других альтернатив?

3. Какая из двух сравниваемых альтернатив лучше?

4. Является ли альтернатива оптимальной?

Критерии, отвечающие на вопросы первого или второго типов, называются критериями допустимости. Критерии, отвечающие на вопросы третьего и четвертого типов, - критериями оптимальности (сравнения).

Различия между двумя этими типами очень интересны. Как правило, если человека просят сформулировать критерий, то предлагают критерий допустимости, так как такие критерии проще формулировать. Но использование только критериев допустимости не позволяет сравнивать хотя бы две альтернативы, если они обе допустимы. В этом случае потребуется критерий оптимальности. Чтобы оценить альтернативу по критерию допустимости, нужна только сама эта альтернатива. Для оценки по критерию оптимальности нужны, по крайней мере, две альтернативы, чтобы их можно было сравнить.

Введение в задачу дополнительного критерия допустимости сужает множество допустимых вариантов решения. Дополнительный критерий оптимальности расширяет множество вариантов решения, заслуживающих детального рассмотрения с учётом значения, придаваемого каждому критерию.

Следует отличать критерий принятия решения от показателя. Часто говорят: «Критерием выбора решения является прибыль». Строго говоря, прибыль – это показатель функционирования предприятия. Критерий как инструмент, позволяющий ответить на один из выше перечисленных четырёх вопросов, должен содержать требование к значению этого показателя. Например, прибыль должна быть максимально возможной или прибыль должна быть не меньше определённой величины.

Критерии не должны быть сами по себе, они должны исходить из цели, преследуемой при решении задачи.

Отсюда следуют следующие требования к критериям:

1. Соответствие цели и задаче.

2. Критичность. «Чувствительность» к изменению варианта выбора.

3. Вычислимость критериев.

4. Полнота и минимальность.

5. Декомпозицируемость, то есть, чтобы можно было рассматривать каждый критерий независимо от других.

Отсюда вывод, на практике при необходимости решить сложную задачу, связанную с выбором одной из множества альтернатив, анализ начинают с того, что пытаются составить список критериев, которые должны быть приняты во внимание при решении задачи. Делать этого не надо. Начинать надо с составления перечня целей, которые мы преследуем, решая задачу выбора. И только от него переходить к перечню критериев. Такая последовательность действий, во-первых, позволит контролировать соответствие формируемого списка критериев целям, которые мы преследуем, решая задачу. Критический анализ списка критериев, составленных до формулировки целей, нередко показывает, что на одну из целей работают два – три критерия, а другая, не менее важная, - совсем не представлена в их перечне. Во-вторых, эта последовательность действий естественно подталкивает к тому, чтобы рассмотреть альтернативные варианты критериев исходя из поставленных целей.

Например, при приёме на работу определена цель: найти на определённую должность работника с большим опытом работы. Очевидный критерий стаж, скажем не менее 5 лет (что не всегда даёт знание об опыте этого претендента на должность), но, исходя из цели, можно взять и другие критерии – количество подчинённых, стоимость проектов, выполненных под его руководством и т.д. Попросить дополнить самостоятельно.

Для оценки по критериям существуют шкалы непрерывных, дискретных, количественных и качественных (лучший, худший, промежуточный) оценок альтернатив.

Виды шкал оценки критериев:

1. Шкалы категорий «качественные – количественные»

2. Шкалы категорий «непрерывные – дискретные»

3. Шкалы порядка – оценки упорядочены по возрастанию или убыванию качества (например, уровень шума в аудитории: тихо, средне, очень шумно).

4. Шкалы равных интервалов – интервальная шкала. Имеются равные интервалы между оценками (вспомнить диаграммы в EXCEL). Особенности – начало отсчёта выбирается произвольно, так же как и шаг. Например: средняя осенняя температура, начинается с 5^о, и сравнивается с точностью до градуса, до 0,5 градуса... Классификация банков по количеству выданных долгосрочных кредитов. Попросить самих привести примеры.

5. Шкала пропорциональных оценок – идеальная шкала. Шкала, в которой отсчёт начинается с установленного заранее значения. Температура: шкала Цельсия, Кельвина. Стоимость, вес и т.д.

В ТПР в основном используются шкалы 3 и 5.

Из выше сказанного можно сделать вывод, что первым шагом при принятии решения является систематизация задачи, в MBA часто предлагают заполнить следующую таблицу:

Глобальная цель (цель верхнего уровня)	Формулировки целей в терминах свойств альтернативы	Показатель	Тип показателя (инструментальный или экспертный)	Для инструментальных – источник информации, для экспертных – описание шкалы	Критерий в терминах показателя	Тип критерия (допустимости или оптимальности)

Как уже отмечалось, анализ решений при многих критериях в значительной степени сводится к организации в той или иной форме взаимодействия с ЛПР, которое одно только может решить проблему соизмерения различных критериев. Но существует довольно ограниченная область, в которой применение сугубо формального анализа без обращения к ЛПР даёт возможность отбросить часть альтернатив, то есть изначально упростить задачу выбора для ЛПР. То есть можно выделить множество эффективных, или оптимальных по Парето, альтернатив.

Оценка эффективности альтернатив

Эффективной (оптимальной по Парето) называется такая альтернатива, для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходящей её альтернативы.

Понятно, что альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве решения, так как существует другая альтернатива превосходящая её. Отсюда вытекает важнейший критерий рациональности процесса разработки и принятия решения: выбираемый вариант должен быть эффективным.

Рассмотрим задачу нахождения множества эффективных решений на заданном множестве альтернатив в наиболее простом дискретном случае. Есть заданный набор вариантов решения, из которых надо сделать выбор. Пусть для каждого из критериев, учитываемых при принятии решения, предпочтительнее большее значение. Построим матрицу сравнения альтернатив, в которой в i-й строке, j-м столбце будем ставить 1, если i-я альтернатива доминирует j-ю (то есть первая превосходит вторую хотя бы по одному критерию, а по остальным не уступает ей). Рассмотрим матрицу с данными по 6 альтернативам, оцениваемым по 5 критериям.

Критерий Альтернатива	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
	4	6	8	7	3
	9	8	5	8	4
	7	9	8	10	9
	6	4	3	5	7
	4	2	10	6	8
	11	6	7	5	9

Результаты попарного сравнения шести альтернатив

	1-я альтернатива	2-я альтернатива	3-я альтернатива	4-я альтернатива	5-я альтернатива	6-я альтернатива
1-я альтернатива	0	0	0	0	0	0
2-я альтернатива	0	0	0	0	0	0
3-я альтернатива	1	0	0	1	0	0
4-я альтернатива	0	0	0	0	0	0
5-я альтернатива	0	0	0	0	0	0
6-я альтернатива	0	0	0	1	0	0

Мы получили два столбца, где есть 1: первая и четвёртая альтернативы, поэтому они не являются эффективными и от них можно отказаться. Парето-оптимальные в нашем случае вторая, третья, пятая и шестая. ЛПР может теперь выбрать одну из них. Но строить из них комбинации, даже в тех случаях, когда такая комбинированная альтернатива имеет смысл, нельзя. Она может оказаться неэффективной и не должна рассматриваться в качестве решения без дополнительного исследования.

Выделение множества Парето можно рассматривать лишь как предварительный этап оптимизации, и налицо проблема сокращения этого множества.

В дальнейшем можно использовать следующие принципы принятия решений (предполагается, что все критерии нормализованы, то есть приведены к одному часто безразмерному масштабу). Нормализация может быть проведена, например, делением каждого значения критерия на сумму всех значений этого критерия по всем альтернативам.

Принцип равномерности.

Принцип равномерности заключается в стремлении к равномерному и гармоничному улучшению решения по всем локальным критериям. Имеются следующие разновидности этого принципа

1. Принцип равенства. Наилучшим решением является такое, при котором достигается равенство всех локальных критериев. Данный принцип очень жёсткий и может приводить к решениям вне множества эффективных решений и даже не иметь их (особенно в дискретных случаях).

2. Принцип максимина. Идея равномерности состоит в стремлении повышать уровень всех критериев за счёт максимального подтягивания наихудшего (имеющего наименьшее значение) критерия.

3. Принцип квазиравенства. Решение считается наилучшим, если значения отдельных критериев отличаются друг от друга не более, чем на величину .

Принцип справедливой уступки.

У этого принципа следующие разновидности.

1. Принцип абсолютной уступки. Наилучшим считается решение, при котором суммарный абсолютный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного уровня повышения других.

2. Принцип относительной уступки. Наилучшим считается такое решение, при котором суммарный относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит относительного суммарного уровня повышения по остальным критериям.

Принцип выделения главного критерия.

Из совокупности локальных критериев выбирается один и принимается в качестве главного. К уровню других критериев предъявляется требование, чтобы они были не меньше некоторых заданных значений, образуя область, в которой ищется решение наилучшее в смысле главного критерия. Можно использовать метод линейного программирования, выбрав целевой функцией главный критерий, а остальные использовать в качестве ограничений.

Принцип последовательной уступки.

Предположим, что локальные критерии расположены в порядке убывания важности. Процедура поиска наилучшего решения сводится к следующему. Сначала ищется решение наилучшее в смысле критерия f1. Затем, исходя из некоторых практических соображений и точности первоначальных данных, назначается некоторая «уступка» f1, которую мы согласны допустить для того, чтобы найти решение, наилучшее в смысле критерия f2. Далее описанная процедура повторяется для оставшихся критериев. Такой способ хорош тем, что сразу видно, ценой какой уступки в одном критерии приобретается выигрыш в другом.

Функции ценности

Ещё одним алгоритмом решения многокритериальных задач является построение функции ценности.

Функция ценности – это любая функция, определённая на множестве альтернатив, такая, что для более предпочтительной альтернативы значение функции ценности больше.

При создании такой функции вопросы ЛПР задаются таким образом, что отвечая на них, он указывает коэффициенты важности или значимости каждого из критериев. За интегральный показатель качества альтернативы принимается сумма значений отдельных критериев, умноженных на коэффициент важности. С математической точки зрения такая сумма частных критериев , взятых с коэффициентом важности, есть не что иное, как функция ценности.

Если спросить работающих, применяют ли они эту функцию в практике, то большинство ответят отрицательно. Но здесь терминологическая трудность, так как если спросить сталкивались ли они с необходимостью оценки рейтинга товара или предприятия по нескольким показателям, или приходилось ли им подсчитывать обобщённую оценку варианта решения, суммируя отдельные его показатели, умноженные на значения их ценности, то большинство ответят утвердительно. Но все эти показатели и есть функция ценности.

Мы говорим о линейной зависимости от показателей, хотя в общем случае такая зависимость может быть произвольной, но на практике в основном используются именно такие зависимости, и функция ценности в этом случае называется аддитивной.

Надо учитывать, что таким образом определённая функция будет давать правильный выбор только в том случае, если критерии, которые использовались для оценки альтернативы, обладали свойством взаимной независимости по предпочтению.

Два критерия являются взаимно независимыми по предпочтению, если предпочтительность одного из двух значений первого критерия не зависит от того, какое значение принимает при этом второй, и наоборот.

Обратите внимание, говорится не о предпочтительности той или иной альтернативы, а о предпочтительности того или иного значения критерия.

Пример. Хотим найти эксперта в маркетинговый отдел компании, считаем необходимым возможно больший российский и зарубежный опыт работы, но хотим, чтобы отечественный опыт был обязательно больше зарубежного. Берём в качестве критериев стаж работы по специальности за рубежом и в России. Понятно, что кандидат, имеющий три года отечественного и три года зарубежного стажа предпочтительнее, чем тот, который имеет стаж по году. Однако, если при прочих равных, мы сравниваем первого кандидата с кандидатом, имеющим три года отечественного и пять лет стажа за рубежом, то предпочтительнее первый. Оба достаточно опытны, но у второго больше зарубежный стаж, который может быть не вполне адекватен нашим условиям. То есть опыт работы за рубежом зависит по предпочтению от критерия опыт работы в России. Если же мы будем приписывать этому опыту какие либо веса важности, то при любом раскладе второй предпочтительнее первого. То есть свёртка критериев в этом случае не работает.

Задача. Выбор дачи для летнего отдыха. Пусть есть два варианта А и В. Они оцениваются по трём критериям: качество дачи, наличие магазина недалеко от дачи, расстояние от города.

Альтернатива	Критерий
	Качество дачи (комфортность)	Наличие магазина недалеко от дачи	Расстояние от города
А	Хорошее	Нет магазина
В	Среднее	Есть магазин

Вполне возможно, что альтернатива А предпочтительнее альтернативы В, если по критерию «расстояние от города» оба варианта имеют оценку «Дача расположена недалеко от города». В то же время, если оба варианта имеют по последнему критерию оценку «Дача расположена далеко от города», вариант В может оказаться предпочтительнее варианта А.

Отсюда вывод: функция ценности правильна, если она диктует тот же выбор, который делает ЛПР.

Оценим положительные и отрицательные стороны применения этой методики.

Плюсы	Минусы
Методика сравнения альтернатив начинает существовать отдельно от ЛПР, она может быть передана для использования другому работнику (его квалификация может быть ниже) или компьютеру	Из-за формализма аппарата функций ценности выразить в числах сложную структуру предпочтений без искажений и упрощений может быть невозможно
Обеспечивается единообразие сравнения всех без исключения альтернативных вариантов решения	Процесс построения функции ценности очень трудоёмок, для его осуществления необходимо привлекать специалистов в области формальной теории принятия решений
Обеспечивается постоянство применяемой методики сравнения во времени и пространстве	Факт проведения расчётов и сопоставлений вариантов «по формуле» в современном обществе является признаком «научности» и «объективности», что в свою очередь может провоцировать трудно раскрываемые манипуляции, когда формула строится в расчёте на заранее выбранный вариант
Наличие интегрального показателя качества варианта позволяет в ряде случаев решить задачу на оптимум и сконструировать идеальный вариант (а не просто выбрать один из предложенных)	Существуют формальные (математические) ограничения на применение аппарата, препятствующие его универсальному применению

Последовательность решения задачи с использованием аппарата функции ценности такова:

1. С учётом положительных и отрицательных сторон применения функции ценности анализируется целесообразность использования этой в целом непростой и трудоёмкой методики.

2. Формируется перечень критериев решения. Они делятся на критерии допустимости и критерии оптимальности. Именно последние будут участвовать в дальнейшем в построении функции ценности.

3. Состав критериев оптимальности оценивается на предмет их сопоставимости по важности, наличия между ними отношения зависимости по предпочтению. Последнее существенно для выявления возможности построения функции ценности в наиболее простом и удобном виде – аддитивном.

4. При положительном решении о возможности построения аддитивной функции эксперта (ЛПР) просят ответить на вопросы об относительной важности (значимости) отдельных критериев. Определяются веса критериев.

5. На ограниченной репрезентативной выборке проверяется соответствие построенной функции ценности системе предпочтений ЛПР. Для этого ЛПР сначала просят упорядочить несколько реальных вариантов решений, а затем оценивают их с помощью построенной функции ценности. Если полученные ранжировки совпадают, то выведенная формула пригодна для использования на более широком множестве вариантов. В противном случае ЛПР просят проверить веса критериев, или уточнить: насколько ЛПР может уступить в главном критерии, чтобы улучшить следующий по важности и т.д., пока не получат функцию ценности дающую адекватные с ЛПР результаты при выборе решения.

Для этого существуют специальные программы, но они, как правило, созданы под решение конкретной задачи, например, французской консультативной фирмой SEMA предложена модель, характеризующая изменения со временем состава персонала большой организации и продуктивности её работы. Модель применялась для прогнозирования последствий различных вариантов управления кадрами организации.